快速線性三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法研究

葛仁磊

(海洋石油工程股份有限公司，山東 青島 266520)

0 引 言

在工程測量中經(jīng)常需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，以達(dá)到測量數(shù)據(jù)與設(shè)計數(shù)據(jù)最佳匹配。與傳統(tǒng)的大地測量中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換相比，工程測量中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換主要有兩點不同：① 工程測量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中經(jīng)常需要進(jìn)行大角度的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；② 工程測量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中一般不需要進(jìn)行尺度變換。

由于存在以上特征，傳統(tǒng)大地測量坐標(biāo)系變換的方法不完全適用于工程測量數(shù)據(jù)處理。目前常用的工程測量的坐標(biāo)系變換方法主要參考了剛體的旋轉(zhuǎn)方法，常見的有四元數(shù)法、歐拉角法、奇異值分解法等[1]。但這些方法都為非線性模型；非線性模型的處理方法一般為將其線性化，然后反復(fù)迭代，直至達(dá)到目標(biāo)精度。這些方法都要經(jīng)過大量運(yùn)算，而且有時初始值的選擇會影響迭代的收斂性，給計算造成了很大的不便。如果能夠找到一種線性的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，就能大大降低工程測量數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜度。下面就以羅德里格矩陣為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出一種線性的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。

1 平差模型推導(dǎo)

三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換用以下公式表示：

(1)

在工程測量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，尺度參數(shù)一般為1或已知的常數(shù)。如在對鋼材進(jìn)行測量時，如果考慮熱脹冷縮，則需要根據(jù)測量溫度、設(shè)計溫度及鋼材的線性膨脹系數(shù)來計算尺度參數(shù)γ[2]。當(dāng)然，也可以在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換開始前使用以下公式對尺度參數(shù)的估計[3]。

(2)

也就是說，在大多數(shù)工程測量應(yīng)用中，γ為已知的常數(shù)。根據(jù)羅德里格矩陣，式(1)中的R可以表示為[4-5]：

R=(I+S)(I-S)-1

(3)

式中，I為單位矩陣，S為反對稱矩陣，可以表示為：

(4)

上式中的S被稱羅德里格矩陣，其中的參數(shù)a、b、c都有明顯的幾何意義，具體可以參照引文[4]，這里不做詳細(xì)推導(dǎo)。將式(3)、(4)代入到(1)式中，并在等式兩邊同時乘以(I-S)可得：

(5)

(6)

將式(6)代入式(5)中可得線性方程：

(7)

V=AX-L

(8)

不難看出，該誤差方程為線性方程。根據(jù)條件平差方法[6]，可得未知參數(shù)X的最小二乘估計為：

X=(ATPA)-1ATPL

(9)

式中，P為觀測值的權(quán)矩陣。在工業(yè)測量中，如果使用同一臺設(shè)備進(jìn)行所有觀測，P一般取單位矩陣。

中誤差的估值為：

(10)

未知量X的協(xié)方差矩陣為：

(11)

得到X的最小二乘估計后，根據(jù)式(3)，(4)可以計算出旋轉(zhuǎn)矩陣R。將式(6)進(jìn)行變換可得：

(12)

將[mnp]T代入式(12)就可以得到平移參數(shù)。

2 工程應(yīng)用實例

下圖為某液化天然氣工廠項目的一個6立柱模塊圖紙的一部分。圖紙(圖1)中標(biāo)記出了這個模塊的左下角在當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系中的坐標(biāo)。將各個節(jié)點坐標(biāo)整理如表1所示。

表1 模塊設(shè)計坐標(biāo)

圖1 某液化天然氣工廠項目圖紙

建造過程中，測量團(tuán)隊在該模塊周圍建立了一個8個點的控制網(wǎng)，并測量該模塊6個立柱的位置。具體測量數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 模塊節(jié)點及控制網(wǎng)的坐標(biāo)

在圖紙上，該模塊上所有的結(jié)構(gòu)、管線、設(shè)備的位置都是使用設(shè)計坐標(biāo)進(jìn)行表示的，所以將控制網(wǎng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到設(shè)計坐標(biāo)系中十分必要。使用上文所提供的算法對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行了坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，計算結(jié)果如表3所示。

表3 參數(shù)計算結(jié)果

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的測量點坐標(biāo)及其與設(shè)計坐標(biāo)的差值如表4所示。

表4 變換后坐標(biāo)及與設(shè)計坐標(biāo)差值

3 精度分析

為了使精度比較更具可行性，本文使用相關(guān)教材[6]中的算例與精度比較方法，使用本文中算法進(jìn)行比較計算，5點坐標(biāo)(15個坐標(biāo)分量)殘差結(jié)果比較如圖2所示。

圖2 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換偏差比較圖注：楊凡等[1]的3種方法為四元組法、SVD法和迭代法，精度高度一致，曲線基本重合。

另外，評價坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度常用指標(biāo)除了楊凡等[1]使用的坐標(biāo)分量的殘差外，還有點位中誤差[7]，點位中誤差相比于坐標(biāo)分量的殘差更能體現(xiàn)坐標(biāo)系變換的綜合效果。圖3為點位中誤差的比較圖。

圖3 點位中誤差的比較圖

通過上面的比較可以看出，在參與計算的5個點中，使用本文提供的方法計算的點位中誤差多數(shù)小于楊凡等[1]的方法所計算的點位中誤差。通過對所有偏差及點位中誤差兩個指標(biāo)進(jìn)行比較可知，整體而言，在此計算案例中本文所述的線性方法的精度更高。

雖然通過數(shù)據(jù)比較無法得出一般性結(jié)論，但由以上數(shù)據(jù)不難看出，線性法在一般情況下精度不弱于其他方法。出現(xiàn)這種情況的原因是引文中的非線性算法都是通過迭代逼近真實值。在迭代過程中，為了減少計算量，只要達(dá)到工程需要的精度后就會停止迭代；而線性法則直接通過最小二乘法得出了更加精確的解，不存在迭代求解方法中的舍去誤差。

4 結(jié) 語

本文通過使用羅德里格矩陣對旋轉(zhuǎn)方程進(jìn)行描述，并進(jìn)一步引入新的變量對旋轉(zhuǎn)方程進(jìn)行二次簡化，推導(dǎo)出了三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換這個非線性問題的線性化解法。

顯而易見的是，本方法與傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法相比，具有運(yùn)算速度快、無須進(jìn)行初始值估算等優(yōu)點。本文提供的這種快速有效的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，更加適用于在工程測量中應(yīng)用；而且通過與其他方法進(jìn)行精度比較，可知本方法在一般情況下精度優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

當(dāng)然，此方法存在部分參數(shù)幾何意義不明確的缺點。此方法中羅德里格矩陣的幾何意義明確[2]，但后引入的參數(shù)[mnp]T幾何意義不明確，所以此方法目前暫時無法用于理論研究；但該方法用于工程中非常有效，實現(xiàn)了方便、高速、高精度三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。