直剪試驗下粗粒土能量演化與強度參數關系研究*

荀曉慧 何 亮 賀曉東

(①地質災害防治與地質環境保護國家重點實驗室(成都理工大學)， 成都 610059， 中國)

(②華杰工程咨詢有限公司， 北京 100029， 中國)

0 引 言

粗粒土作為建筑材料，多用于土石壩、公路、鐵路等建筑工程，其強度參數是決定工程設計的關鍵指標之一。前人學者利用不同方法對粗粒土的抗剪強度特性開展過研究，其中：能量守恒作為自然界普遍適用規律，可從本質上探究剪切過程中的土體狀態變化，定性及定量描述抗剪強度的發揮過程。基于能量角度，Taylor(1948)提出了粗粒土抗剪強度機理的兩分量學說，認為抗剪強度是由土顆粒間的摩擦阻力、土體剪脹而產生的顆粒間相互作用力兩部分形成。Rowe(1962)基于對砂土的研究，分析能量平衡方程，認為抗剪強度由顆粒滑動摩阻力所發揮的強度、重新定向和重新排列所需能量而發揮的強度、剪脹耗能而發揮的強度3部分組成。抗剪強度主要受顆粒間的摩擦、剪脹、顆粒重新排列和破碎這4種因素的影響(日本土質工學會， 1999)。Hettiarachchi et al.(2009)從能量平衡角度，采用標準滲透測試(SPT)吹氣計數估算了土的剪切強度。Saurer et al.(2011)基于MATLAB分析模型的斷裂力學能量平衡和極限平衡方法，定性和定量地模擬非平面剪切帶傳播速率。剪切過程中具有明顯的能量演化特征，基于能量耗散機制下，能量發生著傳遞與耗散(陳旭光等， 2010； 蔣明鏡等， 2013)，采用軸向應力比例的能量分析法，可實現對各階段能量變化趨勢進行深入研究(陳國慶等， 2018)。王偉(2006)采用能量耗散原理研究了土與結構面接觸模型及應用。何亮等(2019)基于能量耗散機制下，對直剪試驗中粗粒土的圓度損傷演化與能量耗散過程進行了研究，通過結合熱力學定律建立了圓度損傷模型，定性及定量地分析了直剪試驗下粗粒土能量演化與圓度損傷特性。湯連生等(2006)將能量狀態-結構熵進行量化。直剪試驗下粗粒土的剪切過程中，劉斯宏等(2001)分析了剪切框受力變化，提出了剪切盒內壁摩擦對剪切強度影響。徐永福(2018)充分考慮了顆粒破碎對粗粒土的直剪試驗的影響，顆粒破碎對剪切強度的破碎準則有影響，認為顆粒未發生破碎的試樣，直剪試驗下剪切強度符合Mohr-Coulomb 準則，顆粒在剪切過程中產生破碎，其強度包絡線呈顯著的冪函數關系。

目前，針對粗粒土的試驗研究，多集中于從顆粒破碎、形狀、運動等角度對其力學特性變化進行研究，未系統地從粗粒土剪切過程中能量守恒角度，研究其能量演化與強度參數關系，并建立一定程度上具有普適性的函數模型。本文基于能量守恒原理定性及定量對能量演化過程與強度參數關系做出研究，是有效描述粗粒土強度本質的一種有意義的嘗試。通過利用能量守恒原理，研究剪切初始-峰值應力階段，結合粗粒土直剪強度特性，建立了基于系統能量守恒下的能量演化與強度參數關系理論模型，基于假定條件下提出適用模型，對模型進行論證與應用探討，分析了能量演化過程對粗粒土的力學特性響應，具有一定的理論指導意義和工程實用價值。

1 直剪試驗剪切過程中能量演化分析

1.1 基于能量守恒下的功能轉換關系

粗粒土直剪試驗下的剪切過程滿足能量守恒定律，能量以一種形式轉換成另一種形式。剪切盒表部受水平力做功(WFi)、豎向力作功(WF1)，剪切達到峰值應力時，水平方向存在一瞬時速度V1，豎直方向瞬時速度V2。剪切框動能增量ΔEK1，蓋板動能增量ΔEK2，蓋板重力勢能EP1。下部剪切盒在四周約束條件下靜止，剪切盒為剛性，不考慮剪切盒的變形能。荷載傳到粗粒土內部經功能轉換，形成直剪試驗下粗粒土內部復雜的能量轉換過程(圖1)。

圖1 功能轉換關系圖

一部分能量克服摩擦力做功Wf，以磨損形式散失，基于熱力學第二定律(秦允豪， 2011)知摩擦生熱為不可逆過程，致使系統整體能量逐漸減少； 一部分轉換為顆粒剪脹(剪縮)的所需能量E剪，宏觀體現在顆粒孔隙率增大(減小)； 一部分轉換為顆粒間重新排列所需能量E排，具體表現為粗粒土在剪切盒內以錯動、翻滾、掉落等形式產生動能與勢能； 基于最小耗能原理(周筑寶等， 2017)，另一部分因顆粒破碎吸收部分能量E碎。直剪試驗下粗粒土抗剪強度由克服摩擦力做功發揮的強度、剪脹(剪縮)發揮的強度、顆粒破碎發揮的強度、顆粒間重新定向排列所發揮的強度4部分。基于系統能量守恒下，可知直剪試驗下系統能量演化過程滿足基本理論準則：

WFi+WF1=ΔEK1+ΔEK2+EP1+Wf+

E剪+E排+E碎

(1)

式中：WFi、WF1分別為剪切盒表部受水平力和豎向力做功； ΔEK1為剪切框動能增量； ΔEK2為蓋板動能增量；EP1為蓋板重力勢能；Wf為克服摩擦力做功；E剪為顆粒剪脹(剪縮)所需能量；E排為顆粒間重新排列所需能量；E碎為顆粒破碎吸收的部分能量。

1.2 試驗過程中能量變化

傳統直剪儀剪切過程，理想狀態下可簡化為基本物理問題進行分析，在水平壓強Pi、豎向壓強Pm作用下，上部剪切盒沿剪切方向運動，系統總質量M，地面對系統支撐反力N，受到摩擦力f1阻礙上部剪切盒沿剪切方向運動(圖2)。

圖2 理想狀態下基本受力簡圖

剪切初始-峰值應力階段能量變化，從系統能量守恒的角度分析直剪試驗的功能轉換，研究抗剪強度更準確、合理。剪切初始-峰值應力階段，上部剪切盒距原點水平位移xi，沿剪切方向。因剪脹(剪縮)盒內顆粒孔隙率增大(減小)，促使蓋板豎向運動，初位置在z軸上距原點Z1，末位置Z2。

(2)

式中：Pi為水平壓強； π為圓周率；R1為水平加壓裝置油缸半徑；n為水平加壓的階段總數量；xi為上部剪切盒距原點水平位移。

(3)

式中：Pm為豎向壓強；Z1、Z2分別為蓋板豎向運動時距原點的始末距離；R1為豎向加壓裝置油缸半徑。

(4)

因內部顆粒剪脹、重排列、破碎致使剪切框與蓋板存在重力勢能改變：

(5)

式中：g為重力加速度。

剪切過程中摩擦受力復雜，主要來源于剪切框間摩擦、剪切框與蓋板間摩擦(剪脹與剪縮摩擦受力方向相反)、剪切框與顆粒間摩擦(考慮牛頓第一定律)(騰保華等， 2017)、剪脹、剪縮條件下上部剪切框后板受力不確定)、顆粒間相互摩擦(顆粒運動過程中接觸面積持續變化)、顆粒與平臺板間摩擦。考慮摩擦作用的不確定性，根據摩擦學中能量磨損理論(溫詩鑄等， 2008)可知，磨損是能量轉換和消耗的過程。直剪試驗中剪切過程克服摩擦力做功大部分以摩擦熱形式散失，滿足隨時間變化的函數，用Q(t)表示； 小部分以勢能形式存儲在顆粒間，達到臨界狀態以磨屑形式從表面剝落，用E1表示。

Wf=Q(t)+E1

(6)

式中：Q(t)為隨時間變化的摩擦熱函數；E1為達到臨界狀態以磨屑形式剝落具有的勢能。

剪脹(剪縮)消耗的能量、顆粒重新定向排列所需能量，宏觀體現在顆粒形成復雜運動與孔隙率增大，達到峰值剪應力時，因顆粒運動速度不定向，根據運動學中運動疊加原理(騰保華等， 2017)，剪切盒內顆粒瞬時速度在坐標系下可表示為：

(7)

式中：v為剪切盒內任意顆粒瞬時速度；i、j、k為單位常矢量；t為作用時間。

瞬時速度大小可表示為：

(8)

有n1個顆粒，質量為mk產生平動動能，有n2個顆粒剪切過程中產生轉動動能，有n3個質量為m′i的顆粒在剪切過程中產生重力勢能，初位置距原點高度Z′1j，末位置Z′2j。

(9)

式中：n1、mk分別為產生平動動能顆粒數量和質量；n2為產生轉動動能顆粒數量；n3、m′i分別為產生重力勢能顆粒數量和質量；Ixj、Iyj、Izj和θxj、θyj、θzj分別為x、y、z方向轉動慣量和轉動角度。

基于最小耗能原理(最小熵產生原理)(周筑寶等， 2017)，顆粒破碎時，應力集中現象被釋緩，系統中任意時間t的總耗能率為：

(10)

式中：Φ為系統總能耗率；V為體積；T、Jk、Xk分別為微小單位體積在瞬時t的絕對溫度、相對應的“流”、相對應的“力”。

總耗能率為隨時間函數，對總耗能率積分得：

(11)

綜上所述，基于能量守恒下直剪試驗能量演化過程可表示為：

(12)

從推導的基于系統能量守恒下的能量平衡方程可知：剪切系統從啟動至達到峰值應力整個階段，直剪試驗下系統能量變化包括外力做功、克服摩擦力做功、平動及轉動動能、顆粒破碎吸收能量、增減的勢能。整個階段，系統受力情況復雜且持續變化，根據力的相互作用原理，顆粒間受力隨剪切過程而變化。

2 能量與強度參數關系

2.1 關系模型的建立

能量守恒是建立直剪試驗下能量演化與強度參數關系的根本準則。傳統直剪試驗測得的強度參數值，基于剪切面為平面、應力分布均勻、試樣受力面積為定值、正應力不考慮偏心受壓等基本假設下，使試驗值存在誤差(張敏江等， 2005； 徐進等，2008)，為建立強度參數與能量演化關系，需對比考慮理想狀態下強度參數取值與實際取值誤差分析。剪切達到峰值應力臨界狀態，滿足莫爾-庫侖破壞準則：

τf=c+σtanφ

(13)

式中：τf為抗剪強度；c為黏聚力；φ為內摩擦角；σ為正應力。

(14)

式中：τ′f、σ′分別為修正的抗剪強度和正應力；A1、A2分別為試樣剪應力、正應力作用受力面積。

定義：

(15)

式中：γ、β為修正影響系數。

傳統直剪試驗認為：達到峰值應力時，滿足莫爾-庫侖強度準則(式13)。

(16)

式中：A2為正應力作用受力面積。綜合上述分析，將式(16)代入式(12)，可建立Pi、Pm、c、φ間基于能量守恒下理論關系式：

(17)

上式為達到剪切峰值臨界狀態時能量演化與強度參數間關系理論模型，也是直剪試驗影響粗粒土強度參數取值的根本準則，不同類型粗粒土基于直剪試驗下的剪切達到峰值均滿足此理論方程，當剪切達到臨界應力峰值時此理論模型成立。

因式(17)中各項能量消耗作用中的參數仍是概念性的，對于散粒集合的多自由度體系，各參數難以具體量化，因此提出如下假定：(1)剪應力分布均勻，豎向荷載發生偏移產生彎矩不計； (2)剪切破壞面視為上下剪切盒間平面； (3)剪切過程上部剪切框及顆粒其速度恒定； (4)除剪切核心區外剪切框頂部與底部顆粒間無相對運動； (5)顆粒間摩擦力在顆粒運動方向上無相對位移。

由式(17)可知，粗顆粒基于三維空間內運動、破碎等產生的能量較為復雜，視二維可觀測面為x-y平面，將三維問題等效轉換至二維平面進行研究，同時充分運用數學微積分思想，通過分析能量密度、二維破碎率等在空間內積分獲得三維空間內能量(周健等， 2006； 呂超等， 2019； 馬林建等， 2019)，定義函數E(t)：

(18)

剪切試驗中顆粒總破碎率為P，基于可觀測二維平面破碎率P1，為顆粒破碎耗能占能量演化總能量比值。因剪切盒內壁光滑，顆粒間接觸多為點-點接觸、點-面接觸，對于棱角數較多、磨圓度較好顆粒，顆粒間摩擦力在顆粒運動方向上無相對位移，Q(t)、E1趨于無窮小。基于二維可觀測面其顆粒運動、破碎等總能量E1(t)可表示為：

(19)

式中：P1為基于可觀測二維平面破碎率。

式(19)中破碎率P1； 產生重力勢能、轉動動能、平動動能顆粒數：n′1、n′2、n′3； 質量m′i、mk； 時間tj、tk； 位移xk、yk、z′1j、z′2j； 角度θxj； 轉動慣量Ixj均可由試驗分析計算獲得，重力加速度g均為已知量取9.8m·s-2。

(20)

(21)

根據式(18)～式(21)可解得E(t)：

(22)

將式(22)代入式(17)中，取γ=1.02，β=1.0(張敏江等， 2005)得到式(23)：

(23)

能量的定量變化是影響粗粒土強度參數取值的根本因素，基于假定條件下的剪切峰值臨界狀態時能量演化與強度參數間關系適用模型，未定量數據均可根據試驗測定。

2.2 模型的論證與分析

同一直剪系統下，達到剪切峰值臨界狀態一定，定義等式(23)左半部分為剪切達到峰值最后一階段外力做功能量函數F(c，φ)：

(24)

式(24)以c、φ為自變量，F(c，φ)為因變量的二元一次函數。

定義等式(23)右半部分為函數G(c，φ)：

(25)

為方便計算c、φ與證明模型，運用反算法，假設試驗獲得強度參數值c、φ為已知量滿足式(23)，必然有基于不同法向應力下F(c，φ)=G(c，φ)，則假設成立，公式得以證明。

顆粒間接觸方式對研究顆粒運動具有重要意義(程展林等， 2007； 王子寒等， 2018)，本文以顆粒表面磨圓度為主要指標，選擇棱角型接觸(花崗巖等，圖3)和圓型接觸(鵝卵石等，圖4)兩種類型粗粒土，研究從剪切初始-峰值階段的能量演化與強度參數取值間關系。

圖3 棱角型接觸

圖4 圓型接觸

粗粒土顆粒的形狀差異對其力學特性產生較大影響(張斌等， 2020； 朱遙等， 2020)，且不同類型粗粒土的材料性質存在一定程度上的差異，在剪切試驗過程中，主要表征于顆粒破碎、平動、轉動、磨損等難易程度存在差異。因此不同類型粗粒土(棱角型、圓型)的能量演化過程，在一定程度上響應了其材料性質的差異，可較好地論證該模型的準確性及普適性。同時為減小顆粒間及試樣間尺寸效應影響，控制試驗所用粗顆粒最大高度不超過剪切盒高度的1/20(譚彩等， 2016)，約束單個顆粒最大粒徑D≤10mm，采用剪切盒規格為200mm×200mm×200mm的改進可視化直剪儀(圖5)。

圖5 改進可視化直剪儀

試驗設備部分技術參數如表1所示：

表1 試驗設備技術參數

試樣截面積取值A1=A2=0.03m2，π=3.14，F(c，φ)可化簡為：

F(c，φ)=0.0306cΔx+0.072063PmtanφΔx

(26)

將制備的棱角型和圓型接觸兩類粗粒土材料，依次采用夯填的方式裝入可視化剪切盒中，使其具備一定的密實度。在對直剪儀上承壓板、豎向及水平荷載施加裝置、百分表、攝影系統等進行調試結束后，通過分級施加剪切荷載，對棱角型、圓型接觸兩類粗粒土分別開展法向應力為100kPa、200kPa、300kPa的室內試驗。根據剪切試驗數據，獲得應力-應變曲線(圖6)及應力-位移統計表(表2)。

圖6 兩類粗粒土在不同法向應力下應力-應變關系曲線

表2 峰值應力-位移統計

通過整理試驗數據，得到不同類型顆粒各組試樣破壞時的庫倫強度擬合直線，由室內試驗得到數值擬合曲線(圖7)。

圖7 兩類粗粒土強度擬合直線

由試驗數據可知，兩類粗粒土達到峰值應力時水平加壓的階段總數量n、位移增量Δx在不同法向應力下取值如表3所示：

表3 不同法向應力下n、Δx取值

根據式(26)可計算棱角型接觸式、圓型接觸式粗粒土法向應力分別為100kPa、200kPa、300kPa時F(c，φ)值(圖8)。

圖8 正應力與F(c，φ)關系圖

由圖8可知，剪切達到峰值應力時，在相同法向應力下，因棱角型顆粒更易產生運動狀態的改變，棱角型顆粒最后一階段外力做功F(c，φ)值大于圓型顆粒，針對同種顆粒，因法向應力對顆粒運動狀態改變具有束縛作用，從而影響能量變化，F(c，φ)隨正應力值增加而增大。

對式(23)中G(c，φ)計算，針對可觀測面上粗粒土，因顆粒數量較多，運用統計學原理(鄭志剛等， 2016)，統計棱角型、圓型基于可觀測面顆粒樣本總數N1=304、N2=316。轉動動能主要產生于剪切帶內，運用image-pro圖像分析軟件，可獲得兩種類型顆粒在100kPa、200kPa、300kPa法向應力條件下剪切前后顆粒轉動角度等信息。此處主要針對200kPa法向應力試驗條件下的圖像識別結果進行分析(另外兩級法向應力條件下的圖像識別處理方法與此一致)，獲得棱角型、圓型接觸式粗粒土長軸方向角度變化分布的柱狀圖(圖9、圖10)。

圖9 棱角型接觸式粗粒土角度長軸方向分布

圖10 圓型接觸式粗粒土角度長軸方向分布

相較于初始應力狀態，應力峰值時顆粒長軸方向分布于1°～90°角度范圍內顆粒增多， 90°～180°角度范圍內顆粒逐漸減少。因其能量演化遵循最小阻力途徑傳遞，根據消耗途徑的難易程度進行選擇，沿著最易路徑進行傳遞，其棱角型顆粒表現尤為明顯。圓型接觸顆粒表面無不規則突出棱角，受粒間接觸應力、受力面積等影響不足以使其產生明顯轉角。

針對樣本數總數內顆粒統計其運動情況如圖11所示：

圖11 顆粒運動情況統計圖

通過分析顆粒運動分布情況，因重力勢能顆粒產生豎向運動伴隨顆粒轉動同時存在，因此m′i為產生轉動顆粒總質量。將顆粒矢量化于CAD中求得對應顆粒Ixj，運用Image-Pro得到θxj。為簡化計算過程，利用MATLAB計算G(c，φ)極限值，計算法向應力分別在100kPa、200kPa、300kPa下棱角型及圓型顆粒函數取值如圖12所示。在不同法相向應力下，F(c，φ)取值在G(c，φ)最值范圍內，當能量取值精度為0.01J時，F(c，φ)=G(c，φ)，因此假設成立。棱角型顆粒與圓型顆粒其強度參數按照理論模型計算取值與試驗值相等，剪切峰值臨界狀態時能量演化與強度參數間關系適用模型成立。

圖12 不同法向應力下F(c，φ)與G(c，φ)最值關系圖

根據試驗過程能量演化分析，獲得不同法向應力下，直剪試驗下達到應力峰值時最后一階段外力做功與強度參數值三維關系圖(圖13)。

圖13 最后一階段外力做功與強度參數值關系圖

同一法向應力下，最后一階段外力做功F(c，φ)隨強度參數值c、φ增加而增大，F(c，φ)分別與c、φ呈線性關系。強度參數c、φ值越大，剪切過程中顆粒能量演化越劇烈。

3 模型的應用探討

對式(24)取微分，針對同一類顆粒在特定的直剪系統，以c、φ為自變量，f(c，φ)為因變量，可化簡為f(c，φ)與c、φ的二元一次函數。為剪切峰值臨界狀態外力變化函數方程：

(27)

采用MATLAB對函數進行分析，繪制f(c，φ)函數圖像(圖14)，圖14反映了直剪試驗下粗粒土c、φ值與函數f(c，φ)間關系，針對一特定f(c，φ)值，c、φ間有多種線性組合，分別以c、φ為定值，函數值均呈拋物線增大。整體隨著c、φ值增大，f(c，φ)函數值呈拋物面趨勢增大。根據信息數據提取并標記，棱角型接觸式粗粒土f(23.567， 40.8)>圓型接觸式粗粒土f(16.233， 29.8)，通過直剪試驗結果表明，棱角型接觸式粗粒土強度參數值大于圓型，其抗剪強度大。可推廣至不同類型粗粒土，實驗測定的強度參數值大，對應f(c，φ)值偏大，且呈拋物線增大，最終收斂于定值f(cα，φβ)。

圖14 f(c，φ)函數圖像

圖15 f(c，φ)與F(c，φ)，G(c，φ)函數關系圖

F(c，φ)以斜率kn=xn-xn-1呈拋物線遞增，試驗表明棱角型接觸式粗粒土抗剪強度大于圓型接觸式粗粒土，滿足f(c，φ)值增大，F(23.567， 40.8)>F(16.233， 29.8)，隨因變量持續增大自變量會無限收斂于定值f(cα，φβ)。

綜合上述分析，粗粒土作為鐵路路基的主要填料，顆粒表部受到列車軌道傳遞的豎向荷載時，內部顆粒受剪，使其路基發生剪切破壞(龍堯等， 2017)。受力情況根據相似定律可類比于粗粒土直剪下粗粒土直剪試驗，當忽略產生彎矩等情況，在受力過程中，選擇強度參數值較大顆粒(棱角型)其剪切破壞所需能量較大，更不易發生破壞。通過室內試驗可求得材料強度參數值，達到臨界峰值應力時，強度參數c、φ值與其能量演化滿足式(17)的理論模型，通過約束相關條件亦滿足式(23)的適用模型。當選取作為路基填料的粗粒土強度參數持續增加，其剪切破壞臨界狀態外力增大，無限收斂于一定值，對應能量也逐漸增加。可通過探索這一極限值f(cα，φβ)，選取強度參數值最理想的材料作為路基填料，達到相應工程要求。

4 結 論

通過研究直剪試驗下粗粒土強獨特性與能量演化過程，結合熱力學定律與Mohr-Coulomb強度準則，建立能量演化與強度參數關系模型，采用試驗驗證了模型的正確性與適用范圍，定性及定量地描述了能量演化與強度參數間關系。對模型深入分析，運用MATLAB分析函數，對其應用進行探討。得到如下結論：

(1)直剪試驗下能量演化與強度參數理論模型，剪切達到臨界應力峰值時此理論模型成立。提出基于假定條件下的能量演化與強度參數間關系適用模型，當能量取值精度為0.01J時模型成立。

(2)棱角型接觸顆粒其強度參數取值相較于圓型顆粒大，主要原因為剪切過程能量演化過程愈劇烈，顆粒轉動動能等較大，達到應力峰值臨界狀態外力做功能量值增大。

(3)不同法向應力下，最后一階段外力做功F(c，φ)隨強度參數值c、φ增加而增大，F(c，φ)分別與c、φ呈線性關系。強度參數c、φ值越大，剪切過程中顆粒能量演化越劇烈。

(4)文中提出的能量演化與強度參數模型，可用于分析工程中路基填料受剪情況下使其破壞的最大剪應力與能量。當選取作為路基填料的粗粒土強度參數值持續增加，其剪切破壞臨界狀態外力增大，無限收斂于一定值，對應能量也逐漸增加。可通過探索這一極限值f(cα，φβ)，選取強度參數值最理想的材料作為路基填料，達到相應工程要求。