傅里葉變換時-頻對稱性的Matlab可視化探討

王波

摘要：以門函數和降正弦函數在傅里葉變換時-頻對稱性約束下的對應關系為例，探討在理論教學過程中利用Matlab軟件將傅里葉變換時-頻對稱性可視化的方法，通過改進教學手段，達到取得良好教學效果的目標。

關鍵詞：傅里葉變換;時-頻對稱性;Matlab;可視化

中圖分類號：TP391? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）30-0130-02

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1 引言

傅里葉變換理論誕生于十九世紀初，其經歷了約200余年的發展歷程而日臻完善，并與由其衍生出的眾多分支理論一同構成了完整的理論體系。現今，高等學校理工科許多的專業課程中都有傅里葉變換理論的身影，其是一些課程不可或缺的理論基礎，是課程體系結構的主要構成部分，也是另外一些課程中分析和處理問題的重要工具。因此，傅里葉變換理論的教學很重要。

由于缺乏諸如數學、物理學和電路理論等必備的基礎知識，傅里葉變換理論對于一部分學生變得相對深奧，這些學生面對傅里葉變換理論時無所適從，學習的畏難情緒很大。加之傳統的課堂理論教學模式枯燥呆板，教學手段單調乏味，使學生的學習熱情進一步降低[1]。種種不利因素及其產生的負面影響，使傅里葉變換及其相關理論的教學過程難以正常進行，難以取得良好的教學效果。

解決上述問題，可以嘗試從多個方面入手，其中，在課堂教學過程中輔助以Matlab軟件，就是一個可以選擇的有效途徑，借助于Matlab，使復雜的理論可視化，變抽象為形象，降低學習難度，提高學生主動學習的熱情，進而取得良好的教學效果。下文，以傅里葉變換的時-頻對稱性的理論教學為例進行說明。

2傅里葉變換及其時-頻對稱性

2.1 傅里葉變換

以下兩個積分變換合稱為傅里葉變換對[2]。

[Fω=F[ft]=-∞∞fte-jωtdt? ? ? ? ? ? ?（1）ft=F-1[F（ω）]=12π-∞∞F（ω）ejωtdω? ? （2）]

式（1）即為傅里葉（正）變換積分表達式，籍以此式，可求出一個非周期連續時間信號f（t）所對應的頻譜（密度函數）[F（ω）];而式（2）稱為傅里葉反變換，其物理意義非常清楚，說明信號f（t）由眾多的各種不同角頻率的虛指數諧波分量[12πF（ω）ejωt]疊加構成，這正是傅里葉變換及系統頻域分析等相關理論的基本出發點。信號f（t）與其頻譜[F（ω）]的對應關系也可以簡單的描述為[f（t）?F（ω）]。

2.2傅里葉變換的時-頻對稱性

傅里葉變換擁有眾多的性質，借助這些性質，可以使傅里葉變換理論的應用更加靈活方便，時-頻對稱性就是其中之一，其可表述為[3]：

若[f（t）?F（ω）]，則

[Ft?2πf-ω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3]

這表明，信號的時域變化與其頻譜特性之間存在著一定的對稱性，若時間信號f（t）的頻譜為[F（ω）]，則波形形狀為[Ft=F（ω）|ω=t]的時域信號的傅里葉變換即F（t）所對應的頻譜為[2πf-ω=2πf（t）|t=-ω]。

特別地，若f（t）為偶函數，則有

[Ft?2πfω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）]

3傅里葉變換時-頻對稱性的可視化

3.1 相關時間信號和頻譜

在許多教科書或參考資料中，或者在教學過程進行的課堂上，常以門函數[gτ（t）]和降正弦函數[Sa（t）]以及它們所對應的頻譜為例討論傅里葉變換的時-頻對稱性。

門函數[gτ（t）]定義為以時刻t=0為對稱中心的幅度為1，寬度為[τ]的單個矩形脈沖，根據式（1）對其進行傅里葉變換，可得[Fgτt=-∞∞gτte-jωtdt=τSa（τ2ω）]，此頻譜為一個對稱中心頻率[（ω=0）]處幅度為[τ]的降正弦函數。即有以下傅里葉變換對。

[gτt?τSaτ2ω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）]

以式（5）為前提，依托時-頻對稱性，可得對應的另一傅里葉變換對。

[τSaτ2t?2πgτω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）]

取[τ=4]，依次將式（5）、式（6）實例化，即若有

[g4t?4Sa2ω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）]

則? ? ? ? ? ? ? ?[4Sa2t?2πg4ω? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）]

3.2時-頻對稱性可視化的實現

在前述討論的基礎上，編制本文3.3部分給出的Matlab程序。需要特別說明的是，程序中通過組合調用Matlab的Symbolic Math Toolbox中的Heaviside函數對相關的門函數進行描述[4]，而降正弦函數則是借助于Signal Processing Toolbox中的sinc函數得以實現的。

如圖1所示，通過程序代碼的順序執行，在圖形窗口中從上到下依次將[g4t]、[4Sa2ω]、[4Sa2t]和[2πg4ω]等時間信號波形或頻譜圖形分別繪制的（a）、（b）、（c）和（d）四個子圖中。利用子圖（a）和（b）給出式（7）傅里葉變換對的圖示，而式（8）傅里葉變換對則圖示在子圖（c）和（d）中。

觀察各個子圖可以很容易得到“時域的門函數對應頻域的降正弦函數，而時域的降正弦函數則對應頻域的門函數”的結論，時間信號和對應頻譜的諸如脈沖寬度、幅度及過零點坐標等參數也一目了然。前述[g4t?4Sa2ω]和[4Sa2t?2πg4ω]兩個傅里葉變換對實例在傅里葉變換時-頻對稱性意義下的邏輯對應關系通過這種方法得到了形象直觀的可視化。

3.3 程序代碼

subplot（411）;? %繪制g4（t）時域波形

t1=-4：0.001：4;

g4_t=Heaviside（t1+2）-Heaviside（t1-2）;

plot（t1，g4_t，'linewidth'，1.5）;hold on;

plot（[-2 -2]，[0 1]，'linewidth'，1.5）;

plot（[2 2]，[0 1]，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼itt? ＼rm秒'）;ylabel（'（a）? g_4（t）'）;

axis（[-4 4 0 1.1]）;

subplot（412）; %繪制4Sa（2w）頻譜圖形

w1=-4*pi：0.001：4*pi;

Sa_2w_Mul_4=sinc（2.*w1/pi）.*4;

plot（w1，Sa_2w_Mul_4，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼it＼omega? ＼rm弧度/秒'）;ylabel（'（b）? 4S_a（2＼omega）'）;

axis（[-10 10 -1 4.3]）;

subplot（413）; %繪制4Sa（2t）時域波形

t2=-5.*pi：0.001：5.*pi;

Sa_2t_Mul_4=sinc（2.*t2/pi）.*4;

plot（t2，Sa_2t_Mul_4，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼itt? ＼rm秒'）;ylabel（'（c）? 4S_a（2t）'）;

axis（[-10 10 -1 4.3]）;

subplot（414）; %繪制2*pi*g4（w）頻譜圖形

w2=-4：0.001：4;

g4_w_Mul_2pi=[Heaviside（w2+2）-Heaviside（w2-2）].*2.*pi;

plot（w2，g4_w_Mul_2pi，'linewidth'，1.5）;hold on;

plot（[-2 -2]，[0 2.*pi]，'linewidth'，1.5）;

plot（[2 2]，[0 2.*pi]，'linewidth'，1.5）;

xlabel（'＼it＼omega? ＼rm弧度/秒'）;ylabel（'（d）? 2＼pig_4（＼omega）'）;

axis（[-4 4 0 7]）;

4結束語

以上，借助于一個實例描述了將傅里葉變換時-頻對稱性可視化的過程，這只是一個初步探索。實際上，功能強大的Matlab在輔助教學領域有著更廣闊的應用空間，可以將Matlab可視化手段應用到更多課程理論的教學過程。

為進一步提高學生的學習興趣，調動學生學習理論知識的積極性，可以讓學生參與到可視化程序的設計過程中去，這亦有助于學生對理論本身的理解和掌握，進一步獲得更好的輔助教學效果，使理論教學過程順利進行。

參考文獻：

[1] 侯大有.基于MATLAB的《信號與系統》課程教學研究[J].電腦知識與技術，2018（2）：89-91.

[2] 馬金龍.信號與系統[M].北京：科學出版社，2010：129.

[3] 燕慶明.信號與系統教程[M].北京：高等教育出版社，2013：111.

[4] 梁虹.信號與線性系統分析[M].北京：高等教育出版社，2006：226.

【通聯編輯：王力】