如何依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展“單元—課時(shí)”教學(xué)

夏繁軍 姚暉 章紅

摘要：依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展單元教學(xué)，需要層層分解大概念（學(xué)習(xí)目標(biāo)），再通過(guò)課時(shí)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從下位概念的學(xué)習(xí)開(kāi)始，逐步融合知識(shí)，形成結(jié)構(gòu)，提升認(rèn)知，落實(shí)大概念。以《函數(shù)的性質(zhì)》單元及其第一課時(shí)為例，說(shuō)明依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展“單元—課時(shí)”教學(xué)的主要流程：?jiǎn)卧虒W(xué)，包括內(nèi)容解析、目標(biāo)分析、學(xué)情診斷、學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)、課時(shí)規(guī)劃等環(huán)節(jié);課時(shí)教學(xué)，包括內(nèi)容解析、目標(biāo)分析、學(xué)情診斷、學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)（包括課堂評(píng)價(jià)）等環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)大概念;“單元—課時(shí)”教學(xué);函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）的理念表明：指向數(shù)學(xué)大概念理解或感悟的教學(xué)應(yīng)該“以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”，“從整體上把握課程”。在設(shè)計(jì)和實(shí)施層面，至少應(yīng)該“關(guān)注（跨課時(shí)、跨章節(jié)的）單元、主題的教學(xué)目標(biāo)”，從多個(gè)相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容所形成的結(jié)構(gòu)化、整體性單元或主題入手。這是一種介于課時(shí)（微觀）和課程（宏觀）之間的“中觀教學(xué)”，既可以克服課時(shí)教學(xué)的碎片化、淺表化，又因?yàn)閱卧蛑黝}劃分或界定的靈活性，具有很好的可行性，能夠促進(jìn)各級(jí)各類大概念的學(xué)習(xí)以及課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

當(dāng)然，概念之間存在層次結(jié)構(gòu)，大概念是在其下位概念基礎(chǔ)上的抽象概括，同時(shí)大概念的上位是相對(duì)的。而且，課是一節(jié)一節(jié)上的。因此，依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展單元教學(xué)，還需要層層分解大概念（學(xué)習(xí)目標(biāo)），再通過(guò)課時(shí)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生從下位概念的學(xué)習(xí)開(kāi)始，逐步融合知識(shí)，形成結(jié)構(gòu)，提升認(rèn)知，落實(shí)大概念。這是一個(gè)閉環(huán)。這樣的教學(xué)可以稱為“單元—課時(shí)”教學(xué)。

一、依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展“單元—課時(shí)”教學(xué)的流程

P.L.史密斯和T.J.雷根在《教學(xué)設(shè)計(jì)（第三版）》一書(shū)中指出，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，應(yīng)首先回答以下三個(gè)問(wèn)題：我們要到哪里去？我們?nèi)绾蔚竭_(dá)那里？我們?cè)鯓又酪呀?jīng)到達(dá)那里？這三個(gè)問(wèn)題可以描述為以下三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）分析教學(xué)內(nèi)容，確定教學(xué)目標(biāo);（2）設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，確定教學(xué)策略和教學(xué)媒介;（3）開(kāi)發(fā)評(píng)價(jià)工具，做好教學(xué)改進(jìn)。

結(jié)合威金斯和麥克泰格在《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)（第二版）》中提出的“逆向設(shè)計(jì)”觀點(diǎn)，參考章建躍先生給出的“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)模板和課標(biāo)附錄2案例36說(shuō)明的跨章節(jié)主題教學(xué)設(shè)計(jì)流程，我們給出如圖1所示的依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展“單元—課時(shí)”教學(xué)的流程。

值得注意的是，在這一流程中，評(píng)價(jià)伴隨著教學(xué)，與教學(xué)相互聯(lián)系、相互促進(jìn)，貫穿于整個(gè)過(guò)程中;單元或課時(shí)基本問(wèn)題、課時(shí)引導(dǎo)性問(wèn)題、課時(shí)診斷性問(wèn)題、單元探究問(wèn)題、單元診斷性問(wèn)題等都是重要的教學(xué)及評(píng)價(jià)手段。

二、依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展“單元—課時(shí)”教學(xué)的案例

下面，以人教A版高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)第三章中的《函數(shù)的性質(zhì)》單元及其第一課時(shí)《函數(shù)的單調(diào)性（1）》為例，具體說(shuō)明如何依據(jù)數(shù)學(xué)大概念開(kāi)展“單元—課時(shí)”教學(xué)。

（一）《函數(shù)的性質(zhì)》單元教學(xué)

1.內(nèi)容解析。

本單元的教學(xué)內(nèi)容包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)的奇偶性。

（1）內(nèi)容的本質(zhì)。

單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)，刻畫(huà)了函數(shù)值隨自變量變化而變化過(guò)程中呈現(xiàn)出的規(guī)律性和不變性。單調(diào)性是函數(shù)的“局部性質(zhì)”，奇偶性是函數(shù)的“整體性質(zhì)”;單調(diào)性是幾乎所有函數(shù)的一般性質(zhì)，奇偶性是某些函數(shù)的特殊性質(zhì)。單調(diào)性、奇偶性的研究都需要把圖像的幾何特性轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系并用嚴(yán)格的符號(hào)語(yǔ)言表示，能溝通形與數(shù)，實(shí)現(xiàn)從定性到定量的轉(zhuǎn)化。

（2）內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

第一，函數(shù)和對(duì)應(yīng)的思想。單調(diào)性和奇偶性都是研究函數(shù)值隨自變量變化而呈現(xiàn)出的變化的規(guī)律性和不變性，利用函數(shù)思想正確找到事物發(fā)展變化的因變量非常重要。

第二，從整體到局部的方法。本單元的引入階段，首先要解決為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)、什么叫函數(shù)的性質(zhì)、如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)主要有哪些等問(wèn)題。由此，可以回扣函數(shù)概念，得到“通過(guò)研究函數(shù)的變化規(guī)律來(lái)把握客觀世界中事物的變化規(guī)律”，“變化中的不變性就是性質(zhì)，變化中的規(guī)律性也是性質(zhì)”;并且得到單元學(xué)習(xí)“路線圖”，將今后學(xué)習(xí)的函數(shù)的周期性、變化率（包括平均變化率和導(dǎo)數(shù)）等也納入“函數(shù)的性質(zhì)”這個(gè)大概念中。從認(rèn)知理論來(lái)看，既有同化，也有順應(yīng)。

第三，數(shù)形結(jié)合的研究方法。本單元主要用代數(shù)運(yùn)算和幾何直觀研究函數(shù)的性質(zhì)。先畫(huà)出函數(shù)的圖像，通過(guò)觀察分析圖像的特征，可以得到函數(shù)的一些性質(zhì);但是不能止步于此，因?yàn)橐恍┖瘮?shù)的圖像不容易畫(huà)，手工描點(diǎn)作圖的精確度不高，而且不能窮盡所有點(diǎn)，所以還需要通過(guò)代數(shù)運(yùn)算給予嚴(yán)格論證。這種研究函數(shù)性質(zhì)的方法貫穿于整個(gè)中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了定性到定量的過(guò)程。

第四，從特殊到一般的研究方法。主要是在得出單調(diào)性和奇偶性定義的過(guò)程中，先通過(guò)幾個(gè)特殊函數(shù)的性質(zhì)，歸納一類函數(shù)的共性;然后抽象出函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)涵，再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示，與圖形語(yǔ)言、自然語(yǔ)言表示相互對(duì)照、相互補(bǔ)充、相互轉(zhuǎn)化。

（3）內(nèi)容的育人價(jià)值。

第一，形成正確的人生觀和世界觀。建立客觀世界中運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的函數(shù)模型，目的是利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析函數(shù)模型的性態(tài)，由此發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)事物的變化規(guī)律，進(jìn)而精確地“預(yù)測(cè)未來(lái)”，改造世界，造福人類。今天研究的是函數(shù)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，明天研究的就是客觀世界的發(fā)展變化規(guī)律。

第二，發(fā)展嚴(yán)密的思維能力。數(shù)學(xué)問(wèn)題起源于直觀，終止于邏輯。生活中，分析問(wèn)題時(shí)，也要學(xué)會(huì)從直觀猜想到嚴(yán)格論證。

第三，學(xué)會(huì)做事的技能。奇偶性把研究函數(shù)問(wèn)題的工作減少了一半，節(jié)省資源，降低消耗。從中要學(xué)會(huì)用全局、對(duì)稱性思維分析和解決問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

第四，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在函數(shù)單調(diào)性、奇偶性概念的形成過(guò)程中，經(jīng)歷由具體到抽象、由圖形語(yǔ)言和自然語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和幾何直觀素養(yǎng)。在把握函數(shù)單調(diào)性、奇偶性定義時(shí)，體會(huì)全稱量詞、存在量詞等邏輯用語(yǔ)的作用，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。在函數(shù)單調(diào)性、奇偶性結(jié)論的證明過(guò)程中，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。在建構(gòu)問(wèn)題應(yīng)用中，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（4）知識(shí)的上、下位關(guān)系。

進(jìn)一步分析高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的性質(zhì)”的上、下位知識(shí)（概念），可以得到圖2（暫不考慮變化率的有關(guān)內(nèi)容）。

上述分析中蘊(yùn)含著《函數(shù)的性質(zhì)》單元的很多大概念。

2.目標(biāo)分析。

（1）單元目標(biāo)（來(lái)源于課標(biāo)）。

第一，借助函數(shù)圖像，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義。

第二，結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義。

（2）目標(biāo)評(píng)估（達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志）。

第一，能夠根據(jù)函數(shù)圖像直觀判斷函數(shù)在某些區(qū)間上的單調(diào)性，利用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)增函數(shù)、減函數(shù);能夠利用增函數(shù)、減函數(shù)的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，掌握并利用作差變形的方向、方法。

第二，能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的三個(gè)相互推出關(guān)系[①x1與x2的大小關(guān)系;②f（x1）與f（x2）的大小關(guān)系;③f（x）在D上的單調(diào)性]中的任意兩個(gè)推出第三個(gè)。

第三，理解函數(shù)的最大值M的兩個(gè)限制條件[①?x∈D，f（x）≤M;②?x0∈D，f（x0）=M]，能夠根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值;能夠把生活中具體的情境問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后求函數(shù)的最值并解釋其在生活中的實(shí)際意義。

第四，能夠結(jié)合函數(shù)圖像直觀理解奇函數(shù)、偶函數(shù)、函數(shù)的奇偶性定義;能夠根據(jù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性。

第五，能夠根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解決比較函數(shù)值的大小、解不等式、求函數(shù)的最值等問(wèn)題。

3.學(xué)情診斷。

（1）學(xué)生已有基礎(chǔ)。

第一，知識(shí)準(zhǔn)備。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了函數(shù)概念的“變量說(shuō)”，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)這三種具體函數(shù)，知道函數(shù)值隨自變量增大而增大（減小）與函數(shù)圖像之間的關(guān)系、二次函數(shù)的對(duì)稱性;進(jìn)入高中后，學(xué)習(xí)了函數(shù)概念的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，明確函數(shù)刻畫(huà)的是兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

第二，思維準(zhǔn)備。能夠結(jié)合函數(shù)圖像，利用自然語(yǔ)言說(shuō)出函數(shù)的變化規(guī)律、對(duì)稱性;能夠通過(guò)具體函數(shù)解析式，找到自變量和函數(shù)值之間的變化關(guān)系。

（2）教學(xué)難點(diǎn)及突破關(guān)鍵。

第一，增（減）函數(shù)的定義。從具體到抽象，結(jié)合二次函數(shù)f（x）=x2理解“y隨x的增大而增大（減小）”的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，體會(huì)利用“任意”刻畫(huà)“無(wú)限”的數(shù)學(xué)方法的威力和魅力。具體可以經(jīng)歷如下認(rèn)識(shí)過(guò)程：在y軸右側(cè)，從左向右函數(shù)圖像是上升的;當(dāng)自變量x≥0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;自變量x增大即x→x+Δx（Δx>0），令x=x1，x+Δx=x2，則x1

第二，利用增（減）函數(shù)的定義證明函數(shù)的單調(diào)性。通過(guò)實(shí)例，規(guī)范證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟：①取值;②作差;③變形;④判斷;⑤定論。典型的函數(shù)有f（x）=kx+b（k≠0）、f（x）=ax2+bx+c（a≠0）、f（x）=1/（x-2）、f（x）=√x、f（x）=x3、f（x）=x+1/x等。取值的要求是在單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)不相等的值x1、x2;作差后變形的方向是幾個(gè)因式的乘積或乘方形式;變形的方法有通分、提取公因式、因式分解、配方、有理化。

第三，函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用。結(jié)合函數(shù)圖像直觀分析，把握兩個(gè)性質(zhì)之間的關(guān)系。比如，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反。

在上述難點(diǎn)的突破過(guò)程中，利用GeoGebra或幾何畫(huà)板軟件可以方便地作出函數(shù)圖像，便于學(xué)生直觀觀察，獲取函數(shù)性質(zhì)的深刻印象。

4.學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)。

結(jié)合上述分析及其中大概念的提取，設(shè)計(jì)基本問(wèn)題和引導(dǎo)性問(wèn)題，呈現(xiàn)單元學(xué)習(xí)路徑（如下頁(yè)圖3所示）。

5.課時(shí)規(guī)劃。

根據(jù)上述學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)，本單元新授課可以分為4個(gè)課時(shí)，具體內(nèi)容依次是：函數(shù)單調(diào)性的定義和簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的證明;復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性的證明和應(yīng)用;函數(shù)奇偶性的定義和證明;函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用。

（二）《函數(shù)的單調(diào)性（1）》課時(shí)教學(xué)

1.內(nèi)容解析。

本課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容是函數(shù)單調(diào)性的定義和簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的證明。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本、最重要的性質(zhì)之一，它刻畫(huà)函數(shù)的增減變化規(guī)律，有利于學(xué)生進(jìn)一步鞏固理解函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系;它還是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中很多事物增、減趨勢(shì)的重要模型;它在方程、不等式、最值問(wèn)題的研究中發(fā)揮著重要作用;而刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性的平均變化率為導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

正如康德所言，“人類的一切知識(shí)都是從直觀開(kāi)始的，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束”，函數(shù)單調(diào)性定義的獲得一般要經(jīng)過(guò)以下兩次抽象過(guò)程：

一是從實(shí)際問(wèn)題（記憶曲線、函數(shù)圖像等）到數(shù)學(xué)問(wèn)題（單調(diào)性），從圖形語(yǔ)言（函數(shù)圖像上升或下降）到自然語(yǔ)言（函數(shù)值y隨自變量x增大而增大或減小）。這次抽象是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界、從感性具體到理性具體的思維過(guò)程。抽象方法是分析數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系，明確數(shù)學(xué)概念（遞增、遞減）和原理（y隨x增大而增大或減小）。

二是從自然語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言[對(duì)定義域D的某個(gè)子區(qū)間I，x1、x2∈I，當(dāng)x1）f（x2）]。這次抽象是從理性具體到理性一般的思維過(guò)程。抽象方法是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行符號(hào)化、形式化，對(duì)第一次抽象作出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忉尯捅磉_(dá)。

本節(jié)課體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展規(guī)律：把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)抽象變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)內(nèi)部按照邏輯推理得到一些概念和結(jié)論;然后利用這些概念和結(jié)論來(lái)解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題和生活實(shí)際問(wèn)題。即：從生活中來(lái)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)加工，再到生活中去，“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”。

2.目標(biāo)分析。

（1）課時(shí)目標(biāo)（服務(wù)于單元目標(biāo)）。

第一，詳見(jiàn)“單元目標(biāo)”的第一條。

第二，在函數(shù)單調(diào)性概念的形成過(guò)程中，經(jīng)歷由具體到抽象、由圖形語(yǔ)言和自然語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和幾何直觀素養(yǎng)。在把握函數(shù)單調(diào)性定義時(shí)，體會(huì)全稱量詞、存在量詞等邏輯用語(yǔ)的作用，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。在函數(shù)單調(diào)性結(jié)論的證明過(guò)程中，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。在知識(shí)的探究過(guò)程中，培養(yǎng)細(xì)心觀察、直觀猜想、嚴(yán)格論證的思維習(xí)慣。

（2）目標(biāo)評(píng)估（達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志）。

第一，詳見(jiàn)“單元目標(biāo)評(píng)估”的第一條。

第二，詳見(jiàn)“單元目標(biāo)評(píng)估”的第二條。

第三，經(jīng)歷從圖形語(yǔ)言展示到自然語(yǔ)言描述再到符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的過(guò)程，感悟引入符號(hào)“x1、x2∈D”，把“無(wú)限”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“有限”表達(dá)的方法及其優(yōu)越性。

3.學(xué)情診斷。

學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)這三種具體的函數(shù)，知道函數(shù)圖像從左向右上升（下降）與函數(shù)值隨自變量增大而增大（減小）之間的關(guān)系。到了高中階段，需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步利用符號(hào)語(yǔ)言“x1、x2∈D，當(dāng)x1）f（x2）”來(lái)表述函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行定量刻畫(huà)。

據(jù)此分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：符號(hào)語(yǔ)言表示中，對(duì)“任意”“都有”等涉及無(wú)限取值的語(yǔ)言的理解和運(yùn)用;利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是：從具體到抽象，結(jié)合具體函數(shù)理解“y隨x的增大而增大（減小）”的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，體會(huì)利用“任意”刻畫(huà)“無(wú)限”的數(shù)學(xué)方法;通過(guò)實(shí)例，規(guī)范證明函數(shù)單調(diào)性的五個(gè)步驟。可以利用GeoGebra或幾何畫(huà)板軟件作出函數(shù)圖像，便于學(xué)生直觀觀察，獲取函數(shù)性質(zhì)的深刻印象，也為取值的任意性創(chuàng)造可能。

4.學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)。

（1）引入。

談話：為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)？函數(shù)描述了客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)獲得對(duì)客觀世界中事物變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)。那么，什么是函數(shù)的性質(zhì)？怎樣研究函數(shù)的性質(zhì)？函數(shù)有哪些性質(zhì)？這些是我們這一單元學(xué)習(xí)要解決的問(wèn)題。

[設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)篇提出本單元學(xué)習(xí)要研究的問(wèn)題，給學(xué)生一個(gè)整體意識(shí);同時(shí)，明確為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)大概念“研究函數(shù)的性質(zhì)是為了更好地認(rèn)識(shí)客觀世界的變化規(guī)律”。]

出示問(wèn)題1：觀察圖4中的函數(shù)圖像，你從中發(fā)現(xiàn)哪些特征？你覺(jué)得反映了函數(shù)的哪些性質(zhì)？

預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)給出函數(shù)圖像的升降、“在不同區(qū)間上y隨x增大而增大（減小）”、對(duì)稱性、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、周期性等特征。

談話：什么是函數(shù)的性質(zhì)？根據(jù)函數(shù)的定義，函數(shù)是研究函數(shù)值與自變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的，函數(shù)的性質(zhì)就是刻畫(huà)函數(shù)值在隨自變量變化的過(guò)程中呈現(xiàn)出的不變性、規(guī)律性。函數(shù)圖像所反映的這些特點(diǎn)就是函數(shù)的性質(zhì)。本節(jié)課，我們先研究如何利用定量的方法刻畫(huà)函數(shù)值y隨自變量x增大而增大（減小）的規(guī)律。

[設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的性質(zhì)有整體的認(rèn)識(shí)，明確什么是函數(shù)的性質(zhì)、怎樣研究函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)一般有哪些，落實(shí)大概念“函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)變化中的不變性和規(guī)律性”。]

（2）函數(shù)單調(diào)性的定量刻畫(huà)。

談話：我們以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為例來(lái)分析。觀察圖5，不難得到：函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（-∞，0）上，從左向右函數(shù)圖像是下降的，即y隨x的增大而減小，我們就說(shuō)（不是定義），函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)。也可以說(shuō)，在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減。類似地，函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）上的情況怎么說(shuō)？（學(xué)生表達(dá)）一般地，若函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)（減函數(shù)），我們就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性，稱區(qū)間I為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（減區(qū)間）。

出示問(wèn)題2：請(qǐng)根據(jù)下頁(yè)圖6中的函數(shù)圖像，寫(xiě)出函數(shù)f（x）在哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)、在哪個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，并寫(xiě)出函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間。

學(xué)生回答后，教師注意強(qiáng)調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的處理方式。

[設(shè)計(jì)意圖：增函數(shù)、減函數(shù)的本質(zhì)是刻畫(huà)函數(shù)值隨自變量增大而增大或減小。首先從幾何直觀的角度給出增函數(shù)、減函數(shù)的自然語(yǔ)言描述，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)函數(shù)圖像直觀判斷，完成從圖形語(yǔ)言到自然語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化。]

出示問(wèn)題3：①請(qǐng)說(shuō)出函數(shù)f（x）=x/x2-1的增區(qū)間、減區(qū)間。②圖7所示的函數(shù)其解析式為f（x）=2sinx/10在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)遞增嗎？

談話：從函數(shù)圖像上可以很直觀看出函數(shù)的單調(diào)性，但是有些函數(shù)的圖像不容易畫(huà)出來(lái)，而且手工畫(huà)出來(lái)的圖像往往不夠精確。因此，我們需要精確刻畫(huà)什么是增函數(shù)、什么是減函數(shù)，即利用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)刻畫(huà)函數(shù)值y隨自變量x增大而增大（減小）。我們還是以函數(shù)f（x）=x2為例，填寫(xiě)取值對(duì)應(yīng)情況表，由此你能具體描述函數(shù)值隨自變量增大而變化的情況嗎？

預(yù)設(shè)：當(dāng)-3<-2<0時(shí)，有f（-3）=9>f（-2）=4;當(dāng)-2<-1<0時(shí)，有f（-2）=4>f（-1）=1;當(dāng)-1<0時(shí)，有f（-1）=1>f（0）=0……

[設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生填表、用表，通過(guò)表格數(shù)據(jù)感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第二次認(rèn)識(shí)。]

追問(wèn)1：這樣的變化過(guò)程能寫(xiě)完嗎？

預(yù)設(shè)：寫(xiě)不完，原因是區(qū)間（-∞，0）上有無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)。

追問(wèn)2：對(duì)于一般的函數(shù)g（x），若在區(qū)間（-∞，0）上取幾個(gè)特殊值，比如-3<-2<-1<0，有g(shù)（-3）>g（-2）>g（-1）>g（0），能不能說(shuō)函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)？

預(yù)設(shè)：不可以，因?yàn)槟墚?huà)出圖8所示的反例。

追問(wèn)3：若在區(qū)間（-∞，0）上取無(wú)數(shù)多組數(shù)來(lái)說(shuō)明，是否可以？

預(yù)設(shè)：不可以，因?yàn)槟墚?huà)出圖9所示的反例。

追問(wèn)4：要說(shuō)明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，應(yīng)該取區(qū)間上怎樣的值？

預(yù)設(shè)：應(yīng)該取區(qū)間（-∞，0）上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)。

追問(wèn)5：怎么實(shí)現(xiàn)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的對(duì)比呢？你能借助字母符號(hào)歸納出以上想法嗎？

預(yù)設(shè)：用x1、x2代表任意的兩個(gè)自變量，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是f（x1）、f（x2）。

追問(wèn)6：那么，自變量的增大用什么關(guān)系來(lái)表示？

預(yù)設(shè)：用不等關(guān)系，在區(qū)間（-∞，0）上任取x1

追問(wèn)7：接下來(lái)應(yīng)該研究什么？

預(yù)設(shè)：應(yīng)該比較f（x1）和f（x2）的大小。

追問(wèn)8：如果f（x1）>f（x2），能得出什么樣的結(jié)論？

預(yù)設(shè)：f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減。

追問(wèn)9：類似地，如何說(shuō)明f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數(shù)？

預(yù)設(shè)：任取x1、x2∈[0，+∞），且x1

對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤回答，引導(dǎo)學(xué)生分別利用圖形語(yǔ)言和自然語(yǔ)言進(jìn)行辨析，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉。通過(guò)一步步的追問(wèn)，把“在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量x1、x2”的想法給“逼”出來(lái)，即用“任意”代替“無(wú)限”。

[設(shè)計(jì)意圖：把學(xué)生對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由定性描述上升到定量刻畫(huà)，是對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí)。完成了概念的抽象過(guò)程，也落實(shí)了大概念“數(shù)學(xué)抽象”“歸納方法”，同時(shí)回應(yīng)為什么要利用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)，為證明函數(shù)的單調(diào)性做好鋪墊。]

出示問(wèn)題4：你能利用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述增函數(shù)的定義嗎？

師生共同探究，得出教材中增函數(shù)的定義。然后，學(xué)生類比得出教材中減函數(shù)的定義。

談話：這里，我們利用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言“?x1、x2∈D”，就把區(qū)間D內(nèi)無(wú)窮的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以操作的有限的過(guò)程。這就是數(shù)學(xué)抽象和形式化的力量。

[設(shè)計(jì)意圖：突破本節(jié)課的難點(diǎn)，點(diǎn)出數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象帶給人們觀念上的變化，落實(shí)大概念“數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性”“利用有限把握無(wú)限”。這是觀念的提升。]

出示診斷性問(wèn)題：判斷以下命題是否為真命題。①因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=1/x在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)，所以f（x）=1/x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù);②如果?x∈D，都有f（x+1）>f（x），那么就稱f（x）在D上單調(diào)遞增;③“f（x）在D上單調(diào)遞增”是“?x1、x2∈D，x1≤x2，則y1≤y2”的充要條件。

追問(wèn)：若都有f（x+0.1）>f（x），f（x+0.0001）>f（x），能否稱f（x）在D上單調(diào)遞增？

總結(jié)：①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的，離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性;②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)，它的單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域（如一次函數(shù)），可以是定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間（如二次函數(shù)），也可以根本不單調(diào)（如常函數(shù)）;③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A、B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增（或減）函數(shù)，因?yàn)锳∪B是一個(gè)集合，既代表運(yùn)算結(jié)果，也代表運(yùn)算過(guò)程;④在區(qū)間D上，若從左向右函數(shù)圖像是上升的，則函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，自變量x增大即x→x+Δx（Δx>0），可令x=x1，x2=x+Δx，得到x1

[設(shè)計(jì)意圖：對(duì)學(xué)生概念理解的程度進(jìn)行診斷評(píng)估。進(jìn)一步辨析概念，明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。引入Δx，為后面學(xué)習(xí)平均變化率打基礎(chǔ)，同時(shí)，進(jìn)一步落實(shí)大概念“無(wú)限”。]

（3）函數(shù)單調(diào)性定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

出示問(wèn)題5：根據(jù)定義，研究函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的單調(diào)性。

教師引導(dǎo)學(xué)生先從圖像的角度分析，再給出基于單調(diào)性定義的證明。

[設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用函數(shù)圖像能夠直觀得到結(jié)論。教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)嚴(yán)格推理和運(yùn)算得到一次函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)變，加深對(duì)單調(diào)性定義的理解。同時(shí)，落實(shí)大概念“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“幾何直觀”。]

出示問(wèn)題6：研究函數(shù)y=x+1/x（x>0）的單調(diào)性，能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？可以取一些特殊值試試看。

[設(shè)計(jì)意圖：解決此題的困難在于確定單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)的確切位置。 借此，可以讓學(xué)生體會(huì)到利用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性。]

追問(wèn)1：你能想辦法猜出函數(shù)單調(diào)性改變的分界位置嗎？

預(yù)設(shè)：能，由均值不等式可知，當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值2。

追問(wèn)2：研究函數(shù)f（x）=x+1/x在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，說(shuō)清楚證明步驟。

預(yù)設(shè)：①取值。任取x1、x2∈（0，+∞），且設(shè)x10。

追問(wèn)3：三項(xiàng)乘積中只剩x1x2-1的符號(hào)要確定了，如何判斷？若想得出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)該讓x1、x2取在哪個(gè)區(qū)間上？

預(yù)設(shè)：讓x2>x1≥1，則對(duì)任意x1、x2，都有x1x2>1。

追問(wèn)4：我感覺(jué)不是的，比如讓x1=1/10，x2=100，則x1x2=10>1。

預(yù)設(shè)：不可以。若讓x1=1/10，則x2就不能取區(qū)間（0，+∞）上的任意值，而只有當(dāng)x2>10時(shí)，才有x1x2>1，這違背了單調(diào)性定義中的“任意兩個(gè)值”。所以得到：當(dāng)x2>x1≥1時(shí)，x1x2>1，所以（x1-x2）（x1x2-1）x1x2<0，所以f（x1）0，所以f（x1）>f（x2）。⑤定論。函數(shù)f（x）=x+1x在區(qū)間[1，+∞）或（1，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，1）或（0，1]上是減函數(shù)。

追問(wèn)5：你能給出函數(shù)f（x）=x+1/x在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性嗎？能根據(jù)單調(diào)性和最值畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖嗎？

[設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值、作差、變形、判號(hào)、定論。同時(shí)，回扣定義中的關(guān)鍵詞“任意”“都有”，再次落實(shí)大概念“無(wú)限”。]

（4）課堂小結(jié)。

出示問(wèn)題7：①什么是函數(shù)的單調(diào)性、增函數(shù)、減函數(shù)？定義中的關(guān)鍵詞是什么？②判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么？③什么是函數(shù)的性質(zhì)？我們研究了函數(shù)的哪些性質(zhì)？④我們是怎樣研究函數(shù)的性質(zhì)的？

[設(shè)計(jì)意圖： 引導(dǎo)學(xué)生回顧全課內(nèi)容，進(jìn)一步提煉研究函數(shù)性質(zhì)的方法：幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算，從直觀到抽象，從定性到定量，從粗略到精確;從特殊到一般。這些也是重要的大概念。]

5.課后作業(yè)。

基礎(chǔ)作業(yè)：略。

探究作業(yè)：要證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是增函數(shù)，可以利用“對(duì)任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x2）-f（x1）/（x2-x1）>0”嗎？

[設(shè)計(jì)意圖：等價(jià)形式的進(jìn)一步發(fā)展可以引向?qū)?shù)，為學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆。]

參考文獻(xiàn)：

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[2] 章建躍.《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)（人教A版）》“單元—課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)”體例與要求[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（22）.

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[6] 史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

*本文系北京市教育科學(xué)規(guī)劃2021年度一般課題“大概念和學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)實(shí)施策略研究”（編號(hào)：CDDB21315）的階段性研究成果。