大質(zhì)量BTZ 黑洞的WCCC 驗(yàn)證

聶維福

（西華師范大學(xué)，四川 南充 637009）

眾所周知，大質(zhì)量天體在引力坍塌過程中會(huì)形成一個(gè)時(shí)空奇點(diǎn)，在時(shí)空奇點(diǎn)附近一切物理規(guī)律都將失效[1]。為了避免這種情況出現(xiàn)，Penrose 提出弱宇宙監(jiān)督猜想（WCCC），猜想指出在引力坍塌產(chǎn)生奇點(diǎn)過程中，奇點(diǎn)必將隱藏在黑洞的事件視界之后[2]。猜想提出至今，對(duì)于猜想的證明一直是熱門研究領(lǐng)域，經(jīng)過最近幾十年的研究得出了最有意義的有兩種證明方法，第一種是Wald 設(shè)計(jì)的Gedanken 試驗(yàn)法[3]，第二種是測(cè)試標(biāo)量場(chǎng)法。

第一種方法檢驗(yàn)極端Kerr-Newman 黑洞時(shí)，Wald 發(fā)現(xiàn)極端黑洞是不能吸收帶電粒子[3]。在近極端Reissner-Nordstom 黑洞和Kerr 黑洞檢驗(yàn)中，研究人員發(fā)現(xiàn)WCCC 是違背的，研究中考慮帶電粒子的能量、角動(dòng)量、電荷等參數(shù)，導(dǎo)致用此方法研究極端Kerr-Newman 黑洞WCCC 都是違背的[4]。有研究人員認(rèn)為這種方法是不準(zhǔn)確的，因?yàn)闆]有考慮粒子本身因素，因此對(duì)于這種方法就存在一些爭(zhēng)議[5]。最后考慮了所有可能的因素在驗(yàn)證中再對(duì)黑洞進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)WCCC 對(duì)極端黑洞和近極端黑洞都是有效的，對(duì)于非極端情況的黑洞也被證明可以滿足WCCC[6]。在最近幾年里，研究逐步向AdS 時(shí)空深入，研究人員通過Wald實(shí)驗(yàn)基本模型設(shè)計(jì)了“測(cè)試粒子法”用于驗(yàn)證AdS 時(shí)空中黑洞WCCC 的有效情況[7]。在這個(gè)時(shí)空中黑洞的質(zhì)量被給了新的定義，表示黑洞的熱力學(xué)焓，同時(shí)黑洞的宇宙學(xué)常數(shù)及其共軛量被認(rèn)為是壓強(qiáng)和體積，這個(gè)方法還可以用來討論AdS 時(shí)空中黑洞的熱力學(xué)性質(zhì)[8]。最近幾年研究人員用這個(gè)方法研究了高維RN-AdS 黑洞[7]、BL-AdS 黑洞、tour-like-AdS 黑洞、一般黑洞等等。

對(duì)于三維黑洞的研究，目前主要是研究黑洞的熱力學(xué)和一般情況下的三維黑洞的WCCC[9]，對(duì)于大質(zhì)量靜態(tài)三維BTZ 黑洞主要集中在研究量子隧穿、P-V 臨界、熱力學(xué)方面[10]。在能動(dòng)張量的基礎(chǔ)上使用這個(gè)方法驗(yàn)證洛倫茲破缺情況下大質(zhì)量BTZ黑洞在相空間中的WCCC 有效性，在研究討論中將大質(zhì)量參數(shù)賦值得出了符合預(yù)期的結(jié)果。

1 大質(zhì)量BTZ 黑洞的引力理論

首先，定義大質(zhì)量參數(shù)ci和d×d 矩陣Kμν=（gμаfаν）1/2的特征值的對(duì)稱多項(xiàng)式U，其中[K]=Kμμ，（A1/2）μν（A1/2）νλ=Aνλ。含有交換規(guī)范場(chǎng)U 和負(fù)宇宙常數(shù)的大質(zhì)量BTZ 黑洞[11]的作用量為：

式中L（Γ）是矢量規(guī)范場(chǎng)的拉格朗日量，Λ 是宇宙常數(shù)，R是曲率標(biāo)量，M^2是黑洞質(zhì)量參數(shù)，f 是穩(wěn)定的對(duì)稱張量，Γ=FμνFμν是麥克斯韋不變量。設(shè)度規(guī)方程為：

其中，f（r）是場(chǎng)方程徑向函數(shù)。通過考慮與徑向電場(chǎng)相關(guān)的規(guī)范勢(shì)Aμ=f（r）δtμ，并按照文獻(xiàn)[13]中的方法，能得到（2）式f（r）的具體表述：

式中m=8M 和q=2Q，M 和Q 表示黑洞的質(zhì)量和電荷量。宇宙常數(shù)Λ=-1/l2。大質(zhì)量情況下的BTZ 黑洞，利用引文獻(xiàn)[12]的方法（3）式可以簡(jiǎn)化為：

2 大質(zhì)量BTZ 黑洞吸收帶電粒子的能量-動(dòng)量關(guān)系

使用Hamilton-Jacobi 方程來計(jì)算大質(zhì)量BTZ 黑洞獲得一個(gè)帶電粒子在事件視界附件的能量-動(dòng)量關(guān)系[13]：

其中p=аμI 是動(dòng)量，e 是電荷量，m 是黑洞質(zhì)量，I 是帶電粒子的Hamilton 作用量。在球?qū)ΨQ時(shí)空中，帶電粒子的Hamilton 作用量可以從（12）分離得到：

式中E 是帶電粒子的能量，L 是帶電粒子的角動(dòng)量，W（r）和Iθi（θi）分別是方程（13）的徑向和角向分量。經(jīng)過對(duì)徑向方程計(jì)算，化簡(jiǎn)能得到徑向動(dòng)量為：

當(dāng)帶電粒子被黑洞吸收時(shí)，在視界附近有f（r+）=0。則（14）式可以簡(jiǎn)化為：

其中pr+=pr（r+）。對(duì)于│pr+│項(xiàng)，規(guī)定它為正值，以保證粒子在順時(shí)間方向落入黑洞。

3 大質(zhì)量BTZ 黑洞的WCCC 驗(yàn)證

在正常相空間中，大質(zhì)量BTZ 黑洞的狀態(tài)參數(shù)是黑洞的質(zhì)量M 和電荷量Q。當(dāng)帶電粒子被黑洞吸收后，黑洞的狀態(tài)參數(shù)將變?yōu)镸+dM 和Q+dQ，事件視界r+和徑向坐標(biāo)rmin將變?yōu)閞++dr+和rmin+drmin[14]。當(dāng)極值點(diǎn)在rmin和rmin+drmin之間時(shí)，下式是滿足的：

當(dāng)r=rmin+drmin時(shí)，方程f（rmin+drmin）能被表示為：

這個(gè)值恒為負(fù)值，然而此時(shí)黑洞為極端黑洞，則pr滿足pr=0，所以dfmin=0，意味著帶電粒子落入極端大質(zhì)量BTZ 黑洞時(shí)，黑洞還是維持極端黑洞狀態(tài)。

對(duì)于近極端的大質(zhì)量BTZ 黑洞，在r+=rmin+x 點(diǎn)將（15）展開，即：

對(duì)于上式，O[x]2是一個(gè)極小量，所以這項(xiàng)可以略去，第一項(xiàng)的絕對(duì)值比第二項(xiàng)大，等式符號(hào)由第一項(xiàng)決定，即dfmin<0。當(dāng)帶電粒子被黑洞吸收時(shí)，WCCC 有效。

在擴(kuò)展相空間情況下，黑洞的狀態(tài)參數(shù)有M，Q，l，黑洞吸收帶電粒子后的狀態(tài)參數(shù)變?yōu)镸+dM,Q+dQ,l+dl。相應(yīng)的最終狀態(tài)下的視界半徑和最小極值點(diǎn)為r++dr+和rmin+drmin。當(dāng)r=rmin+drmin時(shí)，總是有如下關(guān)系：

這個(gè)值恒為負(fù)值，此時(shí)黑洞為極端黑洞，則pr滿足pr=0，所以dfmin=0，意味著帶電粒子落入極端大質(zhì)量BTZ 黑洞時(shí)，黑洞還是維持極端黑洞狀態(tài)，此時(shí)WCCC 有效。

對(duì)近極端黑洞，利用r+=rmin+x 關(guān)系在最小點(diǎn)附近展開到一階形式，即：

將式子（26）代入（24）得：

有學(xué)者指出此時(shí)dfmin 可以忽略，因?yàn)樗扔?，但注意到Θ 是一個(gè)極小量，不能忽視O[x]2對(duì)函數(shù)f（rmin+drmin）的影響[14]。f（r+）在rmin有：

上式值由L,Q,c,ci,M^2決定，當(dāng)改變L,Q,c,ci,M^2的其中一個(gè)的值，F(xiàn) 方程會(huì)得到不同的結(jié)果。此時(shí)WCCC 不能確定是否違背。

4 結(jié)論

研究了三維靜態(tài)大質(zhì)量BTZ 黑洞的WCCC，在研究處理中對(duì)于大質(zhì)量參數(shù)M^2，c，c1均是取特殊值研究，這是研究的不足之處，因而導(dǎo)致最后在研究擴(kuò)展相空間WCCC 時(shí)，對(duì)于近極端黑洞情況無法得出準(zhǔn)確值。