一種擬Laguerre控制器設計

楊啟文,曾韻之,胡興燕,薛云燦

(河海大學 物聯網工程學院，江蘇 常州 213022)

0 引言

正交級數，如勒讓德(Legendre)級數、帕德(Pade)級數、傅里葉(Fourier)，在函數逼近或擬合方面有著顯著的優點[1-2]。正交級數雖然在理論上能夠帶來趨近于零的逼近誤差，但作為控制器模型在自動控制系統中卻不如PID控制器應用廣泛。

拉蓋爾(Laguerre)級數是一類L2(R+)上的正交級數。1932年Lee首次將其應用于瞬態問題研究[3]，1956年Wiener提出了連續時間內的Laguerre級數，并將其應用于系統識別[4]。由于拉蓋爾正交級數包含了系統階次以及時延信息[5]，因此在系統建模時，只需要根據誤差精度選擇合適的展開項，無需關注系統的真實模型結構，這使得拉蓋爾級數在系統建模與辨識時[6-7]，十分便利。

當前，將拉蓋爾級數作為控制器使用時，僅局限于離散時間形式[8-9]：使用簡單的p步超前預測控制律來預測過程響應，從而盡可能快地達到期望值[10-13]。在大規模、復雜系統中，每個子系統利用正交拉蓋爾網絡，實現分散預測控制[14]。也有學者將拉蓋爾級數與工業中廣泛使用的PID相結合，既保留了對時延和結構變化不敏感的拉蓋爾函數模型特性，又結合分數階PID控制的優點，實現基于拉蓋爾模型的分數階PID預測控制[15]。

考慮到拉蓋爾級數在逼近方面的優勢以及在連續時間控制器研究方面的不足，本文提出一種連續時間的擬拉蓋爾控制器模型及其參數整定規則，并與工業過程中廣泛使用的PID控制器進行對比研究，比較擬拉蓋爾控制器與PID控制器在模型逼近和抗干擾方面的性能，為工業過程控制提供新型控制器模型。

1 拉蓋爾級數

對于任意函數f(x)，可以用如下的拉蓋爾級數形式進行表示[16]：

(1)

式中，Ln(x)是由羅德里格公式推導得到多項式序列，Cn為拉蓋爾系數：

拉蓋爾級數的逼近精度隨著展開項的增加而提高，當展開項趨近于無窮大時，逼近誤差可以趨近于0，即：

由于存在如下關系：

因此，拉蓋爾多項式序列Ln(t)構成了L2(R+)函數空間上一組完備的歸一化正交基。

對于連續時間過程，拉蓋爾級數通常定義為[17-18]：

(2)

其中：p為時間比例因子，t∈[0，∞)為時間變量。將式(2)進行拉普拉斯變換，便可得到式(3)所示的復數域拉蓋爾級數：

(3)

復數域的拉蓋爾級數形式，為構建動態系統輸入/輸出關系的傳遞函數模型提供了可能。

2 擬拉蓋爾控制器模型

在經典控制理論中，通常將零初始條件下系統輸出與輸入的拉普拉斯變換之比，定義為一個線性系統的傳遞函數模型。根據式(3)所示的復數域拉蓋爾級數，一個線性定常連續系統的傳遞函數模型可定義為：

(4)

圖1 復數域拉蓋爾模型

在式(4)所示拉蓋爾級數型傳遞函數模型中，由于p≠0，因此標準拉蓋爾級數型傳遞函數是一個0型環節，無法描述含積分器環節的動態過程。0型環節的缺點是無法獲得足夠高的低頻增益，如果將其作為控制器應用于反饋控制系統中時，那么當被控對象無積分特性時，必然會導致系統存在穩態誤差。

為解決式(4)拉蓋爾級數型傳遞函數的不足，同時又盡可能保留拉蓋爾級數的基本特性，最直接的做法是在拉蓋爾傳遞函數模型中串接一個積分器。但這種處理方式，會增加控制器的階次和相角滯后，對系統的穩定裕度和快速響應性不利。

(5)

比較式(4)和式(5)可知，當展開項N的階次相同時，擬拉蓋爾控制器模型沒有增加系統模型階次，但相角增加了θ=arctg(ω/p)-0.5π；如果式(4)模型中采用串接積分器的方式，控制器的階次不但會增加一階，而且相角會增加-0.5 π，不利于提高系統的相角裕量。

3 擬拉蓋爾控制器頻率特性

拉蓋爾級數的展開項越多，逼近精度越高。但過高的控制器階次，一方面會帶來性能冗余，另一方面也會導致參數整定和工程實現復雜。因此，大多數情況下，控制器的階次盡可能低。

(6)

進行頻域特性比較。

由式(5)知，當系統展開階次N為2和3時，擬拉蓋爾控制器模型可改寫為如式(7)所示形式：

(7)

其中：

基于式(6)和式(7)的控制器模型，可計算出PID控制器和擬拉蓋爾控制器的頻域增益：

其幅頻漸近特性如圖2所示。

圖2 PID控制器和擬拉蓋爾控制器幅頻漸近特性

從低頻增益特性上看，兩種控制器模型都具有無窮大的低頻增益和-20 (dB/dec)的低頻斜率，可以實現位移無靜差控制。但二者的高頻增益卻相差很大：

PID控制器增益隨著頻率的升高而趨近于無窮大，擬拉蓋爾控制器隨著頻率的升高而趨近于無窮小。由于干擾信號一般具有較高的頻率成分，從抗干擾角度考慮，控制器高頻增益過大，不利于抑制高頻干擾。因此，從幅頻特性上看，擬拉蓋爾控制器理論上比PID控制器具有更好的高頻抗擾性能。

兩種控制器的相頻特性如式(8)所示：

(8)

在ω((0,+∞)的頻段,PID控制器的相角范圍為：

θPID(ω)(-0.5π,0.5π)

4 擬拉蓋爾控制器參數整定

基于性能指標的設計方法，是控制系統的一種常見設計方法，這類方法可以讓待設計的控制系統逼近期望的系統性能。

期望的系統性能，可以是時域的調節時間和超調量[19]，也可以是頻域增益[20]或穩定裕度[21]，還可以是綜合反映時域和頻域性能的期望模型[22]。本文基于模型逼近技術[22-24]，分別給出PID控制器的參數整定公式和擬拉蓋爾控制器參數的整定公式，便于在相同設計方法下，比較兩種控制器的不同性能。

設如圖3所示典型結構的控制系統中，Gc(s)是控制器模型，Gp(s)為被控對象模型，R(s)、D(s)和Y(s)分別為系統輸入、擾動輸入和系統輸出。

圖3 控制系統典型結構圖

根據如圖所示系統結構，可以得到閉環系統的數學模型：

(9)

便可利用前k個等式關系，推導k個控制器參數的計算公式。

對于式(6)所示PID控制器，按照式(9)所示等式條件，將前三項方程聯立求解，可得到Kp、Ki、Kd的整定公式：

(10)

基于上述處理思想，二階擬拉蓋爾控制器參數表達式為：

(11)

三階擬拉蓋爾控制器參數表達式如下：

設置參數初始值，包括種群規模ps、遺傳算法最大容忍停滯代數G1、模擬退火操作Markov鏈長度LM等，并令當前代數ge等各計數器的初始值為0。

(12)

其中：

由于式(11)和(12)未給出參數p的選擇原則，導致p為一自由參數。文獻[25]表明，在大多數情況下，參數p對系統性能影響不大，一般情況下可以根據先驗知識預設一個固定值，并建議取p=25。

5 仿真研究

為了研究擬拉蓋爾控制器的跟蹤性能和抗干擾性能，并與PID控制器進行比較，本文選擇三類不同的被控對象(低階時滯對象、高階無時滯對象以及非最小相位對象)：

這三類被控對象所對應的期望系統分別設置為：

5.1 逼近度比較

本節主要考察在階躍信號作用下，擬拉蓋爾控制系統與PID控制系統對期望系統的逼近能力。

對于低階時滯對象Gp1(s)，利用公式(10)～(12)，計算可得三個控制器參數如下所示：

圖4 參數p對系統逼近度的影響

為了能量化系統逼近度，將控制系統與期望系統時域響應的偏差絕對值進行積分(IAE)，作為控制系統逼近度的衡量指標：

(13)

表1 擬拉蓋爾控制器與PID控制器的逼近度比較

表2 擬拉蓋爾控制器與PID控制器的綜合性能比較

對于高階無時滯對象Gp2(s)，利用公式(10)～(12)計算得到的三種控制器參數(p=25)如下：

圖5為三種控制系統在階躍響應作用下的曲線，三者的區別十分明顯。

圖5 高階無時滯系統階躍響應

表3 擬拉蓋爾控制器與PID控制器的綜合性能比較

采用上述同樣的方法，得到非最小相位對象Gp3(s)的三種控制器參數(p=25)如下：

圖6 非最小相位系統階躍響應

表4 擬拉蓋爾控制器與PID控制器綜合性能比較

上面三例分別給出了三種控制器在三類不同類型被控對象上的控制效果及其與期望系統階躍響應的差別。為了能對三種控制器的逼近性能綜合排序，將三種控制器在三類被控對象上逼近能力的獨立排序結果列入表5中，然后計算各自排序均值，作為三種控制器逼近能力的得分。分值越小，逼近能力越強。

表5 擬拉蓋爾控制器和PID控制器逼近度排序

5.2 抗擾性能比較

控制系統在實際工作的過程中，不可避免地會受到外部信號的干擾，例如風對懸吊物的隨機影響、牽引過程中的負載突加和突減等。本文僅研究單位階躍干擾為D(t)=1(t)和正弦干擾D(t)=sin(2 000πt)時，三種控制系統對干擾的抑制能力。

為了能量化系統的抗擾性能，仍采用IAE指標作為評價標準。

圖7 時滯對象Gp1(s)的擾動響應

表6 抗擾性能JIAE

圖8 高階無時滯對象Gp2(s)的擾動響應

表7 抗擾性能IAE

圖9是非最小相位對象Gp3(s)的擾動響應過程，擾動響應曲線難以分辨。

圖9 非最小相位對象Gp3(s)的擾動響應

表8 抗擾性能IAE

表9 擬拉蓋爾控制器和PID控制器抗擾性能排序

GPID控制器得分2.17。這意味著，在三類被控對象的擾動實驗中，PID控制器的抗擾性能不如擬拉蓋爾控制器。這正如前文頻域特性分析那樣，高頻增益過高，不利于抑制擾動對系統帶來的影響。仿真實驗的結果與前文頻域理論分析相符。

6 結束語

本文利用連續拉蓋爾級數，設計了一種擬拉蓋爾級數型連續控制器模型，并基于模型逼近技術，采用麥克勞林展開獲得求解條件，給出了擬拉蓋爾控制器和PID控制器的參數整定公式。在相同設計方法前提下，通過三類被控對象的仿真實驗，對擬拉蓋爾控制器和PID的逼近度和抗擾性能進行了比較研究。