優(yōu)化新概念教學提升大學生探究能力
——以“數(shù)學期望”教學實踐為例

羅 原

(西南科技大學理學院，四川綿陽 621000)

0 引言

數(shù)學概念(mathematical concepts)是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數(shù)學的思維形式.在數(shù)學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學概念則是構成它們的基礎[1].

大學數(shù)學中很多基本數(shù)學概念高度概括且非常抽象,數(shù)學概念是數(shù)學技能和思維培養(yǎng)的基礎,所以應該高度重視概念教學,讓學生真正理解數(shù)學概念的本質,并且在理解概念的過程中體會到其中蘊含的數(shù)學思想，達到舉一反三之目的.

1 循序漸進，由淺入深，引入概念

以“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中數(shù)學期望教學內容為例：

同時，這個概念也是歷年研考的熱點之一.所以，在隨機變量的數(shù)字特征的教學實踐中，要牢牢地抓住數(shù)學期望這個“牛鼻子”，這個矛盾的“主要方面”，進而達到讓學生全面、系統(tǒng)、深刻地理解、掌握和運用數(shù)字特征來解決問題的教學初衷.

以“擲骰子”的游戲為引子.假設擲骰子10次，得到如下記錄：

考慮出現(xiàn)點數(shù)的平均值？

隨即引導學生思考隨機試驗的次數(shù)為“無窮”的時候，隨機變量的“平均值”還存在嗎？該如何計算？又有什么應用？

1.1 提出概念

由上述定義可以看出，隨機變量的數(shù)學期望本質上是一“加權平均值”，是概率意義下的平均值，而概率就是這里的“權重”.同時由于概率是頻率的“極限”，所以，這個平均值含有對“未來”進行“展望”的意味.但對初學者而言，準確理解這個概念的內涵并且熟練運用并不是很容易的.同時還要注意，由于數(shù)學期望的定義要求“絕對”收斂，所以一個隨機變量可以有平均值或中位數(shù)，但其期望值卻是不一定存在的.

1.2 凸顯概念“平均值”之屬性，引導學生探究新概念內涵

據(jù)筆者追蹤觀察，多數(shù)學生初次接觸到數(shù)學期望這個概念時，普遍有“抓不住”概念本質的感覺.那么，在教學中，首要任務就是破解其“神秘感”，凸顯概念的“平均值”屬性.

例1[3]設有某國家盛行“重男輕女”，家庭若第一胎為女孩，則必生第二胎；若第二胎仍為女孩，則必生第三胎；……直到生男孩為止.那么，這個國家人口男女比例如何？

這個結果讓不少同學感到意外，也品嘗到探究新事物的妙趣.此時，老師可抓住時機，對怎樣理解數(shù)學期望即是“加權平均值”以及概率即是“權重”這個“內涵”做及時闡述和引導，以期盡快掌握這個新概念的根本特質.

1.3 提升學生課堂主體地位，引導探究問題之良好習慣，提高解決問題能力

美國著名教育家、哲學家、心理學家約翰·杜威說過：“科學教育不僅僅是要讓學生學習大量的知識，更重要的是要學習科學研究的過程或方法”.而教育家施瓦布所倡導的探究教學中，他認為學習“不在于占有的信息，而在于擁有的探究能力”[1].

學習新概念的最終目的，在于運用好概念，解決實際問題.在教學實踐中，應積極發(fā)揮學生的課堂主體地位作用，調動其探究興趣.

在數(shù)學期望的概念里，概率扮著“平均值”的“權重”這個重要角色，同時由于概率又是頻率的“極限”，所以，這個平均值含有對“未來”進行“展望”的意義，這是在“平均值”基礎上的又一個值得探究的“爆發(fā)點”，與“平均值”一起，構成了“數(shù)學期望”的“雙核”，應著重加以引導[3].

例2[4]設有甲、乙二人各出70元設立獎金，竟猜馬路上駛過汽車牌號尾數(shù)的“單”與“雙”(假設每輪都有勝負).規(guī)定先猜中5次者獲得全部獎金140元.現(xiàn)游戲因為意外原因臨時終止.此時甲已猜中4次，乙已猜中3次.請問應該如何分配該筆獎金？

引導分析：平均分配顯然對甲不公平.或者把獎金分成7份，甲4乙3，即甲得80元，乙得60元.這是個貌似“公平”的方案，但這樣分配是不是“合理”的？甲、乙應該按什么比例瓜分獎金才算“合理”呢？

可以這樣設想，在現(xiàn)有情況下游戲繼續(xù)進行下去會是什么結果？

這個分配方案是否“合理”呢？

方案二、假設游戲全部完成(即將全部(至多)九次比賽進行完畢)，結果如表2，

例3[5](考研復習)筆者曾在班上引導學生做過的實驗:隨機地抽取5位同學，請他們報出自己的學號：5,13,30,64,69.由此推算該班學生人數(shù)？

例3同樣利用了數(shù)學期望“雙核”“內涵”，來對隨機現(xiàn)象的某種“統(tǒng)計規(guī)律性”進行“推斷”，在實踐中具有一定的應用價值.

教學實踐中還可以組織同學舉一反三，自我設計一些有趣的實驗，比如對聚會人數(shù)，馬路上汽車流量，電話公司客戶數(shù)等等做出某種“推斷”，進一步達到強化理解和熟練運用的目的.

2 總結

新概念教學是數(shù)學教學過程中極其重要的環(huán)節(jié)，而講好新概念的關鍵在于發(fā)揮學生課堂主體地位作用，以問題為導向，讓其全過程置身其中，充分調動其探究積極性.從課堂效果觀察，成效是明顯的.當然，實踐往往是極其豐富多彩的，并不存在一種適合所有概念教學的“萬能模式”.但只要抓住概念本質，凸顯概念“內涵”，以生為本，問題導向，那么，實現(xiàn)教學目的是有保證的.此外，要實現(xiàn)這個目標，很大程度上還取決于在實際問題中的觀察與思考.這樣在客觀上就要求老師要時刻關注生活中的“司空見慣”現(xiàn)象及其背后蘊含的科學道理和邏輯關系，并將之予以提煉，讓“呆板”的數(shù)學概念在豐富的實踐中變得栩栩如生，趣味盎然.