高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧

陸 鈺

(江蘇省泰州興化市第一中學(xué) 225799)

數(shù)列是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，相應(yīng)的題型復(fù)雜性及綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力具有較高要求.為了順利地求解數(shù)列題，必須要結(jié)合實(shí)際的題型，靈活地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法與技巧，避免學(xué)生陷入解題困境.因此，在平時(shí)數(shù)列教學(xué)過程中，教師要注意將常用的一些數(shù)列問題解題技巧與方法傳授給學(xué)生，力求可以有效提高他們求解數(shù)列問題的能力.

一、基于基本概念，求解數(shù)列問題

基本概念是數(shù)列學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是最為關(guān)鍵的內(nèi)容之一，會(huì)對(duì)學(xué)生求解數(shù)列問題產(chǎn)生比較大的影響.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一般不會(huì)涉及到數(shù)列知識(shí)，所以學(xué)生是進(jìn)入高中階段之后首次接觸數(shù)列問題.此時(shí)為了幫助他們更好地求解數(shù)列問題，必須要夯實(shí)他們的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)，指導(dǎo)他們?cè)谇蠼鈹?shù)列問題的過程中可以靈活地應(yīng)用數(shù)列概念來解答問題.

例1現(xiàn)有等差數(shù)列{an}，已知a4=4,S10=55，試求S4.

解析在本道數(shù)列題求解期間，可以結(jié)合等差數(shù)列的概念，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式來求解問題，具體就是題目給定的條件代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng)中，求出a1和d.然后再套用前n項(xiàng)和公式來求解S4.

二、基于畫圖方法，求解數(shù)列問題

畫圖方法也是求解數(shù)列問題中比較多用的一種方法，主要是結(jié)合題干給定的已知條件開展繪圖，之后根據(jù)直觀的圖象來找尋題干求解中所包含的數(shù)值之間關(guān)系以及內(nèi)在規(guī)律等，這樣可以輕松地對(duì)問題求解.

例2已知{an}為等差數(shù)列，am=n,an=m,且d≠0，m≠n，試求am+n=？

解析鑒于{an}為等差數(shù)列且d≠0，故可知an為關(guān)于n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)(m+n,am+n)、(n,m)、(m,n)的3個(gè)點(diǎn)處在同一直線上.鑒于同一條直線的斜率相等可得：am+n=0.

三、基于數(shù)學(xué)性質(zhì)，求解數(shù)列問題

在數(shù)列部分知識(shí)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)性質(zhì)是非常重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容.而在求解某些數(shù)列問題過程中，如果可以靈活地應(yīng)用這些相關(guān)數(shù)列的性質(zhì)，那么可以顯著提升數(shù)學(xué)問題的求解效率.因此，在數(shù)列部分知識(shí)學(xué)習(xí)過程中，可以有針對(duì)性地將數(shù)列性質(zhì)方面的知識(shí)傳授給學(xué)生，并使他們掌握如何利用性質(zhì)來求解數(shù)列問題，這樣也有利于鍛煉及提升他們求解數(shù)列問題的能力.

例3{an}為等比數(shù)列，n為正整數(shù)，且a2a5=32，試求：a1a6+a3a4=？

解析在求解這道數(shù)列問題期間，如果直接采取常規(guī)的解題方法，按照等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來求解問題，那么化簡(jiǎn)起來比較復(fù)雜，并且在求解問題中非常容易出錯(cuò).而如果可以靈活地運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，那么可以快速找到求解這道數(shù)列題的突破口，即：假定m+n=p+q保持成立，那么可得aman=apaq.

四、基于數(shù)學(xué)公式，求解數(shù)列問題

數(shù)學(xué)公式也是數(shù)列部分知識(shí)學(xué)習(xí)中需要學(xué)生掌握的重點(diǎn)內(nèi)容，是求解某些數(shù)列問題中經(jīng)常采用的一種解題方法，會(huì)對(duì)學(xué)生的解題能力發(fā)展產(chǎn)生極大影響.比如，數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等等，它們都是求解某些數(shù)列問題中必不可少的解題工具，對(duì)提升學(xué)生的解題能力大有幫助.

例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*,an>0，且S1>1，試求{an}，通項(xiàng)公式.

五、基于函數(shù)思想，求解數(shù)列問題

函數(shù)思想是一種非常有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想，在簡(jiǎn)化某些繁雜數(shù)學(xué)問題中常常會(huì)有神奇的效果.同理，在求解某些數(shù)列問題的過程中，也可以結(jié)合題干信息來靈活地應(yīng)用函數(shù)思想簡(jiǎn)化問題求解過程，這樣也可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性，對(duì)提高他們求解數(shù)列問題的能力有很大幫助.

基于上述分析可知，該道數(shù)列題中有效地融入了函數(shù)方面的知識(shí)，所以在求解的過程中需要調(diào)用函數(shù)思想，但是要注意函數(shù)的基本性質(zhì)，確保化簡(jiǎn)問題的每一步都要準(zhǔn)確，全面.其中不合理的結(jié)果要及時(shí)排除，否則會(huì)對(duì)最終結(jié)果的準(zhǔn)確性帶來影響，造成錯(cuò)解.

六、基于方程思想，求解數(shù)列問題

同函數(shù)思想類似，方程思想也是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的一種數(shù)學(xué)思想.在求解某些數(shù)列問題的過程中，如果可以靈活地應(yīng)用方程思想，也可以起到簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問題求解過程，提高解題準(zhǔn)確率和效率的作用.所謂的方程思想，其在數(shù)列問題求解中應(yīng)用時(shí)主要是依照一系列常用的數(shù)列公式來構(gòu)建方程組，之后通過對(duì)方程組求解的方式來達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的.

例6已知{an}為等差數(shù)列，且S10=30，S15=195，試求S20.

解析針對(duì)這一道數(shù)列問題的求解，我們必須要搞清楚數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，但是由于題干條件中只給出了數(shù)列{an}的2個(gè)前n項(xiàng)和的結(jié)果，所以在實(shí)際的求解過程中可以借助方程思想來快速簡(jiǎn)化問題求解過程.

方法一假定{an}的前n項(xiàng)和Sn=tn+kn2，那么結(jié)合題干條件可得：10t+100k=30，15t+225k=195

通過聯(lián)立二者，可以求得k=2,t=-17，所以可知：Sn=-17n+2n2

然后將n=20代入上式之后可以求得：S20=460.

方法二假定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，那么結(jié)合題干條件可得：10a1+45d=30， 15a1+105d=195

通過聯(lián)立二者，可以求得a1=-15 ，d=4，所以可知：

由此可見，在求解相關(guān)數(shù)列方面的數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果可以靈活地運(yùn)用方程思想，那么可以極大地簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問題求解過程，降低問題求解難度.但是在采用方程思想求解相應(yīng)數(shù)列問題過程中要結(jié)合實(shí)際的求解目標(biāo)靈活地設(shè)定求解方程，保證可以最大程度提高學(xué)生的解題能力.

總之，數(shù)列問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一類非常重要的題型，相應(yīng)的求解方法眾多，包括函數(shù)思想、方程思想、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)等等，它們都是求解數(shù)列問題中非常有用的方法.但是在實(shí)際的求解中，必須要對(duì)數(shù)學(xué)題干信息進(jìn)行認(rèn)真解讀，在此基礎(chǔ)上選擇適宜的求解方法，保證可以最大程度提升學(xué)生求解數(shù)列問題的能力.