基于平衡向量的剛架結(jié)構(gòu)極限承載力分析的廣義塑性鉸法

楊綠峰，殷玉琪，柏大煉

(1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西，南寧 530004；2.工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣西，南寧 530004)

剛架結(jié)構(gòu)由于受力合理、自重輕及結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于各工業(yè)建筑、民用建筑和交通水利工程等領(lǐng)域中，正確分析剛架結(jié)構(gòu)極限承載力是開展剛架設(shè)計和安全性評估的基礎(chǔ)。現(xiàn)階段，主要利用彈塑性理論進(jìn)行剛架結(jié)構(gòu)失效模式和極限承載力分析，分為塑性區(qū)法和塑性鉸法。塑性區(qū)法[1?2]主要通過細(xì)密網(wǎng)格將剛架離散為數(shù)量眾多的實體單元，并在加載中及時更改進(jìn)入塑性的單元本構(gòu)方程，可以精細(xì)模擬結(jié)構(gòu)加載時的失效過程，但離散自由度龐大。因此通常采用梁單元建立有限元模型并開展彈塑性增量分析(elasticplastic incremental analysis，EPIA)[3 ?4]。塑性區(qū)法和EPIA都能取得較高計算精度，其結(jié)果往往用于校核其他方法的精度和適用性，但是理論復(fù)雜，且非線性迭代分析導(dǎo)致計算耗時久。

傳統(tǒng)塑性鉸法(plastic hinge method，PHM)采用零長度塑性鉸假定，并通過在單元/構(gòu)件的失效截面添加塑性鉸來集中體現(xiàn)材料的塑性行為，單元/構(gòu)件的其余部分仍保持彈性。而且，在建立有限元模型時僅需將各個構(gòu)件離散為1個～2個單元，因此與塑性區(qū)法相比能夠大幅提升計算效率。同時，由于剛架結(jié)構(gòu)往往以彎曲變形為主，傳統(tǒng)PHM[5?7]根據(jù)外荷載與線彈性彎矩之間的比例關(guān)系直接確定結(jié)構(gòu)中新增塑性鉸的位置以及相應(yīng)的荷載增量(該特性稱為PHM的比例特性)，理論簡單，計算格式簡潔，計算效率遠(yuǎn)高于EPIA。但是，研究表明，處于多內(nèi)力組合作用下的剛架結(jié)構(gòu)，彎矩和軸力是影響其極限承載力的兩個主要內(nèi)力，而傳統(tǒng)PHM由于無法考慮軸力對塑性鉸的影響將導(dǎo)致高估剛架的極限承載力。二階塑性鉸法[8](second-order plastic hinge method,SPHM)和精細(xì)塑性鉸法[9](refined plastic hinge method,RPHM)利用廣義屈服準(zhǔn)則考慮彎矩和軸力對塑性鉸的影響，從而克服了傳統(tǒng)PHM的缺陷。但是，由于常規(guī)的廣義屈服函數(shù)通常不滿足比例條件，導(dǎo)致SPHM和RPHM無法利用傳統(tǒng)PHM的比例特性直接確定塑性鉸位置和荷載增量，需進(jìn)行大量的增量非線性迭代分析來確定組合內(nèi)力下剛架結(jié)構(gòu)在每一加載步下的新增塑性鉸位置和荷載增量，導(dǎo)致理論復(fù)雜且難度大，降低了計算效率。

為了建立既適用于多內(nèi)力組合作用的剛架結(jié)構(gòu)，且能夠保持PHM的比例特性，Rahman[10]利用線性函數(shù)代替非線性的廣義屈服函數(shù)，據(jù)此對截面抗彎強(qiáng)度進(jìn)行修正，因而能夠利用傳統(tǒng)PHM的比例特性快捷計算船舶橫向框架在多內(nèi)力作用下的極限承載力。但是，利用線性函數(shù)模擬非線性廣義屈服函數(shù)將影響到極限承載力的計算精度。為此，楊綠峰等[11]利用非線性齊次擬合傳統(tǒng)的非線性、非齊次廣義屈服函數(shù)，并利用齊次廣義屈服函數(shù)(homogeneous generalized yield function，HGYF)定義單元承載比[12?13]，進(jìn)而根據(jù)外荷載與單元承載比之間的比例關(guān)系直接確定廣義塑性鉸的位置和荷載增量，由此建立了廣義塑性鉸 法(generalized plastic hinge method，GPHM)，不僅保持了傳統(tǒng)PHM的比例特性，具有很高的計算效率，還進(jìn)一步提升了PHM在多內(nèi)力組合作用下的計算精度，有效擴(kuò)大了PHM的應(yīng)用范圍。但是，GPHM沒有考慮荷載增量對前序塑性鉸平衡狀態(tài)的影響，導(dǎo)致剛架結(jié)構(gòu)在部分荷載工況下的承載力計算結(jié)果不準(zhǔn)確。

針對該問題，本文利用廣義屈服條件和轉(zhuǎn)角位移方程建立平衡向量，據(jù)此建立修正的GPHM計算格式，解決了GPHM在部分荷載工況下不適用的問題。最后，通過與不同方法對比分析，驗證了本文方法高效、高精度的特性。

1 廣義塑性鉸

1.1 截面修正強(qiáng)度

塑性鉸法通常利用上一加載步的內(nèi)力修正剛架各構(gòu)件的截面強(qiáng)度[7]：

圖1 圓管截面的幾何參數(shù)Fig.1 Geometric parameters of tube section

式中：Ro為圓管截面外半徑；Ri為圓管截面內(nèi)半徑；σs為材料屈服強(qiáng)度。

1.2 強(qiáng)度折減因子的定義

研究表明，當(dāng)構(gòu)件能夠滿足抗剪承載力要求時，彎矩和軸力將是影響構(gòu)件承載力失效的關(guān)鍵因素。當(dāng)剛架中某一構(gòu)件截面上的彎矩和軸力滿足廣義屈服準(zhǔn)則 f(ni,mi)=1時，該截面進(jìn)入全截面塑性屈服狀態(tài)，形成廣義塑性鉸，其中的f=f(ni,mi)表示廣義屈服函數(shù)。Chen和Han[14]給出了圖1所示圓管截面的廣義屈服準(zhǔn)則：

式中， f(ni,mi)為圓管截面的廣(義屈)服函數(shù)，且：

式中，ni和mi分別為剛架在第 i 加載步時構(gòu)件截面上的無量綱軸力和無量綱彎矩：

利用廣義屈服函數(shù)可以定義式(1)和式(2)中的強(qiáng)度折減因子ζiN和ζiM。結(jié)構(gòu)中部分構(gòu)件僅承受單一內(nèi)力作用，此類構(gòu)件的強(qiáng)度折減因子為1，但實際工程結(jié)構(gòu)的大多數(shù)構(gòu)件往往都受到軸力、彎矩等多內(nèi)力的組合作用，此時ζiN和ζiM均小于1。此外，剛架在第一加載步( i =1)之初尚沒有累積內(nèi)力，即： N=M=0，不需要修正單元截面強(qiáng)度，因而有：ζiN=ζiM=1 。隨后的加載步(當(dāng)i＞1時)，需根據(jù)剛架在上一個(第 i?1個)加載步結(jié)束時的累積內(nèi)力確定各個單元的無量綱累積軸力na,i和彎矩 ma,i：

加載過程中需要及時修正構(gòu)件的截面強(qiáng)度。在修正截面抗彎強(qiáng)度時，應(yīng)根據(jù)廣義屈服準(zhǔn)則確定累積軸力對截面初始抗彎強(qiáng)度的影響：

式中：g1為廣義屈服函數(shù)中僅含有軸力的函數(shù)項；g2為廣義屈服函數(shù)中僅含有彎矩的函數(shù)項。

將式(7)右式代入式(9)，經(jīng)整理可得：

式中，強(qiáng)度折減因子 ζiM=g[1?g1(n)]表示累積軸力n對單元截面抗彎強(qiáng)度的影響。結(jié)合圓管截面的廣義屈服函數(shù)式(6)容易求得：

同理，可得軸向強(qiáng)度的折減因子：

1.3 齊次廣義屈服函數(shù)與單元承載比

從式(6)可以看出，廣義屈服函數(shù)f 是關(guān)于ni和mi的非線性、非齊次方程，與外荷載之間不滿足比例條件。楊綠峰等[12?13]提出廣義屈服函數(shù)齊次化方法，解決了高階非齊次函數(shù)不滿足比例條件的難題。這里建立圓管截面的齊次化廣義屈服函數(shù)。首先針對式(6)的 f(ni,mi)，在廣義屈服面上建立齊次化表達(dá)式 fˉ(ni,mi)：

式中：ak為多項式待定系數(shù)；H為多項式階數(shù)。

為了使齊次廣義屈服函數(shù)能夠更好地擬合廣義屈服面，應(yīng)按照以下方法選擇配點。

1)確定無量綱化內(nèi)力ni和mi的配點。首先，確定ni和mi的取值范圍，兩者均為[0,1]。然后，在確定區(qū)間[0,1]上確定n的i配點：在區(qū)間[0,0.1]和[0.9,1]上以0.01為步長均勻布置ni的配點，在區(qū)間[0.1,0.9]以0.05為步長均勻布置ni的配點。進(jìn)而，將ni的配點取值代入廣義屈服面式(5)可以確定mi在相應(yīng)配點上的值。刪去其中重復(fù)的配點，最終遴選37組配點( ni,mi)(j),j=1,2,···,37。

2)根據(jù)選取的配點，利用最小二乘法求得式(13)中不同階次齊次廣義屈服函數(shù)(ni,mi)的待定系數(shù)ak，進(jìn)而求得不同階次ni,mi)的均方根誤差，如表1所示。表中可以看出，取 H=4時得到的圓管截面四階齊次廣義屈服函數(shù)(ni,mi)能夠較好地擬合原廣義屈服函數(shù) f(ni,mi)，且有：

表1 待定系數(shù)及均方根誤差Table1 Undetermined coefficients and mean-square error

據(jù)此，可以定義單元 e 的單元承載比[12-13]：

式中，rie稱為單元承載比。rie在單元 e 不同截面上通常有不同的值，這里取其中的最大值。

1.4 塑性鉸與荷載增量的確定

對于理想彈塑性剛架結(jié)構(gòu)，外荷載可以用向量表示：

式中：α為基準(zhǔn)荷載向量；F0為荷載乘子的初始值；荷載分量 Pk=F0αk(k=1,2,···,n)，n為結(jié)構(gòu)承受的荷載數(shù)；為了便于表述，通常用荷載乘子F0代表外荷載P。

2 平衡向量與荷載增量的修正

2.1 塑性鉸新增內(nèi)力

根據(jù)式(17)容易求得當(dāng)前加載步的荷載增量FL,i及其在前序加載階段形成的塑性鉸(簡稱為前序塑性鉸)上產(chǎn)生的軸力增量，但塑性鉸上的彎矩增量為0。此時需要判別每個前序塑性鉸上的新增軸力是否滿足式(5)、式(6)定義的廣義屈服條件：

式中，ε為收斂容差，取值范圍為0.001～0.01，本文取0.007。

如果全部前序塑性鉸上的新增內(nèi)力相對較小，都能夠滿足式(18)，則將新增內(nèi)力加入累積內(nèi)力中，并進(jìn)入下一個加載步。否則，如果某一前序塑性鉸上較大，不滿足式(18)，表明當(dāng)前加載步的內(nèi)力分布尚不滿足屈服條件，則需要在全部前序塑性鉸上增添附加彎矩，使得：

據(jù)此可得：

圖2 梁-柱單元Fig.2 Beam-column element

單元 e 兩端截面上的新增內(nèi)力和相應(yīng)的位移如圖2(a)所示，應(yīng)滿足轉(zhuǎn)角位移方程：式中：上標(biāo)A、B分別表示單元e 的左、右端截面；下標(biāo) i 表示第 i 加載步。若已知單元 e的左端新增彎矩,A，根據(jù)式(21)的前兩式可確定單元右端的新增彎矩

,B：

由此，可將式(21)的轉(zhuǎn)角位移方程修改為：

2.2 平衡向量

根據(jù)圖2所示的兩類自由度之間的對應(yīng)關(guān)系，可將式(23)轉(zhuǎn)換表達(dá)為有限元法符號約定下的單元剛度方程[10]：

將結(jié)構(gòu)中全部單元剛度方程集成為結(jié)構(gòu)總體剛度方程：

式中，Ki、、和為第 i 加載步末的結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣、結(jié)點位移向量、等效結(jié)點荷載向量和平衡向量，其中的可根據(jù)第 i加載步末的外荷載 FL,iα得到。

通過引入平衡向量并開展有限元法再分析，可以消除軸力增量導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)內(nèi)力失衡現(xiàn)象，從而滿足式(18)。進(jìn)而，將ax所在截面(結(jié)點)改為塑性鉸，并進(jìn)入下一加載步分析。

3 結(jié)構(gòu)失效路徑和極限承載力

根據(jù)當(dāng)前加載步出現(xiàn)的塑性鉸位置，修改與該塑性鉸相連接的單元剛度矩陣，集成新的結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，并判斷其是否奇異。如果非奇異，則進(jìn)入下一加載步，并重復(fù)上述計算步驟，形成新的塑性鉸。反之，如果奇異，表明結(jié)構(gòu)達(dá)到極限狀態(tài)，并成為失效機(jī)構(gòu)，結(jié)束加載。

在結(jié)構(gòu)加載過程中依次出現(xiàn)的塑性鉸構(gòu)成剛架結(jié)構(gòu)的失效路徑。累加各個加載步的荷載增量FL,i可得剛架結(jié)構(gòu)的極限承載力FL：

式中，NL為總的加載步。

上述方法首先利用強(qiáng)度折減因子和廣義屈服準(zhǔn)則確定塑性鉸位置和相應(yīng)的荷載增量，進(jìn)而形成平衡向量，據(jù)此修正塑性鉸位置和荷載增量，最終確定剛架結(jié)構(gòu)失效模式和極限承載力，具體的計算流程見圖3。

圖3 修正的GPHM流程圖Fig.3 Flow chart of modified GPHM

上述計算步驟稱為修正的GPHM，是對文獻(xiàn)[11]建立方法的改進(jìn)。

4 算例分析

這里利用不同方法計算圓管截面剛架結(jié)構(gòu)的極限承載力，并以彈塑性增量分析方法(EPIA)的計算結(jié)果為基準(zhǔn)，將本文基于平衡向量的修正GPHM(以下簡稱為本文方法)計算結(jié)果同傳統(tǒng)PHM和文獻(xiàn)[11]的GPHM(以下簡記為文獻(xiàn)[11]方法)進(jìn)行對比分析。其中EPIA采用ANSYS編程，并利用BEAM189建立彈塑性有限元模型；而PHM、文獻(xiàn)[11]方法和本文方法都采用MATLAB編制線彈性有限元法計算程序。電腦配置CPU@3.00 GHz，內(nèi)存8.0 G。

4.1 算例1.單層雙跨剛架結(jié)構(gòu)

某單層雙跨剛架計算簡圖如圖4所示，緊鄰黑色圓點的數(shù)字表示桿端截面的編號，承受豎向荷載 P1=16F0和水平荷載 P2=αF0，用向量表示為P=(P1,P2)=F0(16,α) ，其中，α為與水平荷載和豎向荷載的比例有關(guān)的常數(shù)。剛架梁柱等構(gòu)件采用規(guī)格為 φ140mm×10mm的圓管截面，材料屈服應(yīng)力為 σs=235MPa ，彈性模量E=2.1×105MPa。分別采用本文方法、EPIA、PHM和文獻(xiàn)[11]方法計算剛架結(jié)構(gòu)的失效路徑和極限承載力。當(dāng)取 α=1時，上述四種方法的計算結(jié)果見表2。

圖4 單層雙跨剛架計算簡圖 /mFig.4 Calculation diagram of one-story-two-bay rigid frame

由表2可知，本文方法得到的失效路徑與EPIA完全相同。而文獻(xiàn)[11]得到的失效路徑中，截面4先于截面5發(fā)生失效，因而與本文方法和EPIA的結(jié)果稍有不同，但三者的失效模式完全相同。而PHM得到的失效路徑、失效模式都與EPIA的結(jié)果存在顯著差異。由此表明，本文方法能夠正確反映結(jié)構(gòu)加載過程中塑性發(fā)展和內(nèi)力再分布，而PHM的結(jié)果有誤。進(jìn)一步地，可以看出傳統(tǒng)PHM與EPIA的相對誤差高達(dá)99.87%，表明PHM由于僅考慮彎矩對塑性鉸的影響，忽略了其余內(nèi)力的作用，導(dǎo)致嚴(yán)重高估剛架結(jié)構(gòu)極限承載力，且得到錯誤的失效路徑。文獻(xiàn)[11]建立的GPHM能夠考慮軸力對塑性鉸的影響，從而有效降低了誤差。本文方法在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過平衡向量消除了塑性鉸上新增軸力對結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的影響，能夠正確反映加載中結(jié)構(gòu)塑性發(fā)展，從而有效提高了計算精度，將GPHM與EPIA之間的相對誤差從文獻(xiàn)[11]的4.57%降低到現(xiàn)在的0.68%。

表2 不同方法計算結(jié)果Table2 Results from different methods

同時從表2可以看出，本文方法計算耗時僅為EPIA的1/11左右，表明本文方法具有很高的計算效率。進(jìn)一步地，分析α取不同值時PHM、文獻(xiàn)[11]方法和本文方法的計算精度，詳見圖5。從中可以看出，傳統(tǒng)PHM與EPIA的計算結(jié)果差距較大，且隨著α的減小，兩者的相對誤差逐漸增大。其原因在于傳統(tǒng)PHM不能考慮軸力對塑性鉸的貢獻(xiàn)，從而高估結(jié)構(gòu)極限承載力，導(dǎo)致較大的計算誤差。文獻(xiàn)[11]方法盡管能夠利用廣義屈服準(zhǔn)則綜合考慮軸力和彎矩的影響，提升了計算精度，但由于沒有充分考慮前序塑性鉸上新增軸力對結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的影響，導(dǎo)致其與EPIA之間存在一定的誤差。本文方法在文獻(xiàn)[11]基礎(chǔ)上，通過引入平衡向量消除前序塑性鉸上新增軸力導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)力失衡現(xiàn)象，計算結(jié)果始終與EPIA吻合較好，驗證了本文方法具有較高的計算精度和廣泛適用性。

圖5 不同α取值下的剛架極限承載力Fig.5 Ultimate bearing capacity of the frame with different α

4.2 算例2.五層三跨剛架結(jié)構(gòu)

如圖6所示的五層三跨剛架分別承受水平集中荷載 P1=αF0，豎向集中荷載 P2=8F0，豎向均布荷載 q =F0，構(gòu)件截面采用薄壁圓管截面，構(gòu)件截面尺寸及材料參數(shù)如表3所示。分別采用本文方法、EPIA、PHM和文獻(xiàn)[11]方法計算結(jié)構(gòu)極限承載力并相互對比分析。

表3 截面尺寸及材料參數(shù)Table3 Sectional dimension and material parameters

圖6 五層三跨剛架計算簡圖Fig.6 Sketch of five-story-three-bay rigid frame

當(dāng) α=1時，四種方法的計算結(jié)果詳見表4。由表可知，傳統(tǒng)PHM與EPIA的相對誤差高達(dá)86.3%。再次表明PHM忽略彎矩之外的其余內(nèi)力對塑性鉸的影響，從而嚴(yán)重高估剛架結(jié)構(gòu)極限承載力。文獻(xiàn)[11]方法盡管利用廣義屈服準(zhǔn)則解決了傳統(tǒng)PHM難以考慮多內(nèi)力組合作用影響的問題，在一定程度上提升了計算精度，但由于沒有充分考慮塑性鉸上新增軸力對塑性鉸乃至結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的影響，導(dǎo)致其與EPIA之間的相對誤差達(dá)到14.60%，精度不高。而本文方法在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，通過引入平衡向量消除新增軸力對已有塑性鉸平衡狀態(tài)的影響，進(jìn)一步提升了計算精度，計算結(jié)果與EPIA基本吻合，具有較高的計算精度。同時，本文方法計算耗時僅為EPIA的1/58左右，具有很高的計算效率。

表4 運算結(jié)果與計算耗時Table4 Computed results and time consuming

進(jìn)一步地，分別利用EPIA、PHM、文獻(xiàn)[11]方法和本文方法計算α取不同值的剛架結(jié)構(gòu)極限承載力，結(jié)果如圖7所示。從中可以看出，α取值較小時，PHM與文獻(xiàn)[11]方法和EPIA的計算結(jié)果差距較大，且隨著α的增大，兩者的計算誤差都逐漸縮小。當(dāng) α＞4時PHM的計算誤差不超過7%；當(dāng) α＞2時文獻(xiàn)[11]的計算誤差不超過7%。而本文方法計算結(jié)果始終與EPIA吻合較好，具有較高的計算精度。

圖7 不同α取值下的剛架極限承載力Fig.7 Ultimate bearing capacity of the frame with different α

綜上所述，本文方法不僅保持了傳統(tǒng)PHM的比例特性，而且克服了傳統(tǒng)PHM和文獻(xiàn)[11]方法的缺陷，能夠取得較高的計算效率和計算精度，且具有較為廣泛的適用性。

5 結(jié)論

本文利用廣義屈服準(zhǔn)則和有限元方法建立平衡向量，據(jù)此修正了廣義塑性鉸法的計算格式，并得到如下結(jié)論：

(1)彈塑性增量分析法(EPIA)作為結(jié)構(gòu)極限承載力分析的基準(zhǔn)方法，具有精度高的優(yōu)勢，但由于采用非線性迭代方法，導(dǎo)致計算效率明顯低于各類塑性鉸法。

(2)傳統(tǒng)塑性鉸法(PHM)忽略了軸力對塑性鉸的影響，導(dǎo)致過高估算結(jié)構(gòu)極限承載力，影響了計算精度和適用范圍。

(3)文獻(xiàn)[11]的廣義塑性鉸法(GPHM)沒有考慮加載步荷載增量對前序塑性鉸平衡狀態(tài)的影響，因而應(yīng)用于承受較大豎向荷載的部分剛架結(jié)構(gòu)時將產(chǎn)生顯著誤差，不滿足工程要求。

(4)本文方法通過引入平衡向量消除了前序塑性鉸上新增內(nèi)力對結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的不利影響，從而有效提高了GPHM的計算精度和適用范圍。