床墊用垂向變剛度空氣彈簧靜力學特性及其計算模型

晁垚，申黎明,2*，劉明鵬，張宏玉

(1. 南京林業大學家居與工業設計學院，南京 210037；2. 南京林業大學林業資源高效加工利用協同創新中心，南京 210037)

人的一生大約有三分之一的時間是在睡眠系統(床架和床墊)上度過的，因此人與床墊交互過程產生的界面特性對于人的臥姿舒適度、睡眠質量以及睡眠健康均有不可忽視的影響。界面特性包括熱舒適度與支撐特性，與床墊結構有關。傳統床墊一般是由鋪墊層和支撐層(彈簧層)組成的層狀復合結構。鋪墊層主要影響床墊的緩沖特性與界面溫度分布，彈簧層主要影響床墊的剛度特性，即支撐特性；床墊剛度的物理意義為床墊在受壓后抵御彈性變形的特征。因此，鋪墊層結構和材料主要影響界面溫度分布、被褥微環境熱舒適度[1-2]以及“人-床墊”界面的壓力分布[3-4]；彈簧層主要影響與生物力學相關的支撐特性，體現在臥姿脊柱形態以及關節屈曲角度和生物力學[5-6]。因此,彈簧層的支撐作用對于保障人體骨骼肌肉處于最佳受力狀態具有重要作用。此外，不同用戶由于人體測量學特征的差異，如身體輪廓、體型、重量分布等，在使用床墊時會產生不同的界面壓陷形狀和不同的人體生物力學作用，因此對床墊的支撐具有不同的需求[7-8]。研究表明,長期臥床的群體需要避免產生壓瘡[9]，而對于成長中的青少年而言，床墊良好的支撐特性對于骨骼肌肉的正常生長極為重要。因此，理想床墊彈簧層應該能夠根據用戶使用床墊時的支撐情況而實時調節剛度以滿足個性化以及不同臥姿的支撐需求，尤其是使用戶獲得自然的臥姿脊柱形態[10-11]。在過去的10多年中，變剛度床墊的研究對象主要是防壓瘡護理床墊[12]，其支撐結構是剛度可通過改變充氣量調節的條狀、塊狀氣囊，一般不加鋪墊層。由于氣囊床墊主要用來防止壓瘡，因此其功能是緩解界面壓力[13]，調控過程并未考慮人體骨骼肌肉的生物力學作用。除氣囊外，用于工效學墊類產品的非線性剛度混合螺旋彈簧[14]在使用中可以產生變化的剛度，然而剛度變化范圍在彈簧生產出來便固定，無法在實際工作中實現個性化實時調節。綜上，目前床墊剛度調節研究的局限性在于：1)主要關注醫用護理床墊，對家用變剛度床墊研究較少；2)床墊使用的氣囊體積較大、變形無法預測，無法精確調控其剛度與形變以實現人體局部支撐變化的需求；3)非線性鋼彈簧使用過程中剛度無法個性化調節。為了研究家用變剛度床墊以滿足個性化的臥姿支撐需求，首先需要解決床墊彈簧層剛度個性化調節的問題。因此，筆者提出：1)是否可以設計一種承受軸向載荷、產生軸向變形的空氣彈簧，并提供類似于螺旋鋼彈簧的點狀支撐；2)是否可以實現空氣彈簧的剛度非線性調節；3)是否可以建立計算模型，描述空氣彈簧載荷與高度之間的關系，作為床墊支撐特性調節的工程控制方法。

為了解決以上問題，本研究提出一種用于床墊的垂向變剛度空氣彈簧設計方法，并通過準靜態單軸壓縮實驗分析空氣彈簧剛度特征及影響因素，為空氣彈簧的設計提供依據；同時，提出一種建立空氣彈簧的壓縮量、載荷與氣壓之間關系計算模型的方法，用于實際工程控制中床墊支撐特性的調控。

1 材料與方法

1.1 空氣彈簧制備

本實驗所用空氣彈簧樣品委托浙江某氣囊生產廠家制樣。本實驗選用熱塑性聚氨酯(thermoplastic polyurethane，TPU)涂層織物復合材料制作空氣彈簧。TPU涂層厚度為0.5 mm，限于企業現有材料約束，只有兩種密度，即210 D及840 D(D，Denier，其含義是單根纖維每9 000 m質量為210和840 g)；二者區別在于纖維線徑，840 D線徑稍大，相應力學強度也較大。以密度為840 D的原料為例，其外觀與細節如圖1a所示。本研究設計了一種主要承受軸向載荷的空氣彈簧，其結構如圖1b所示，由1層或多層曲囊氣室堆疊構成，h為充氣后的總成高度，h0為單層曲囊展開后高度；曲囊未充氣展開時各面均為圓形平面，其直徑由于兩片材質邊緣處的粘合而損失10 mm，成品半徑為R0，如圖1c所示。空氣彈簧充氣展開后由近似球冠面圍合成曲囊氣室，各層曲囊之間連通，最下層曲囊中心裝配接頭，用來與氣源連接。實驗用空氣彈簧樣品共有1層、2層、3層3種結構，如圖1d所示。充氣展開后幾何參數如表1所示，其中容積通過排水法測得。

圖1 材料及空氣彈簧結構、試件Fig. 1 Material, structure and specimens of air spring

表1 空氣彈簧試件尺寸參數Table 1 Parameters of air spring specimens

1.2 實驗設備與儀器

本實驗為準靜態單軸壓縮實驗，所用設備為力學實驗機(Shimadzu，Japan)以及氣壓測量儀。氣壓測量儀由氣壓傳感器及Arduino開發板制作，并經過機械式氣壓表及標準大氣壓校準。力學實驗機壓頭為不銹鋼圓盤，直徑100 mm，加載與卸載速率為25 mm/min。氣源為加可控硅模塊改裝的可調壓氣泵。實驗設定信息如表2所示，實驗連接及加載過程如圖2所示。

表2 儀器設備工作信息Table 2 Working information of equipment and instruments

圖2 實驗設備連接圖及壓縮過程Fig. 2 Diagram of experiment connection and compression process

1.3 實驗設計

實驗各因素及詳細信息如表3所示。

表3 實驗因素信息Table 3 Information of experimental parameters

實驗流程如下：

1)調節實驗機壓頭與空氣彈簧上表面接觸至預載荷1×10-3kN，調節空氣彈簧內部氣壓為10 kPa，壓力穩定后關閉氣閥，將力學實驗機調零。

2)1層、2層、3層空氣彈簧軸向壓縮距離分別為20，30，60 mm。啟動力學機及氣壓測試儀，記錄“位移-載荷”“位移-氣壓”數據。

3)加載試束后，以同樣的速率卸載至載荷為0 kN，并同步記錄空氣彈簧內部氣壓。

4)調節初始氣壓至其他水平，重復上述過程，直到所有的實驗條件全部測試完畢。每種工況每個樣品進行1次實驗。

1.4 數據處理

本實驗所有數據使用MATLAB 2016 Ra處理，分析內容如下：

1)結合理想氣體壓縮過程的基本理論與實驗現象，分析空氣彈簧在不同實驗條件下的載荷與氣壓變化特征以及各實驗因素對剛度、內部氣壓的影響；

2)建立空氣彈簧“位移-載荷”“位移-氣壓”計算模型，用于實際工程控制中剛度調控。

2 結果與分析

2.1 剛度與初始壓強、容積的關系

空氣彈簧剛度的物理含義是其抵御彈性變形的能力，表示空氣彈簧被壓縮的難易程度；數學含義為載荷對壓縮距離的微分。剛度越大，壓縮單位長度需要的外力越大，空氣彈簧越不易被壓縮。

為了分析空氣彈簧剛度與內部氣壓和容積的關系，需要通過剛度的數學含義并借助氣體壓縮過程物理狀態方程分析。本實驗壓縮速率較低，壓縮過程可視為恒溫過程，假設空氣彈簧內部為理想氣體，則滿足公式(1)：

pv=cRT

(1)

式中：p為壓縮過程中空氣彈簧內部壓強；v為氣體體積；c為氣體質量；R為通用氣體常量，通常取(8.314±0.000 26) J/(mol·K)；T為氣體熱力學溫度。

空氣彈簧的剛度表達式為：

k=dFload/dl

(2)

式中：k為空氣彈簧的剛度；Fload為壓縮過程中載荷，是關于壓縮量的函數，表示為Fload=f(l)；l為壓縮量。根據靜力學平衡原理，載荷可以表示為：

Fload=ps

(3)

式中：p為壓縮過程中空氣彈簧內部壓強，表示為p=g(l)，隨著壓縮量增加而增大；s為壓縮過程中空氣彈簧的實際承壓面積。由于本實驗所用空氣彈簧表面為球冠面，壓頭與空氣彈簧的接觸面積隨著空氣彈簧壓縮量的增加而增大。因此，實際承壓面積s也是關于壓縮量的函數，表示為s=u(l)。剛度與壓強和面積之間的函數關系式為：

(4)

聯立式(1)、(2)、(3)，剛度與容積和面積的函數關系式為：

(5)

式中，v為空氣彈簧內封閉氣體的體積。

以材質密度210 D的空氣彈簧為例，3種空氣彈簧在9種初始氣壓工況下的“位移-載荷”結果如圖3所示。

圖3 “位移-載荷”壓縮曲線Fig. 3 Compression curves of displacement-load

結合式(4)、(5)與圖3可得：

1)從式(3)可以看出，空氣彈簧的剛度由氣壓變化率以及接觸面積變化率共同決定。空氣彈簧剛度與氣壓p之間存在正相關關系。空氣彈簧內氣體壓強越大，剛度越大，壓縮同樣位移需要的載荷越大，這與圖3a～c的趨勢一致。

2)從式(5)可以看出，空氣彈簧的剛度由體積變化率以及接觸面積變化率共同決定，與接觸面積成正比，與體積成反比。當初始壓強相同時，空氣彈簧初始容積越大，壓縮同樣位移時壓強變化率越小，空氣彈簧的剛度越小，壓縮所需要的載荷也就越小，與圖3d的規律一致：同樣初始壓強工況下，壓縮相同位移時，3層空氣彈簧氣壓變化率最小，剛度最小。空氣彈簧剛度與容積之間存在非線性負相關關系。

3)空氣彈簧的剛度可類比于普通螺旋彈簧的勁度系數k，不同之處在于普通螺旋彈簧的勁度系數為定值，受力與變形之間的關系滿足胡克定律。空氣彈簧剛度為容積和氣壓變化率的函數，為變化值。

2.2 內部氣壓與壓縮量的關系

所有空氣彈簧試件在9種工況的“位移-氣壓”曲線趨勢一致，以材料密度210 D、1層空氣彈簧為例，如圖4所示，空氣彈簧壓縮位移與內部氣壓之間均呈現非線性正相關關系，隨著壓縮位移增加，空氣彈簧內部氣壓非線性增加。

圖4 “位移-氣壓”曲線Fig. 4 Curves of displacement-inner pressure

2.3 剛度與材料密度的關系

以1層空氣彈簧、初始氣壓10 kPa的壓縮曲線為例，兩種密度材料的空氣彈簧“位移-載荷”曲線如圖5所示。其余工況下二者關系呈現一致性規律，密度840 D材質的空氣彈簧曲線在上方。

圖5 不同材質密度空氣彈簧的“位移-載荷”曲線Fig. 5 Curves of displacement-force respect to different material densities

分析圖5可知，空氣彈簧材質密度與其剛度之間存在正相關關系，當初始容積、初始氣壓以及壓縮行程相同時，材質密度越大，壓縮所需的載荷越大。這可能是受到材料織物層纖維線徑的影響。由于空氣彈簧受壓后織物層纖維在氣體作用力下產生張力而被拉伸，而線徑較大的纖維發生同樣拉伸距離需要的載荷較大，因此表現為空氣彈簧的剛度較大。

2.4 滯后性

以密度210 D、3層空氣彈簧為例，在初始內壓26 kPa工況以同樣的速率加載、卸載，“空氣彈簧高度-載荷”曲線如圖6所示。分析圖6可得：

圖6 加載-卸載曲線Fig. 6 Curves of loading and unloading

1)空氣彈簧加載與卸載曲線之間存在偏離，可能是由于壓縮過程中空氣彈簧內的封閉氣體與外界空氣之間發生了熱量交換而損失了部分內能。由于實驗壓縮速率較低，因此空氣彈簧內氣體在壓縮過程中視為恒溫、非絕熱過程，封閉氣體溫度增益非常緩慢，從而由進入大氣的熱流來補償。加載曲線與卸載曲線圍合面積即為加載與卸載過程中損失的能量。

2)加載與卸載過程損失的能量很小，二者曲線基本重合，近似認為加載與卸載過程可以用同樣的函數表示，二者互為逆過程，即載荷以及內部氣壓可表示為彈簧高度或位移的函數。

3 垂向變剛度空氣彈簧力學計算模型

空氣彈簧力學計算模型的建模方法一般有兩種，一種為基于實驗數據的函數系數擬合法，一種為基于理想氣體狀態方程和氣體動力學方程的參數化建模法[15]。擬合參數得到的模型變量只有壓縮量，由于變量少、計算過程簡單，因此非常適用于工程控制；而參數化建模變量則是空氣彈簧幾何尺寸、氣體狀態相關參數。對于不規則形狀和復雜幾何形狀的空氣彈簧，參數化建模需要對空氣彈簧幾何形狀做近似處理，因此預測精度受到影響，且計算過程較為復雜，適用于空氣彈簧設計過程的剛度預測分析。本實驗設計的空氣彈簧充氣展開后為近似于球冠面的曲面圍合而成，實際工作過程中高度、容積、接觸面積等所有的尺寸均在變化，參數化建模比較復雜，并不適用于工程控制。為了準確描述空氣彈簧的力學性能，并用于實際工程控制中調節“人-床墊”界面壓陷形狀，本研究選擇擬合參數的方式同時考慮多種變量，建立計算模型。

3.1 “位移-載荷”計算模型

經過上述分析可知，空氣彈簧的載荷與壓縮量以及初始內壓之間均存在函數關系。因此通過多項式擬合的方式建立任意初始壓強的“位移-載荷”函數表達式[16]。將載荷F表示為位移l的多項式函數，對F微分得到F關于壓縮量的導函數，即剛度k的函數。

以空氣彈簧在初始氣壓為10 kPa工況的實驗數據為例，通過多項式擬合法建立同時考慮初始氣壓與壓縮量的計算模型。壓縮位移與載荷曲線的擬合結果如表4所示，隨著擬合冪次增加，均方差逐漸減小，可信度逐漸增加；但當n>3時，各指標變化并不顯著。因此，在工程控制中，最高冪次n=3時即可滿足工程控制需求。

表4 多項式擬合結果Table 4 Polynomial fitting results

“位移-載荷”的多項式函數表達式為：

Fp=ap1ln+ap2ln-1+…+apnl+ap(n+1)

(6)

式中：Fp為空氣彈簧載荷；l為空氣彈簧壓縮位移；n為多項式最高冪次；apj為冪次降序的多項式系數，j=1，2，…，n+1。

定義空氣彈簧的壓縮量冪矢量l=(ln，ln-1，…，l，1)T，多項式系數可以表示為矢量ap=(ap1，ap2，…，apn，ap(n+1))，代入式(6)，可以得到矩陣表示的多項式擬合關系：

Fp=apl

(7)

本實驗工況為9種初始氣壓，從10到26 kPa，間隔為2 kPa，每種空氣彈簧擬合得到9組3次多項式函數，但是此9組多項式函數只能分別描述對應9種初始內壓工況的“位移-載荷”，對于實驗未包括的初始內壓工況，該組函數則無法應用。觀察9組“位移-載荷”曲線的差異，可推斷9組曲線3次多項式函數各冪次項系數與初始氣壓之間有關系，因此將初始氣壓的影響考慮在內，進行第二次擬合，此次擬合冪次項系數與初始氣壓之間的函數。將9組3次多項式函數的各冪次項系數按照初始氣壓從低到高單調排列，得到不同初始氣壓的冪次項系數矩陣a，則空氣彈簧“位移-載荷”用矩陣表示為：

F=al

(8)

式中：F為載荷，F=(F1，F2，…，Fk)，下標k表示不同初始內壓下的載荷，在本實驗中，k=9；l為壓縮位移冪矢量；a為擬合多項式冪次項系數。

(9)

初始氣壓用矢量P表示，P=(P1，P2，…，Pk)，其中k=9，Pi表示第i條壓縮曲線對應的初始內壓。矩陣a的行向量表示同一初始內壓下空氣彈簧擬合多項式函數從最高冪次項到零冪次項的系數；矩陣a的列向量表示多項式各冪次項系數隨著初始內壓變化的規律，按照初始氣壓從低到高排列。因此，將各列系數與9種初始內壓采用多項式擬合參數。

二次擬合時將初始內壓p視作自變量，a中各列元素視作因變量，多項式函數表達式為：

aj=bj1pm+bj2pm-1+…+bjmp+bj(m+1)

(10)

式中：m為二次擬合多項式最高冪次；j為系數在矩陣a中的列號；bjl為冪次降序的多項式系數；l=1，2，…，m+1；b為系數矩陣。

(11)

定義不同初始內壓為壓力冪矢量P=(pm，pm-1，…，p，1)T，在本實驗中p的取值為10～26 kPa，間隔2 kPa，9種工況壓縮曲線擬合得到的多項式系數矢量a可以表示為：

a=bp

(12)

將式(12)代入式(7)，得到任意初始氣壓工況的空氣彈簧壓縮曲線擬合多項式函數：

Fp=(bp)Tl

(13)

對式(13)微分，就得到空氣彈簧變剛度表達式：

(14)

式中：kp為初始內壓為p時空氣彈簧剛度函數；Fp為初始內壓為p時空氣彈簧載荷。

下面使用一個算例檢驗二次擬合的函數準確性。

選擇初始內壓為26 kPa，使用式(13)模擬計算1層空氣彈簧壓縮0～20 mm過程中的載荷，擬合時n=3、m=6，擬合函數和計算結果與實驗測量結果比較；再隨機設定一種非實驗過程的初始氣壓，如p=19 kPa，使用式(13)計算空氣彈簧在壓縮過程中的載荷，并與p=26 kPa的實驗數據相比，結果如圖7a、b所示。該初始氣壓工況下載荷計算模型如下(R>0.99)：

F=0.000 022 39·l3-0.000 027·l2+0.004 16·l-0.001 39

從圖7a中可以看出，二次擬合的多項式函數能夠精確地表示空氣彈簧壓縮過程。初始內壓19 kPa時空氣彈簧的預測載荷如圖7b下方的曲線所示，小于初始內壓26 kPa的載荷，這與圖3表現出的規律相符合，表明該方法擬合得到的工程控制計算模型較為精確，達到了工程應用的要求。

圖7 位移-載荷的模擬結果與實驗比較Fig. 7 Comparison of displacement-load simulation results with experimental results

至此，給定任意初始內壓p，即可根據式(13)精確計算空氣彈簧任意平衡位置的載荷，也可以根據任意平衡位置的載荷計算空氣彈簧的壓縮位移或高度。

3.2 “位移-氣壓”計算模型

與“位移-載荷”計算模型擬合思路相同，通過二次擬合的方法建立任意初始氣壓工況的空氣彈簧內部壓強與位移之間的計算模型，最終確定為3次多項式，m=6，n=3。

下面使用一個算例驗證計算模型的準確度。

以材質密度為210 D的1層空氣彈簧在初始氣壓26 kPa工況壓縮過程為例，將擬合多項式函數模擬計算氣壓值與實驗測量氣壓值比較，結果如圖8a所示，二者曲線幾乎重合，表明模擬計算結果可靠。

給定試驗范圍之外的任意初始壓強，如19 kPa，擬合多項式計算值與初始壓強26 kPa條件下實驗值結果如圖8b所示，此時預測模型如下(R>0.99)：

p=0.002 5·l3+0.000 6·l2+0.515 6·l+18.948 9

壓縮量為0 mm時，即l=0 mm，氣壓計算模型的預測值為常數項18.948 9 kPa，與初始壓強19 kPa差異很小。從圖8b可以看出，19 kPa工況的“氣壓-位移”曲線在26 kPa工況曲線的下方，與圖4的趨勢一致。

圖8 位移-氣壓的模擬結果與實驗結果比較Fig. 8 Comparison of displacement-pressure simulation results with experimental results

至此，給定任意初始壓強，即可根據任意平衡位置時空氣彈簧內部氣壓計算壓縮量，從而可以通過空氣彈簧高度描述“人-床墊”界面壓陷形狀，獲得臥姿脊柱形態。以上方法和結果為變剛度床墊設計和調控提供了基本依據和可行性驗證。本研究所提出的垂向變剛度空氣彈簧相對于傳統螺旋鋼彈簧以及傳統氣囊而言具有以下優點：

1)普通螺旋鋼彈簧以及非線性鋼彈簧的剛度出廠即確定，而空氣彈簧在尺寸確定時可以通過調節初始氣壓獲得不同剛度，靈活多變；在工作過程中通過調節內部氣壓而改變工作過程中剛度以滿足人體臥姿變化時床墊的支撐需求；

2)空氣彈簧受壓時主要發生垂向形變，運動軌跡與形變明確，容易獲得精確的高度與載荷、內部壓強之間的關系，為個性化臥姿脊柱形態調節提供了可能條件，且工程調控方便。

4 結 論

通過對不同結構和材質密度的空氣彈簧進行準靜態單軸壓縮實驗與結果分析，可以得出以下結論：

1)空氣彈簧在軸向壓縮過程中，剛度與氣壓呈現非線性變化。壓縮量越大，剛度越大；內部氣壓呈現非線性增加的趨勢。通過改變工作過程中平衡位置的氣壓，可以實現工作過程中剛度的個性化調節。

2)空氣彈簧的剛度與初始容積之間為非線性負相關關系，與初始內部壓強之間為正相關關系，與材質密度大小之間為正相關關系。在設計與工程控制中可以通過改變以上相關參數實現剛度調節。

3)使用多項式擬合參數的方法可以獲得空氣彈簧任意初始氣壓工況下載荷、內部氣壓與壓縮量之間的計算模型，從而可以根據實時氣壓與載荷計算及調控空氣彈簧的工作高度，為變剛度床墊設計及工程控制方法提供了可能條件與基礎理論依據。