貝葉斯參數(shù)隨機反演方法的基本原理研究

杜紅，劉存弟

【摘要】 文章基于貝葉斯參數(shù)隨機反演方法，介紹了其基本原理，并主要分析了常用的DREAM（ZS）法、BUS法和aBUS法，最后對比分析了這三種常用方法的優(yōu)缺點，希望通過此次研究可以給相關專業(yè)人員提供有價值的參考。

【關鍵詞】 貝葉斯方法;基本原理;對比

【DOI編碼】 10.3969/j.issn.1674-4977.2021.06.027

Research on the Basic Principles of Bayesian Parameters Random Inversion Method

DU Hong1，LIU Cun-di2

（1.Ordos Vocational College，Ordos 017000，China;

2.Inner Mongolia xinhengji Steel Structure Engineering Co.，Ltd.，Baotou 014010，China）

Abstract： Based on the Bayesian parameter random inversion method，the article introduces its basic principles，and mainly analyzes the DREAM（ZS），BUS and aBUS，and finally compares and analyzes the advantages and disadvantages of the three commonly used methods，it is hoped that this study can provide relevant professionals with valuable references.

Key words： Bayesian method;basic principle;comparison

貝葉斯參數(shù)隨機反演方法是計算驗證巖土邊坡穩(wěn)定性的常用方法，該方法具有較強的系統(tǒng)性及綜合性。但是，目前大部分的研究均忽略了參數(shù)空間變異性及非平穩(wěn)分布特征的影響作用，因此，還需加深對貝葉斯更新及參數(shù)隨機反演方法的研究。

1 貝葉斯基本原理

貝葉斯參數(shù)隨機反演方法是通過融合試驗數(shù)據(jù)、觀測信息及工程經(jīng)驗等多源信息來降低參數(shù)不確定性，并準確估計參數(shù)的后延概率密度函數(shù)的一種驗算方法。計算公式如下：

[PD（x）=aL（x）p（x）] （1）

式中：[PD（x）]為的后驗概率密度函數(shù)，其中，[x=（x1，x2，…xn）T]，n為隨機參數(shù)總數(shù);[a]為常數(shù)，[a=1-∞∞L（x）p（x）dx];[L（x）]為似然函數(shù)模型;[p（x）]代表參數(shù)x的先驗概率密度函數(shù)。

2 常用的貝葉斯參數(shù)隨機反演方法

2.1 DREAM（ZS）法

DREAM（ZS）法是自適應差分金華蒙特卡洛方法的簡稱，為了打破DREAM法中反演參數(shù)和平行鏈數(shù)數(shù)目多才能滿足計算精度的局限，在2012年由Laloy與Vrugt在過去狀態(tài)抽樣的基礎上，提出了自適應差分進化Metropolis法，也就是DREAM（ZS）法，此法不僅可以像DREAM法一樣進行自適應隨機抽樣，而且計算收斂時只需很少的馬氏鏈。

2.2 BUS法

BUS法即貝葉斯更新方法，主要是以定義一個場地信息實效區(qū)域[ΩY]，把參數(shù)反演問題轉化為結構可靠度來求解，具體公式為：

[ΩY=u-cL（x）≤0] （2）

式中：u為均勻分布的隨機變量u～U（0，1）;c為似然函數(shù)乘子，為了保障隨機抽取的樣本都能在目標范圍內，則[cL（x）≤1.0];x為輸入隨機向量X模擬值，[x=（x1，x2，…xn）T]。

2.3 aBUS法

aBUS法即自適應貝葉斯更新法。為了突破BUS方法中驗算子集模擬驅動變量F受限于c值的局限，在2017年，由DiazDela等基于取驅動變量Y對數(shù)，提出了自適應貝葉斯更新法（即aBUS法），這種情況下計算場地信息失效區(qū)域[ΩY]的公式為：

[ΩY=ln[L（x）u]>-lnc] （3）

3 DREAM（ZS）、BUS和aBUS方法理論對比

3.1 隨機樣本產(chǎn)生方式

DREAM（ZS）方法可以實現(xiàn)多條鏈同時進行計算，并結合馬氏鏈的當前位置及過去狀態(tài)，通過自適應方法實現(xiàn)隨機抽樣，有效確保了結果的平衡性及遍歷性。BUS方法及aBUS方法均是利用蒙特卡羅模擬法來隨機生成子集模擬第一層的樣本，在條件概率的基礎上，自適應產(chǎn)生單調閾值序列，且整個計算過程均是通過改進M-H算法來生成條件樣本。

3.2 收斂判據(jù)

1）DREAM（ZS）方法：開始計算之前，需先計算出馬氏鏈長度T，再結合Geiman準則來對診斷R值進行判斷計算收斂，以確定是否存在收斂。若R<1.2，則說明收斂，且馬氏鏈上的全部樣本估計參數(shù)均后驗分布;否則，應不斷增大馬氏鏈長度T直至收斂。

2）BUS方法：需先確定定義目標失效事件F={Y<0}，當計算子集模擬閾值b<0后，則說明收斂，再對這一層的失效樣本估計參數(shù)后驗分布進行統(tǒng)計。

3）aBUA方法：既能夠根據(jù)驅動變量Y的CDF函數(shù)P{Y>b}隨閾值b的變化特征定性對收斂進行判定，也能夠結合內部子集模擬計算出P（Bm）<10-8定量對收斂進行判斷。

3.3 模型證據(jù)

從后驗概率分布計算公式[PD（x）=L（x）p（x）/PE]可以看出，能夠利用模型證據(jù)[PE]計算出參數(shù)x的后驗分布。同時，[PE]的作用不只限于此，還能夠對各種模型進行優(yōu)化選擇，比如，計算模型的[PE]值越大，則說明此模型的出現(xiàn)概率越大。

1）在DREAM（ZS）方法中模型證據(jù)的表達式為：

[PE=e1NMCMCi=1NMCMCln[L（xi）]1NMCMCi=1NMCMCln[PD（xi）p（xi）]] （4）

式中：NMCMC表示DREAM（ZS）法中后驗統(tǒng)計樣本的總數(shù);[L（xi）]表示第i組樣本[xi]對應似然函數(shù)值;[PD（xi）]是[xi]的后驗概率分布;[p（xi）]是[xi]的先驗概率分布。

2）BUS方法計算模型證據(jù)的表達式為：

[PE=cP（Y<0）] （5）

式中：c表示似然乘子值，基于[ci=1max{c-1i=1[L（xi，k），k=1，2，…Nl]}]計算;[P（Y<0）]表示目標失效事件發(fā)生概率，基于[P（Y≤0）=P（ΩV）=P（ΩV1）i=2mP（ΩViΩVi-1]計算。

3）aBUS方法的模型證據(jù)計算公式為：

[PE=ebP（Y>b）] （6）

公式（6）中：[P（Y>b）]代表的是目標失效事件的發(fā)生概率，可通過公式（2）來確定。

總結上述分析結果，可以得出BUS方法與aBUS方法的計算模型證據(jù)[PE]均要比DREAM（ZS）方法簡單的多，且計算收斂之后都可以直接獲得。

3.4 后驗失效概率計算

1）DREAM（ZS）方法：根據(jù)公式[P（V/Y）=k=1NSI[G（xk）≤0]NS]可對NMCMC組后驗統(tǒng)計樣本的邊坡后驗失效概率進行計算。

2）BUS方法和aBUS方法：基于取得的目標失效區(qū)域樣本，對新的邊坡失效區(qū)域進行定義，用失效樣本作為種子樣本，再使用子集模擬方法對邊坡失效概率進行更新。由此可見，BUS方法與aBUS方法需要基于失效樣本，重新采用一輪新的子集模擬才能計算邊坡失效概率，這無形中增大了計算的工作量及編程難度。

4 總結

綜上所述，通過總結對比DREAM（ZS）、BUS和aBUS三種方法得出：對于低維問題，應用DREAM（ZS）法在收斂速度、計算效率及精度等方面更具優(yōu)勢;對于高維問題，BUS法、aBUS法均可，但是BUS法要先明確c值才可以進行子集模擬計算，若取的c值不合理，則會影響整個計算的結果。而aBUS法則有效解決了Y值依賴于c值的問題，且計算精度更高，更適合應用于高維問題中似然函數(shù)計算量較小的情況。由此可見，在應用貝葉斯參數(shù)隨機反演法進行巖土邊坡穩(wěn)定性計算時，應根據(jù)實際情況選擇合適的方法，提高計算效率及精度。

【參考文獻】

[1] 馮俊豐，林芳逗，趙為華.分位數(shù)貝葉斯組變量選擇及其在變點檢測中應用[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2021（7）：1-16.

[2] 劉輝，李靜，曾昭發(fā)，等.基于貝葉斯理論面波頻散曲線隨機反演[J].物探與化探，2021（4）：951-960.

【作者簡介】

杜紅，女，1986年出生，講師，碩士，研究方向為邊坡。