基于三組元可調光焦度器件的變焦光學系統設計

程洪濤，李恒宇

（1.上海健康醫學院 發展規劃處，上海 201318；2.上海大學 精密機械工程系，上海 200444）

引言

基于可調光焦度器件的變焦光學系統廣泛應用在機器視覺、醫療和科學實驗中[1-4]。可調光焦度器件的優點是給變焦系統設計提供了額外的自由度，不需移動光學器件，使系統結構更緊湊，極大提升了變焦光學系統的魯棒性[5-7]。 目前，基于可調光焦度器件的變焦光學系統的研究主要集中在依據可調光焦度器件的調焦模型參數分析組元間的高斯光學參數，應用商業光學設計軟件建立初始結構并優化[8-10]，這些方法沒有從幾何光學理論上進行整體初始設計和研究，缺乏理論基礎。

本文在近年來可調光焦度器件變焦系統的一階和三階研究理論基礎上進行進一步拓展研究[11-13]，提出了基于放大率的三組元可調光焦度器件變焦系統幾何光學設計計算方法。其中分析了可調光焦度器件變焦的關鍵參數設計計算過程，得到了可調光焦度器件的控制方程，同時給出了三組元變焦物鏡的設計實例，并與文獻[14] 的基于三組元可調光焦度器件的分析進行比較驗證，結果表明該方法完全可行。

1 三組元變焦系統光學設計原理

三組元折射系統是最典型的光學系統，應用在很多場合，三組元可調光焦度器件的變焦系統可等效成薄透鏡，如圖1所示。這種系統的倍率變化是以3 個實時的可變光焦度器件來實現的。透鏡1、透鏡2、透鏡3 的光焦度分別為 φ1、 φ2、 φ3。組元的間距為d1、d2、d3、d4，共軛距為 Λ，系統放大率為m，系統倍率比為M=m2/m1，m2是最大放大率，m1是最小放大率 。假設d1、d2、d3、d4、m、M為已知。

圖1 三組元可調光焦度器件變焦系統等效薄透鏡示意圖Fig.1 Three-element equivalent thin lens zoom system based on variable focal power devices

2 三組元變焦系統初始參數計算

三組元變焦光學系統數據參數如表1所示。由于實際的可調焦系統有厚度，且變焦過程中透鏡之間的距離會改變，在以下討論和分析過程中，假定隨著可調光焦度器件光焦度的改變，透鏡間距基本保持不變，相對孔徑大小保持不變，則變焦系統光學參數如表2所示。

表1 可調光焦度器件參數Table 1 Parameters of variable focal power devices

表2 系統參數Table 2 System parameters

依據（9）式～（12）式可知，三組元變焦系統可調光焦度器件光焦度調焦方程為

（13）式～（16）式確定了透鏡1、2、3 的光焦度控制方程和系統總的光焦度。需要進一步確定各器件的形狀參數X的取值，同時考慮系統像差的復雜性和綜合性，因此不考慮其他像差作為設計參考。以系統追求最小球差系數作為出發點，根據文獻[12]中的公式：

得到以最小球差為優化參數時透鏡1、2、3 的形狀參數變化方程：

式中mI、mII、mIII分別為透鏡1、2、3 的倍率值。針對該系統的成像質量，由于考慮到是薄透鏡系統模型（簡化的物理模型），因此本文采用光線追跡程序來完成三組元光焦度補償變焦系統的像差評價。首先依據上面的探討選取3 個位置的成像結果進行計算，分別是m=-0.05、m=-0.025、m=-0.01，根據（14）式～（16）式得到對應的各器件的放 大率一覽表，如表3所示。

表3 系統放大率與變焦器件光焦度對應值Table 3 System magnification corresponds to focal power

根據薄透鏡光學原理模型的光線追跡程序，代入表3 中透鏡1、2、3 的光焦度值，同時應用（13）式得到三組元變焦系統的光焦度計算值，光焦度計算值和光線追跡值對比結果如表4所示。

從表4 中可以看出，計算值與光線追跡值相吻合（部分誤差是因為光線追跡時小數點取6 位有舍入誤差），說明公式（13）～（16）正確。

表4 光焦度計算值和光線追跡值對比Table 4 Comparison of focal power and ray tracing values

為進一步評估系統的光學性能，需要知道可調光焦度器件的曲率半徑。（18）式～（20）式已經給出了可調光焦度器件的形狀參數，根據曲率半徑求解公式就可得到。計算公式如下：

根據（18）式～（22）式，可以得到在3 個不同放大率情況下各器件的不同曲率半徑值。

m=-0.05

1）當時，各器件的曲率半徑值如下：

?Xc0.191 433c10.047 092c2-0.031 959 0.533 793c3-0.364 148c40.110 685 0.525 336c50.376 812c6-0.117 259

2）當m=-0.025 時，各器件的曲率半徑值如下：

Xc0.530 635c10.112 502c2-0.034 498 5 0.663 054c3-1.520 12c40.307 987 0.282 097c50.370 207c6-0.207 295

3）當m=-0.01 時，各器件的曲率半徑值如下：

Xc0.612 388c10.149 478c2-0.035 934 0.803 405c3-5.463 306c40.595 573 0.214 103c50.370 919c6-0.240 098

將以上3 種情況下的數據輸入到光線追跡軟件中，波長取可見光（F、d、C），得到的像質評價結果如圖2 和表5所示。

圖2 不同放大率情況下的點列圖Fig.2 Spot diagram with different magnification

從圖2 可以看出,系統的像質質量在放大倍率數值較小時像質表現較好，放大倍率較大時像質表現較差。表5 給出不同放大倍率情況下的像差系數也說明了這種趨勢，這符合變焦系統的特點，同時也表明了本文計算方法在小視場時更精確。

表5 不同放大率情況下的像差系數Table 5 Aberration coefficients with different magnification

3 歸化對比驗證

為了說明設計結果的有效性，并與文獻[14]基于三組元可調光焦度器件的分析進行比較，對上面討論的結果取放大率m值分別為-0.03、-0.025、-0.02，得到系統的變倍比為1.5。根據（13）式～（16）式得到不同放大率情況下的光焦度值如表6所示。根據（18）式～（20）式計算出本例在3 種變焦情況下的透鏡形狀參數，如表7所示。

對表6 進行縮放歸化，得到的光焦度值如表8所示。從表8 可以看出，經過適當縮放后系統的焦距f′分別為1.2、1、0.8，與文獻[14] 中表2 變焦系統總的焦距數據相同。下面比較本例和文獻[14]的變焦系統的成像質量。

表6 不同放大率情況下的光焦度值Table 6 Focal power values with different magnification

首先，計算出本例在3 種變焦情況下透鏡的曲率半徑，依據表7、表8 和（21）式、（22）式得到三組元可調光焦度器件的曲率半徑，如表9所示。

表7 不同放大率情況下形狀參數值Table 7 Shape parameter values with different magnification

表8 歸化后變焦器件的光焦度值Table 8 Focal power values after naturalization

表9 歸化后光焦度器件曲率半徑值Table 9 Radius of curvature after naturalization

其次，將表9 的數據輸入到光線追跡軟件中，該光線追跡軟件是根據幾何光學原理而特別設計的計算機程序，程序中應用了y-nu光線追蹤原理，可以用來驗證理論計算的結果是否正確。波長取可見光（F、d、C），得到的像質評價結果如圖3所示。

根據文獻[14]中表2 數據及其系統參數得到其點列圖像質評價，如圖4所示。

圖4 文獻[14]歸化后不同焦距情況下的點列圖Fig.4 Spot diagram of different focal lengths after naturalization in reference [14]

分析圖3 與圖4 可以看出，本例歸化后不同焦距情況下的點列圖整體表現要優于文獻[14]，說明在小視場范圍內基于像差獨立性原理以球差為最小優化值的求解是可信的。

4 結論

以薄透鏡為可調光焦度器件的簡化模型，探討了基于三組元可調光焦度器件的變焦系統的初始設計理論。系統設計實例給出了系統長15 mm，相對孔徑為1 /3的三組元可調光焦度變焦系統的初始控制方程，設計結果表明，系統結構簡單、控制參數明確、變焦無軸向機械移動，可應用在光學內窺鏡等狹小空間變焦的光學系統。