高中數學解題中數形結合思想的有效應用

寧邦青

(廣西欽州市浦北縣浦北中學 535300)

“數”與“形”有著緊密的聯系，在解題中通過“數”與“形”的轉化，能夠及時的找到解題的切入點，因此，實踐中既要注重數形結合思想理論的滲透，又要做好該思想在解題中的應用示范，使學生牢固掌握，靈活應用該思想解題.

一、用于解答函數零點個數問題

函數零點問題是高中數學中的一類重要問題.解答該類問題應具體情況具體分析，結合零點的幾何定義，巧妙的運用數形結合思想化難為易，尤其在求解函數零點個數時應用數形結合思想，可達到事半功倍的良好效果.解答該類習題的關鍵在于正確的畫出函數圖象，因此，實踐中應引導學生夯實基礎，熟練掌握函數的奇偶性、單調性、周期性等，并能熟練的加以推導.

例1已知定義在R上的偶函數y=f(x)滿足f(2-x)=f(x).當0≤x≤1時，f(x)=x，設函數g(x)=f(x)-log5|x|，則g(x)的零點個數為( ).

A.6 B.7 C.8 D.9

由函數零點的定義可將該題轉化為函數y=f(x)和函數y=log5|x|圖象交點個數問題.先研究兩個函數在x>0上的圖象，而后結合圖象的對稱性，找到在R上的總的交點個數.

因為f(2-x)=f(x)，所以其圖象關于x=1對稱.又因其為偶函數，則滿足f(x)=f(-x)，得到其周期T=2，由此不難畫出x>0的函數圖象.由y=log5|x|可知其為偶函數.當x>0時，函數y=f(x)和函數y=log5x的圖象如圖1所示，此時的交點個數為4個.當x<0時，由對稱性可知交點個數也為4個，總的交點個數為8個，選擇C項.

圖1

二、用于解答三角函數問題

三角函數在高中數學中占有重要地位.相關習題靈活多變，解題思路多種多樣，其中三角函數的最值、周期等，能夠從其圖象中獲得，因此，解題中應注重運用數形結合思想，通過畫出對應的圖象，直觀的揭示相關參數之間的關系，并注重聯系三角函數的性質，以快速解答相關習題.

A.在區間[-4，2]上單調遞增

B.在區間[0，6]上單調遞減

C.在區間[1，7]上單調遞減

D.在區間[4，10]上單調遞增

審題可知，該題需要根據已知條件求出參數A、ω、φ的值，得出函數g(x)的具體表達式，而后運用三角函數性質，判斷其在特定區間上的單調性.

三、用于解答平面向量問題

平面向量是高中數學的重要基礎知識.在相關測試以及高考中該部分知識既可以單獨考查，也可以與其他知識結合起來考查.解答平面向量問題的常規思路有兩種：運用向量的幾何運算；運用向量的坐標運算；在兩種解題思路中數形結合思想發揮著關鍵作用.結合平面向量問題的解答，讓學生體會數形結合思想的便捷性，培養學生數形結合思想應用意識，結合經典例題解答，提高學生解題能力.

例3已知平面向量a、b、c，滿足a+b+c=0，其中a、b的夾角為α，|a|=1，|b|+|c|=2，則cosα的取值范圍為____.

解答該題如采用常規作答較為繁瑣，難度較大，而使用數形結合思想可很快的得出正確答案.解題的關鍵在于如何理解與應用題干中“|b|+|c|=2”這一條件.事實上，由|b|+|c|=2可聯想到橢圓定義，將其放到橢圓中分析.

根據題意畫出圖形，如圖3所示，其中F1和F2為橢圓的左右焦點，向量a、b、c隨著點P運動，向量a以及向量a、b的夾角不斷變化，顯然α∈[0，180°]，則cosα的取值范圍為[-1，1].

圖3

四、用于解答直線方程問題

直線方程屬于高中數學中解析幾何范疇.解析幾何給學生留下的印象是計算繁瑣，難度較大.事實上學習時不能一概而論，應具體問題具體分析靈活采用多種解題思路，以達到迅速求解出正確結果的目的.數形結合思想用于解答相關習題，可避免繁瑣的計算，運用幾何知識經過簡單的分析與運算，便能得出正確結果.

例4在平面直角坐標系中，動點P(a，b)滿足|a|+|b|=1，設d為點P到直線x-my-2=0的距離，當a、b、m變化時，d的最大值為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

解答該題如采用常規方法一時難以切入，而且即便能夠切入，但計算較為繁瑣，不易得出正確答案.事實上只要思路正確，該題不難解答.解答該題的關鍵在于能夠看懂點P軌跡表示的圖形，借助數形結合思想進行分析判斷.在畫“|a|+|b|=1”表示的圖形時，可采用分類討論法將絕對值去掉.

圖4

數形結合思想在高中數學解題中有著廣泛的應用.實踐中應充分認識到這一思想的重要性，結合教學內容做好數形結合思想理論知識的講解，使學生掌握“數”與“形”聯系的常規思路，能夠熟練的畫出高中數學常見的函數圖象、圖形.同時，做好經典例題的講解，使學生把握運用數形結合思想解題的相關細節，不斷的提高其運用數形結合思想解題的靈活性與正確性.