基于事件觸發的馬爾可夫跳變系統耗散性濾波

謝志堅 魏 武

1(廣州市機電技師學院 廣東 廣州 510370) 2(華南理工大學 廣東 廣州 510641)

0 引 言

近年來,馬爾可夫跳變系統受到了廣泛研究并且被有效用于建模具有參數突變的機電系統[1-2]、電力系統[3-4]、生物系統[5-6]等。在網絡化環境下,網絡化馬爾可夫跳變系統在高可靠性與低成本上有著巨大的優勢,受到了越來越多研究人員的關注[7-8]。值得注意的是,基于事件觸發機制的控制策略可以有效降低網絡傳輸負載,許多學者展開了相關研究并且取得了很多成果。文獻[9-10]研究了一種時滯方法用來解決基于事件觸發的網絡化系統控制問題。文獻[11]討論了帶有事件觸發機制的異步馬爾可夫跳變系統的控制問題,取得了滿意的控制效果。文獻[12]提出了一種基于事件觸發的非脆弱H∞方法解決馬爾可夫跳變系統的濾波問題。

另一方面,不同于傳統的穩定性研究,耗散性主要用來從能量角度描述系統的輸入-輸出關系,在實際工程中有著重要意義。許多研究學者針對控制系統的耗散性分析與綜合問題開展了研究。文獻[13]利用狀態反饋解決了存在耗散不確定性的線性系統魯棒耗散性控制問題。文獻[14]針對帶有時滯的模糊描述系統,設計了一種基于觀測器的耗散控制器,取得了滿意的控制效果。文獻[15]進一步研究了模糊馬爾可夫跳變系統的異步耗散性控制問題,給出了滿足耗散性指標的異步控制設計步驟。文獻[16]討論了帶有執行器故障的模糊馬爾可夫跳變系統的可靠性控制問題,能夠在存在故障的時候依舊滿足耗散性性能指標。文獻[17]設計了一種新穎的基于事件觸發的具有異步約束的模糊系統耗散性濾波器,有效解決了其可靠性濾波問題。然而,需要指出的是,盡管基于耗散性分析與事件觸發機制的馬爾可夫跳變系統受到了研究學者的越來越多的重視,例如,文獻[18]研究了馬爾可夫跳變系統的事件觸發耗散性同步問題,文獻[19]討論了廣義離散時滯馬爾可夫跳變神經網絡系統的事件觸發耗散性分析問題等。然而,與已有結果相比較,目前針對馬爾可夫跳變系統的耗散性濾波問題中關于采用事件觸發機制的相關成果尚處于起步階段。

在本文中,針對網絡化馬爾可夫跳變系統的耗散性濾波問題,基于事件觸發機制設計一種模態依賴的濾波器。通過選擇合適的Lyapunov-Krasovskii泛函及推導證明,建立了在均方意義下滿足耗散性能指標的線性矩陣不等式。在此基礎上,進一步通過求解線性矩陣不等式得到相應的模態依賴濾波器增益。

1 問題描述與預備知識

考慮概率空間(Ω,,)內的網絡化馬爾可夫跳變系統:

在網絡環境中,通常假設采樣器是按照時間驅動間隔采樣的,采樣周期假設為h>0。本文中采用基于事件觸發的信號傳輸機制來確定最新的有效傳輸數據y(tkh)。事件觸發函數由式(3)給出:

εyT(tkh+lh)W2iy(tkh+lh)}

(3)

式中:tkh表示最新的觸發瞬間;0<ε<1表示閾值參數;W1i與W2i為模態依賴的正定權重矩陣。一旦事件觸發函數滿足條件,則測量輸出信號將通過網絡進行傳輸。

因此,可以設計下列的全階模態依賴濾波器:

式中:矩陣Afi、Bfi、Cfi為待設計的濾波器增益矩陣。

通過在tk

y(tkh)=y(t-τ(t))+e(t),t∈[lh,(l+1)h)

(5)

ε[y(t-τ(t))]TW2i[y(t-τ(t))]-

eT(t)W1ie(t)>0

(6)

(7)

更進一步,給出下面的耗散性指標定義:

定義1[20]給定常數γ>0以及合適的矩陣Q≤0、S、R,式(7)被稱為滿足均方意義下的耗散性指標,如果在零初始條件時下列條件成立:

<ω,Rω(t)>T}≥γ<ω(t),ω(t)>T

(8)

其中對于任意r(t)有:

(9)

此外,本文將使用下列引理:

引理1[21]給定矩陣M>0以及標量τ>0,0≤τ(t)≤τ,則下列矩陣不等式條件成立:

式中:

ζ(t)=[xT(t),xT(t-τ(t)),xT(t-τ)]T,

其中“*”表示矩陣中的對稱塊。

或者:

本文的目標是基于事件觸發機制設計模態依賴的濾波器增益從而使得增廣濾波誤差系統滿足定義1中的耗散性指標。

2 主要結果

證明1構建下列Lyapunov-Krasovskii泛函:

式中:

定義下列無窮小算子:

根據引理1可知:

此外,不難驗證下列不等式成立:

式中:

eT(t),ωT(t)]T。

根據事件觸發函數,可以得到:

τ(t))-eT(t)W1ie(t)

(20)

根據定義1并且結合式(15)-式(20),可以進一步得到:

ωT(t)(R-γI)ω(t)≤δT(t)Πiδ(t)

(21)

綜上所述,當滿足條件Πi<0時,則在零初始條件下通過對式(21)進行積分運算可知,式(7)滿足定義1中的耗散性指標,證明完畢。

基于定理1得到的充分性條件,定理2將進一步通過求解矩陣不等式的方法計算模態依賴濾波器增益。

當上述矩陣不等式存在可行解時,模態依賴濾波器增益可以進一步通過下列公式求解:

證明2對于任意的矩陣Y,存在非奇異矩陣V以及矩陣J>0,從而滿足條件Y=VJ-1VT。

定義下列矩陣:

則對Πi<0進行全等變換diag{ZT,I,I,I,I,I,ZT}并且令:

余下證明可以通過代入上述結果直接得到,證畢。

3 仿真實驗

本節將給出兩個數值仿真的例子來證明本文中理論結果的有效性。

例子1考慮具有下列參數的馬爾可夫跳變系統:

其狀態轉移矩陣為:

在仿真實驗中,假設采樣周期h=0.2 s,閾值參數ε=0.01,γ=1,外部擾動假設為ω(t)=0.1sint。

將上述參數代入定理2中的矩陣不等式,可以得到模態依賴濾波器增益為:

圖1-圖2分別展示了事件觸發間隔以及相應的濾波器估計誤差。此外,從圖3中與傳統的基于時間觸發的濾波器設計結合圖1中的結果不難發現,本文所設計的基于事件觸發的濾波器可以在保證濾波性能的基礎上顯著提高信息傳輸的效率。可以看出,本文所設計的模態依賴濾波器可以有效地對存在外部擾動的網絡化馬爾可夫跳變系統進行濾波。

圖1 例子1的傳輸瞬間和釋放間隔

圖2 例子1的濾波誤差軌跡

圖3 濾波誤差軌跡對比示意圖

例子2考慮下列垂直起落直升機控制系統,其動力學模型可以被建模為具有下列參數的馬爾可夫跳變系統[23]:

其狀態轉移矩陣為:

在仿真實驗中,假設采樣周期h=0.2 s,閾值參數ε=0.01,γ=1,外部擾動假設為ω(t)=0.01sint。

將上述參數代入定理2中的矩陣不等式,可以得到模態依賴濾波器增益為:

類似地,從圖4-圖5不難驗證本文所設計的模態依賴狀態濾波器可以在降低信號傳輸頻率的基礎上,有效解決網絡化馬爾可夫跳變系統的事件觸發濾波問題。

圖4 例子2的傳輸瞬間和釋放間隔

圖5 例子2的濾波誤差軌跡

4 結 語

本文針對網絡化馬爾可夫跳變系統的濾波問題,提出一種基于事件觸發機制與耗散性指標的模態依賴濾波器。通過構建合適的Lyapunov-Krasovskii泛函,給出了相應的充分性條件和模態依賴濾波器增益的設計過程。最后,通過兩個數值仿真的例子驗證了本文方法的有效性。在后續工作中,將進一步針對存在模態異步的情況進行研究。