化歸思想在高中數學解題中的應用

楊 舒

(云南省怒江州民族中學 673100)

化歸思想的解題思路主要是依據復雜問題所提出的有效解題方式，經過化歸思想的運用，其不僅能夠使學生面對復雜數學問題時，更好的理清思路，而且還能把復雜問題轉變成一個或多個較為簡單的問題，對其進行一一解決，并歸納到一起，最終實現問題解決的方法.目前，高中數學的解題教學當中，化歸思想已經得到廣泛運用，學生通過化歸思想實施解題，就能更好的應對復雜、難度高的數學問題，從而使學生的數學成績得到有效提升.

一、化歸思想的形式

1.一般性與特殊性問題

化歸思想作為常見的一種解題思路，其運用通常不能只局限在一種情境.通常而言，高中數學的解題中，較為常見的化歸思想的運用情境中，最重要的就是一般性與特殊性問題.對于一般性與特殊性問題而言，其轉換就是在面對復雜、特殊問題的時候，促進問題的簡化，特別是面對短時間無法梳理出解答頭緒的問題時，可將復雜、特殊的問題轉變成一般可計算出的問題，以促使學生自身的解題思路更加清晰，并找出數學問題的具體解決方法.數學解題中，最為常見的應用場景就是計算多項式各項系數的和，在相關問題中，通常會出現多個未知數或者未知數高次冪等狀況，若直接展開各項，并實施合并計算，計算量通常比較大，而運用化歸思想，則能把當中的未知數設成常數1，將該值代入至全部計算中，以求取到相對簡單的結果.經過該方式，就能使原先復雜化的計算過程實現簡化，從而實現數學問題的有效解決.

2.分解和組合

分解和組合屬于兩個動作，在高中數學解題當中也是極其常見的.學生在解題中，最為常用到的就是分解.對于分解而言，主要就是把復雜問題進行細化，并通過不同的步驟實施逐一解決，通過該解題策略，就能使數學問題實施局部變更，在對整體的問題邏輯不受影響的狀況下，實現部分解決.在所有的部分問題得以解決之后，將結果實施整合，即組合過程.

二、化歸思想在高中數學解題中的應用策略

1.直接轉化法

直接轉化法作為數學解題中常見的解題法，運用于數學題的解答中，首先，需注重審視題目，將問題的條件作為出發點，合理的應用相關概念、公式、定理、法則等，經過有效溝通，實現推理、變形、計算之后，把原先的數學問題轉變成相關基本問題，以獲得相應的結論.將直接轉化法運用于高中數學的解題中，一方面，數學教師在課堂教學當中，需注重基本定理、基本公式的深入講解，其不僅需學生牢固記憶相關知識，而且還需清楚知識的來源，以促使學生積累到充足的知識，另一方面，教師需引導學生依據具體題目，注重直接轉化法的運用，從而使學生充分體會到直接轉化法的運用過程，并掌握其應用技巧.

2.換元法

換元法主要指通過新變量的引入，把分式轉化成整式，把高次轉變成低次，以實現解題過程簡化的解題方法.目前，換元法已經在不等式、方程、函數等相關試題中得到廣泛應用.通常來說，換元主要包含三角換元、均值換元、局部換元等.想要使學生充分掌握換元法，需要對換元形式及其需注意的問題實施細致剖析，同時，數學教師可選擇些經典題目，講解換元法的具體運用方法，促使學生充分掌握換元法的運用技巧，從而使數學課程的解題正確率得到有效提高.將換元法運用于數學問題的解答中，其既能聯系分散條件，呈現隱含條件，又能將條件與結論相聯系，以實現快速與簡化的獲得結果的效果，從而使學生的解題能力得以提升的同時，深刻掌握數學思想的運用方法.

例如，已知x、y∈R，滿足x2+2xy+4y2=6，那么z=x2+4y2的取值范圍是____.

本題的題干相對比較簡單，但是，學生如果不會運用化歸思想進行換元，就無法有效解答本題，因此，教師需引導學生認真的觀察題干，通過三角換元對該題實施解答.

3.構造法

構造法主要指依據已學的相關知識與經驗，對相應的數學模型進行構造，把問題轉變成容易解決的數學問題.構造法的運用通常對學生自身的綜合能力有著極高的要求，想要確保學生能夠靈活的運用構造法，在課堂教學中，首先，需注重構造法的重點講解，包含了一次函數、二次函數、構造向量等，以深化學生對構造法相關知識的理解，并充分掌握構造法的運用精髓.其次，數學教師需注重與數學習題相結合，引導學生通過構造法進行求解，并給予學生相應的指導，幫助學生學會通過構造法進行解題，從而使學生應用構造法的技巧與能力得到有效提高.

例如，已知等比數列{an}中，a1=2，a8=4，且函數f(x)=x(x-a1)(x-a2)……(x-a8)，f′(0)=( ).

A.26B.29C.212D.215

本題解法有著較強的技巧性，大部分學生在學習時，都會感到無從下手.因此，在課堂教學中，可指導學生對已知條件進行認真觀察，引導學生通過構造法實施求解，而運用函數構造的方式f(x)=xg(x)之后，通過整體代換以及數列性質應用就能實現高效求解.設g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，那么f(x)=xg(x)，通過兩邊求導可得：f′(x)=g(x)+xg′(x)，因此，f′(0)=g(0)=a1·a2…·a8.又因為{an}是等比數列，a1=2，a8=4，所以，根據等比數列的性質可知，f′(0)=g(0)=a1·a2…·a8=(2×4)4=212.故本題的正確選項是C.

綜上所述，高中數學的解題教學當中，化歸思想的運用，不僅能實現學生自身解題思路的豐富，而且還能促使學生構建相應的知識體系.數學教師在具體教學時，既需要在理論知識的講解中運用化歸思想，又需通過具體例題運用化歸思想，從而實現解題過程簡化的同時，實現高中數學解題效率的提高.