基于壓電主動控制技術對鉆桿系統振動削弱的研究*

賈永龍

（山西機電職業技術學院，山西 長治 046011）

在深孔加工過程中鉆桿難免會出現渦動，鉆桿的渦動直接影響孔加工的精度以及刀具的磨損程度，解決渦動帶來的加工質量問題，最好的方法就是控制鉆桿的渦動，尤其是解決渦動引起的鉆桿失穩。被動、半主動和主動控制法是控制理論中比較常見的方法，這3種方法解決振動情況的側重點不同。BTA深孔鉆桿系統的振動屬于柔性轉子振動控制范疇，相比半主動控制，主動控制技術更能實現最優控制力[1-2]，在鉆桿結構上采用壓電主動控制方法控制振動，效果更好。課題組在BTA深孔鉆桿系統中使用壓電主動控制技術，對帶來危害的鉆桿振動起到減振甚至消除的作用，提高BTA鉆的加工精度，對鉆桿系統振動削弱的研究具有一定理論意義。

1 主動控制技術

主動控制技術可以抑制或者消除振動[3]。主動控制這種方法在實際操作中適應性較強，一般在實際操作中可以修改系統函數，達到對許多結構進行振動控制的目的。主動控制還具有預測數據的功能，由控制器對反饋結果進行計算，再由執行器對目標函數進行控制，最后達到了預定目標[1]。

主動控制結構原理流程圖，如圖1所示。主動控制操作過程是在目標結構實現、在控制器處理反饋信息進而指導執行器的過程來調整目標，最后讓目標結構達到穩定。

圖1 主動控制結構原理

2 壓電控制技術

壓電控制技術是近年來在振動控制領域中新興起的一種主動控制技術，它的興起使得振動控制理論向前邁進了一步。壓電陶瓷是應用比較廣泛的壓電材料，壓電效應是力與信號的交換，壓電陶瓷正是因為表面外力大小與產生電荷量成比例才廣受歡迎。壓電陶瓷片的特點有：

1）體積小，易與表面結構貼合，也易和內部結構附著；2）既可為傳感器，也可為執行器，能耗少；3）響應快，可單獨使用，也可多塊聯合使用。

3 壓電結構理論

壓電陶瓷片在工作時表現出來的特性是：當外力作用下，引起壓電材料產生電荷量的過程是正壓電效應；當受到電場作用下，引起壓電材料發生應變的過程是逆壓電效應。壓電控制器中，在振動控制過程中壓電傳感器體現的是正壓電效應，壓電執行器體現的是逆壓電效應。

3.1 壓電傳感

通過壓電效應可得壓電材料表面電荷量：

其中：E是電場強度，T是應力。也可以寫成：

電場強度還可以表示為：

其中：Cp是電容量；Q是總電荷數；δ是壓電材料厚度；A是電場電極面積。

由式（2）和式（3）可得出壓電片的電壓量：

通過式（4）可得，壓電材料在控制中產生的電壓量與自身應變成正比，從電壓量的多少就可以知道壓電材料應變量的大小；同時，也與壓電材料的厚度、自身的彈性模量和電極面積有關。

3.2 壓電致動

在電場作用下的壓電材料，其應力方程為：

也是作用在鉆桿上的應力，方向與之相反。

壓電材料內場強Ez及應變值εx分別為：

其中：z是壓電材料與鉆桿軸線間的距離，ρ是鉆桿曲率半徑。

將場強Ez及應變值εx代入到式（5）中，得出鉆桿所受的致動力矩為：

其中：U是電壓量，b是壓電材料寬度，d是電場中線與鉆桿系統軸線之間的距離。通過相關變形理論可得出 ，Iy是鉆桿系統慣性矩。所以，式（7）可變化為：

對于壓電材料，可得出d31<0，通過式（8）可以得出：外電壓量與壓電力矩成正比，壓電力矩與壓電應變成正比。

4 BTA鉆桿系統應用壓電主動控制技術的可行性分析

鉆桿渦動的產生是外界激勵作用導致橫向偏心振動，最終形成渦動，而這種渦動或者振動的不穩定性體現在鉆桿的橫向偏心位移。壓電主動控制實現過程是壓電傳感器接收偏心位移振動信號，然后放大電信號，再將信號傳遞給執行器，利用壓電片逆壓電效應，使得執行器振動變形。

將壓電主動控制技術應用于BTA深孔鉆桿系統中控制鉆桿振動位移，能達到削減甚至消除鉆桿振動的目的。在此過程中，主動控制法與線性二次型最優控制法（LQR）相結合，配合上壓電片的機械諧振，從而使鉆桿系統趨于平穩。線性二次型最優控制方程可以表示鉆桿振動模態方程，同時包含了二次型性能指標[4]，該控制法計算簡便，使得它被廣泛利用。

5 線性二次型最優（LQR）控制法

線性二次型最優控制法（LQR）是在約束系統的過程中求得目標期望值。當控制系統是線性函數，且是控制變量與狀態變量的二次型積分時，該系統稱為線性二次型[5]。閉環最優控制，就是在振動控制過程中及時接收狀態變量線性函數的反饋并加以控制。

如果系統的線性狀態為：

引入系統二次性能泛函-存留能量指標：

Q和R為控制輸入矩陣，則：

式中，α、β、λ為權系數。

當Q的值需取得較大一些時，振動衰減會更快，其中：

6 基于BTA鉆桿系統的壓電控制結構

眾所周知，深孔加工在機械加工中占有重要的地位，深孔加工質量更是重要的研究課題。為了提高孔的加工質量，對鉆桿的偏轉以及振動控制顯得尤為重要。如圖2所示，是在BTA鉆桿上安裝的控制系統，鉆桿上裝有壓電陶瓷片，該壓電陶瓷片具有傳感器與執行器雙重角色，這也就說明，該系統采用閉環反饋控制法。

圖2 BTA深孔鉆桿的壓電控制結構

整個系統由兩部分組成，分別是智能控制系統與振動結構體。由信號采集卡、信號放大器、壓電執行器、壓電傳感器和控制平臺等共同組成了智能控制系統。振動結構體就是鉆桿。

7 MATLAB仿真

利用LQR控制法對壓電鉆桿正則模態方程進行仿真分析。

MATLAB軟件仿真控制過程，過程參數如下。

鉆桿系統的參數：

長度L=2 000 mm，材料為45號鋼，密度ρ=7.9×103kg/m3，彈性模量E=2.1×1011Pa；

鉆桿的外徑D=35 mm，內徑d=24 mm。

壓電陶瓷片參數：

厚度tb=5 mm，電容量Cp=5.8×10-12，彈性模量ED=6.3×1010Pa；

寬度b=12 mm，壓電片電容率Ep=7.3×10-12，壓電常數d31=-1.2×10-10C/N；

系統結構阻尼比例ζ=0.1，原始條件X(0)=(0.01，0)。

仿真編程得出壓電控制位移軌跡圖，如圖3、圖4和圖5所示。

圖3 未加控制的偏心振動

圖4 施加控制（Q=[103，0；0，103]）仿真結果

圖5 施加控制（Q=[106，0；0，106]）仿真結果

8 結論

通過圖3、圖4及圖5的對比，可以得出：LQR模態控制的壓電主動控制能夠減小鉆桿偏心振動位移，從而逐漸使BTA鉆桿趨于平穩狀態；同時，電壓輸出與鉆桿振動大小成正比，即壓電片應變與電量成正比。在壓電控制作用下，鉆桿振幅值隨時間推移逐漸減小，接收的信號也會逐漸減弱，系統趨于平穩。

通過圖4和圖5的對比，還驗證了在LQR模態控制法中增大權矩陣Q時，鉆桿振動偏心位移也加快衰減。從數據上來看：Q=[103，0；0，103]，R=0.001時，反饋增益系數K=[0.045 6，15.499 4]，性能指標J=16.997 5；而Q=[106，0；0，106]，R=0.001時，反饋增益系數K=[46，130 13]，性能指標J=14 171.549 1。所以得出，Q較大時，振動衰減加快，同時能耗增加；Q較小時，振動衰減減緩，能耗也隨之減少。