概率論的開端

文楊莉亞

（作者單位：江蘇省常州市武進區禮河實驗學校）

1654年，喜歡賭博的法國貴族謝瓦利埃·迪默勒向數學家布萊斯·帕斯卡提出了一個問題：如何在一場未完成的賭局中分配賭注。“賭注”是每個賭徒在賭博開始時下注的金額。按照慣例，一旦下注，在賭局結束前，賭注就不屬于任何人，而在賭局結束時，贏家才會得到所有下注的錢。迪默勒的問題，現在被稱為“點數問題”，即如果玩家的部分點數是已知的，如何分配中斷賭局的下注賭金。為了做到“公平”，答案應該以某種方式反映出每個玩家在比賽結束時獲勝的可能性。以下是迪默勒點數問題的簡單版本。

澤維爾和伊萬每人在擲硬幣游戲上各下注10美元，然后輪流擲硬幣。如果硬幣落地時正面朝上，擲硬幣的玩家會得一個點；否則，另一個玩家會得一個點。第一個得3個點的玩家可贏得20美元。現在假設當澤維爾得2個點，伊萬得1個點，而澤維爾正準備擲硬幣時，游戲不得不取消。那這20美元的公平分配方法是什么？

帕斯卡考慮了在這種中斷的游戲中所有可能出現的點數，并把這個問題寫信告訴了另一位著名的法國數學家皮埃爾·德·費馬，從他們的通信中出現了一個新的數學領域。這兩位數學家用了不盡相同的方法得出了同樣的答案。下面是帕斯卡的方法：

在擲硬幣游戲中，一枚質地均勻的硬幣擲出正面或反面的機會是均等的。如果每個玩家都有2個點，那么在下一次擲硬幣的時候，每個玩家都有同樣的機會贏得游戲，所以每個玩家在該階段得到賭注的一半（10美元）是公平的。在案例中的情況下，澤維爾已得2個點，伊萬得1個點。如果澤維爾擲硬幣贏了，他得3個點，因此可得20美元。如果澤維爾輸了，那么每個玩家都有2個點，每人可得10美元。因此，澤維爾目前至少可保證得到10美元。由于澤維爾同樣有可能在這次擲硬幣中贏或輸，所以剩下的10美元應該由兩人平分。因此，澤維爾應該得15美元，而伊萬得5美元。

帕斯卡依次處理了中斷游戲的其他案例，將每一種情況都化約到先前已解決的情況，并相應地將錢分開。當帕斯卡和費馬發現這兩種方法都能得到相同的答案后，他們的書信往來卻中斷了。然而，他們的這段探討直到很久之后才為人所知。