基于FEMM的工業機器人關節用磁通反向電機的設計與優化*

鐘一鳴 趙世偉 楊向宇

（華南理工大學電力學院 廣州 510640）

1 引言

近年來，我國以“智能制造”為目標不斷對制造業進行產業轉型升級，有力地推動了高端制造裝備產業的發展。作為高端裝備制造業的核心技術之一，工業機器人既能節省人工成本、縮短生產周期，也可以提升產品的工藝和質量，在工業生產中發揮了重要作用［1］。關節電機是工業機器人的動力來源，是實現各機械結構復雜動作的保證，其性能對系統運行的精度和平穩性有較大影響［2］。

磁通反向電機（Flux Reversal Machine，FRM）是一種新型永磁電機，其結構與開關磁阻電機相仿，定轉子結構均為凸極。所不同的是，FRM的定子齒部內嵌或表面貼附有交替充磁的永磁體，轉子由硅鋼片疊壓而成，無繞組纏繞。FRM能夠在低速工作時輸出較大的轉矩，適用于工業機器人關節電機對于低速大轉矩的要求。此外，相比于傳統的永磁伺服電機，FRM的永磁體位于定子部分，溫度易于檢測和控制，更適合工業機器人高負荷持續運行的工況。

目前，FRM的本體設計主要采用有限元分析法［3］。在解析分析方面，文獻［4］提出了變網絡法，文獻［5］提出了子域法，分別為FRM的初始設計提供了理論依據；文獻［6～8］通過對電磁特性的解析推導，詳細介紹了FRM的通用設計流程。針對FRM轉矩波動大的缺點；文獻［9～12］指出轉子齒結構優化、轉子開斜槽對降低齒槽轉矩有良好的效果；文獻［13～14］分析了永磁體的排列和設置對轉矩的影響。在優化算法方面，文獻［15］將田口法應用于6/8極FRM的局部優化設計中，在提升平均轉矩的同時將轉矩波動降低了41%；文獻［16］采用遺傳算法對12/64極FRM進行了全局優化，以電機質量-轉矩比為優化目標，在降低電機體積、永磁體用量的同時，提升了轉矩密度。

本文根據工業機器人用關節電機的需求，提出了一種12/29極FRM，首先對電機的主要尺寸進行了初步設計，并在Matlab軟件中搭建了電機建模平臺，聯合FEMM（Finite Element Method Magnetics）電磁場有限元計算工具［17］，對樣機的電磁性能進行了仿真驗證。在此基礎上，將隨機探索法應用于該電機的優化設計中，以輸出轉矩波動降低到指標要求為目標，對多個電機尺寸參數進行了全局優化。

2 電磁設計

2.1 樣機主要技術指標

樣機的主要設計指標如表1所示。

表1 樣機主要技術指標

2.2 樣機主要尺寸的確定

樣機選用12/29極方案，定子有Ns=12個平行齒，每齒下方有nPM=2對永磁體，相鄰定子齒下永磁體的排列方式相反。轉子由硅鋼片疊壓而成，具有Nr=29個凸極。根據經驗初選切向電磁力密度ft=2.4 N/cm2，則額定轉矩Te可以表示為

其中Dr是轉子外徑，lstack為電機軸向長度。定義電機長徑比λ為

初選λ=0.8，可計算出轉子外徑Dr：

取轉子外徑Dr=0.160 m，則電機軸向長度可確定為lstack=0.128 m。定子齒下每個永磁體的弧長τPM為

選用高性能釹鐵硼N38UH永磁體，當工作溫度在70°時，永磁體剩磁Br=1.25 T，矯頑磁力Hc=860×103A/m。初選永磁體厚度hPM=2.5 mm，氣隙長度g=0.5m。理想空載氣隙磁密BPMi為

前期大量有限元仿真結果表明，電機空載時每齒磁通ΦPM(θr)隨轉子位置θr近似呈正弦變化，其關系可以表示為ΦPM(θr)=ΦPMsin(Nr·θr)，其中幅值ΦPM為

式中Kfringe為漏磁系數，由于磁通反向電機的漏磁現象一般較為顯著，在初步設計時保守估計Kfringe=0.40［18］。每相空載感應電動勢幅值Em為

取相繞組匝數nc=180，此時相空載感應電動勢幅值Em約為258V。定子繞組通入正弦激勵電流，當與某相繞組交鏈的永磁體激勵的磁通為零時，控制通入該相繞組的正弦電流達到最大值。激勵電流I和電機轉矩的關系可以表示為

結合式（1）、（7）、（8），消元計算可以得到產生額定轉矩所需的相繞組安匝數：

選擇電流密度Js=2.5 A/mm2，槽滿率Kfill=0.60，可以計算出定子槽面積Aslot：

基于上述部分對電機主要尺寸的初步設計，經反復計算校驗和調整得到的樣機詳細參數如表2所示。

表2 FRM樣機設計參數

3 初選樣機有限元分析

3.1 樣機空載電磁性能分析

為將FEMM工具應用于電機的穩態運行分析，本文使用有限元時步法［19］來模擬電機轉子運動的情況，利用Matlab平臺對FEMM中每一離散狀態的仿真進行控制，通過改變轉子外表面和定子內表面的周期性條件［20］，實現了運動區域中的節點編號和網格信息跟隨轉子“運動”。令轉子旋轉一個轉子槽距，仿真得到A相繞組的空載磁鏈如圖1所示。

圖1 A相繞組空載磁鏈波形

由圖1可知，轉子轉過一個轉子槽距，與定子相繞組交鏈的磁鏈變化一個電周期。空載時電機磁場全部由永磁體激勵產生，由于永磁體被固定在定子齒下方，從定子參考系上來看，永磁體磁動勢在時空上均為靜止。然而，FRM轉子的凸極結構對氣隙中的永磁體磁動勢具有磁場調制作用，當轉子旋轉時，定子繞組中的磁鏈能夠呈雙極性變化，并進一步在繞組中感應出雙極性的反電動勢。在一個電周期中，電機的工作狀態具有圖1中標示的A、B、C、D四個典型位置，各位置的磁力線分布如圖2所示。

圖2 FRM典型工作位置及磁力線分布

圖2 （a）中樣機的工作位置與圖1中的A點相對應，此時和A相繞組交鏈的永磁磁通的路徑可以分為兩條，它們分別形成閉合回路，并都在A相繞組中產生正磁鏈，使得A相繞組總磁鏈達到周期內的正向最大值。比較圖2（c）和圖2（a）可以發現，由于磁通反向電機在結構上的對稱性，位置C時永磁磁通的路徑與位置A時的路徑也具有對稱性，并且每條路徑的方向均為反向。因此，兩個位置的相繞組磁鏈大小相同、極性相反。當轉子轉到B、D位置時，與A相繞組交鏈的永磁磁通依然有兩條主要路徑，這兩條路徑中的磁通大小相等、極性相反，使得A相繞組總磁鏈為0。在樣機工作的四個典型位置都可以看到較為顯著的漏磁現象，每個時刻都有一半的定子永磁體提供漏磁，這同樣是磁通反向電機的結構導致的。漏磁通的存在減少了與繞組匝鏈的磁鏈，可在后期通過優化轉子極弧、增加隔磁橋等方法降低。

對樣機轉子部分的受力進行分析，得到電機齒槽轉矩隨轉子位置變化的曲線如圖3所示。

圖3 空載定位轉矩波形

FRM的凸極轉子結構決定了其齒槽轉矩通常較大，且波形與轉子齒寬、永磁體厚度和斜槽角度有密切關系［9～10］。在本樣機中，初選轉子齒角度約為5.8°，仿真得到的齒槽轉矩波形呈正弦分布，其含量約為額定轉矩的1.26%。

3.2 樣機負載電磁性能分析

向三相繞組中通入額定電流，令樣機工作一個電周期，仿真得到負載轉矩波形如圖4所示。

圖4 負載轉矩波形

經計算，負載轉矩平均值為127.03 N·m，與設計要求的127 N·m相符合，轉矩波動幅度約占平均值的4.61%。從圖5中可知，1個電周期內樣機負載轉矩波動6個周期，每周期占60電角度。后續針對負載轉矩進行分析和優化時，考慮轉子運行1/6個電周期內的情況即可。FRM的損耗由定子銅耗、定轉子鐵耗、機械損耗和附加損耗組成。仿真得到樣機的銅耗為90.1W，定轉子鐵耗之和為80.5W。根據經驗取機械損耗和附加損耗的總值為總損耗的5%，可計算出樣機效率約為90.3%。

對初選樣機電磁性能的有限元驗證表明，其電磁性能基本達到了設計指標，初步設計尺寸是合理的。然而，在沒有任何優化措施的情況下，樣機的轉矩波動仍有進一步降低的空間。為更好地滿足工業機器人關節電機對于工作精度和平穩性的要求，需要對樣機的轉矩性能進行針對性的優化。

4 基于隨機探索法的FRM優化設計

4.1 隨機探索法

FRM的優化設計具有多變量、多極值、有約束和非線性的特點，其優化變量和代價函數之間的關系無法簡單地用解析式來描述。在優化過程中，電機性能并不會平滑地改變，對于這種具有不連續代價函數的問題，為避免過早陷入局部最優解，可以采用隨機探索法［21～22］。

隨機探索法由Luus在1973年首次提出，是一種經典的直接搜索算法，具有普遍適用、可靠性高、簡便有效的特點［23］。將隨機探索法應用于有約束的最小化問題，具體計算步驟如下。

1）選擇代價函數f:Rn∈R，選擇優化變量x∈Rn。

2）規定約束可行域，在可行域內選擇x的初始位置，設定初始搜索比例r。

3）從x出發，在搜索比例r所確定的搜索范圍內隨機地前進到新位置y。

4）若新位置不滿足約束條件，轉向步驟3），否則計算代價函數在y點處的數值。

5）若f(y)>f(x)，則轉向步驟3），回到全局最優位置。如果f(y)

6）若在規定的單步迭代次數上限內沒有移動到更好的點，按規定比例(1-ε)縮小r，并轉向下一步。

7）若r已縮小到設定精度卻依然得不到一個更好的位置，則取x的當前位置為全局最優，并結束優化。否則轉向步驟3）。

使用隨機探索法對n個參數進行多參數同時優化，取得第j次進展時，若搜索比例共收縮k次，則搜索范圍會縮小成以第j次進展所獲得的最優位置為中心，邊長為2r(1-ε)k·x*(j)的n維超矩形。那么，在第j+1次進展中，最優位置最遠可以移動至：顯然，第j+1次取得的實際進展應小于等于，實際進展可表示為

當搜索范圍收縮得足夠小時，優化所得最優位置應離全局最優位置很近。若第j次進展的搜索范圍[-r(1-ε)k·x*(j)，r(1-ε)k·x*(j)]足夠小，全局最優位置的第i個參數的精度可以由式（14）確定：

在此算法的應用中，搜索初始半徑r的選擇對尋優收斂的速度和尋優結果有較大的影響。r選擇過大時，算法的迭代進展較小，甚至會出現沒有進展的情況。在優化過程中，算法并不會根據每次進展取得的進展分率來適當地放寬或縮小搜索范圍，而是等比例地對搜索比例進行收縮，因此過小的r容易使算法落入局部最優解。在實驗中，可以通過每個優化參數取得進展分率ξi的情況，分別對各參數選取合適的初始搜索比例。

4.2 樣機電磁優化設計

為衡量樣機總體轉矩波動的程度，定義轉矩波動率Kmb為

式中，Tmax和Tmin為電機穩態工作狀態下瞬時轉矩的最大和最小值，Tavg為轉矩平均值。

在電流激勵和電機外部尺寸（定子外徑、轉子內徑和軸向長度）保持不變的前提下，以轉矩波動率降低至平均輸出轉矩的1%以下為優化目標，選取轉矩波動率Kmb為代價函數。為保證優化所得電機的合理性，規定優化后樣機的平均轉矩Tavg≥127 N·m、相感應電動勢低于205V、槽滿率不高于70%且效率不低于90%。經過前期對電機尺寸各參數的調整和驗算，基于各尺寸參數對電機轉矩性能的影響大小，最終選擇轉子外徑Dr、永磁體厚度hPM、定子槽深hss、定子齒靴高度h1、定子齒寬Wst、轉子齒寬αr作為優化參數，標注如圖5所示。

圖5 電機優化參數示意圖

算法的約束可行域通過對各優化參數設定約束條件方程來給定。各優化參數的約束條件如式（16）所示：

一系列前期實驗表明，對于此初選樣機的優化問題，各參數初始搜索比例設為10%左右，ε取0.3～0.5，單步迭代次數上限設為50次時，可以有效達到優化目標，并將算法迭代次數控制在500次以內。

4.3 優化結果分析

應用隨機搜索法對初選樣機進行優化，優化過程中每次取得進展的情況如表3所示。

表3 優化算法迭代情況

從優化的過程來看，優化初期進展迅速，前30次迭代將轉矩波動率由4.61%降低至2.52%，降幅達到45.3%。迭代進行到第97次時，算法共將代價函數降低約74.2%，此時樣機轉矩波動率降至1.19%，接近優化目標。此后，算法對搜索范圍進行收縮，先后在第162次、第243次迭代中取得進展，將轉矩波動率降至1%以下，達到電機設計指標的要求。在第305次迭代取得更優解后，搜索范圍進一步收縮至設定精度，程序滿足優化停止條件并輸出各參數最優值。

算法共計迭代355次。值得注意的是，在每次迭代中，程序都調用FEMM對候選樣機進行1次瞬態仿真，每次瞬態仿真都包含40個離散狀態，整個優化過程共進行了14200次有限元計算。對于這樣大的計算量，應在前期充分利用FRM結構和性能上的對稱性來簡化問題，同時在編程上靈活利用FEMM的周期性邊界條件以節約重新剖分消耗的算力。

對優化前后樣機的負載轉矩進行比較，二者波形如圖6所示。

圖6 優化前后負載轉矩波形對比

從結果上看，對轉矩波動率的優化起到了良好的效果。在電流激勵不變的情況下，樣機轉矩波動的幅值約由5.9 N·m降至1.3 N·m，降幅約為78%。轉矩波動率由4.61%降至0.99%，下降約78.5%。此外，樣機的負載轉矩平均值由設計之初的127.03 N·m提升到了131.55 N·m，轉矩密度有所提升。經檢驗，優化后的樣機槽滿率為63.2%，空載反電動勢為199V，效率約為90.2%，電磁性能達到設計指標，能夠較好地滿足工業機器人對關節電機的性能要求。

5 結語

本文針對工業機器人用關節電機的需求，提出了一款12/29極FRM電機。通過經驗公式和初步計算確定了電機的初始尺寸。采用FEMM電磁場有限元計算工具，實現了樣機電磁性能的有限元仿真。仿真結果表明樣機初步設計基本合理，也顯現了負載轉矩波動大的問題。文章利用隨機探索法，以負載轉矩波動率為優化目標，對初選樣機的六個結構參數進行了多參數優化設計，取得了顯著的優化效果，將輸出額定轉矩時的轉矩波動率由4.61%降至0.99%。經過合理的電磁設計和參數優化，最終得到的FRM樣機具有輸出轉矩平穩、結構簡單的優點，能夠滿足工業機器人關節電機系統對高精度、平穩運行的要求。