鉛酸電池剩余放電時間的數(shù)學建模研究

陳玉清

摘 要：本文在對給出的實驗數(shù)據(jù)進行詳細分析的基礎上，將鉛酸電池在恒定電流強度下 的放電過程用時間與電壓之間的函數(shù)關系來描述，采用傅里葉擬合法和線性擬合法建立數(shù)學模型并求解。

關鍵詞：鉛酸蓄電池 電壓 剩余放電時間 傅里葉擬合 線性擬合 放電模型

Research on Mathematical Modeling of Remaining Discharge Time of Lead-acid Battery

Chen Yuqing

Abstract：Based on a detailed analysis of the experimental data given， this article describes the discharge process of lead-acid batteries at a constant current intensity as a function of time and voltage， using Fourier fitting method and linear simulation to legally establish a mathematical model and solve it.

Key words：lead-acid battery， voltage， remaining discharge time， Fourier fitting， linear fitting， discharge model

1 問題的提出

鉛酸電池是一種主要由鉛及其氧化物制成的蓄電池，因其價格便宜，壽命長且性能 穩(wěn)定等諸多有優(yōu)點，一直被廣泛應用于工業(yè)、軍事、日常生活中。從充滿電開始放電，電壓在當前負荷下還能供電多長時間，是生產(chǎn)者和用戶共同關心的問題。目前蓄電池放電特性的研究方法主要有：鉛酸原理模型、阻容等效電路模型、內(nèi)阻模型等[1]。本文根據(jù)2016年全國大學生數(shù)學建模競賽C題提供的數(shù)據(jù)[2]，解決三個問題：

問題1：用初等函數(shù)表示各放電曲線，并分別給出各放電曲線的平均相對誤差（MRE）。如果在新電池使用中，分別以30A、40A、50A、60A和70A電流強度放電，測得電壓都為9.8伏時，根據(jù)獲得的模型，電池的剩余放電時間分別是多少？

問題2：建立以20A到100A之間任一恒定電流強度放電時的放電曲線的數(shù)學模型，并用MRE評估模型的精度。

問題3：同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)。預測電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時間。

符號說明：電流強度;t：蓄電池放電t時刻;ts：剩余放電時間;t1：求MRE時樣本點采樣放電時間;t2：求MRE時樣本點模型放電時間;Coefficients：協(xié)相關系數(shù)。

2 問題求解與模型的實現(xiàn)

2.1 問題1的分析求解

從充滿電開始放電，電壓隨時間變化形成放電曲線，時間也是隨著電壓的變化而變化，也可形成時間隨電壓變化的放電曲線。當電流強度為20A時，將不同的電壓與放電時間的數(shù)據(jù)應用繪圖工具得出以時間為x軸、以電壓為y軸的放電曲線，如圖1所示：

再根據(jù)傅里葉擬合方法，擬合出相應的放電曲線函數(shù)模型，在給出擬合曲線函數(shù)的同時也計算了函數(shù)中參數(shù)的估計誤差，平均相對誤差MRE（20A）=0.0261，Coefficients （協(xié)相關系數(shù)，95%的置信區(qū)間）：

a0=1.253e+08（-3.695e+09，3.946e+09）

a1=-1.824e+08（-2.728e+09，2.364e+09）

b1=1.365e+08（-8.027e+09，8.3e+09）

a2=4.777e+07（-5.721e+09，5.816e+09）

b2=-1.637e+08（-7.2e+09，6.872e+09）

a3=3.706e+07（-7.479e+09，7.553e+09）

b3=9.721e+07（-3.584e+08，5.528e+08）

a4=-4.313e+07（-3.638e+09，3.551e+09）

b4=-2.662e+07（-3.047e+09，2.994e+09）

a5=1.895e+07（-2.92e+08，3.298e+08）

b5=-2.055e+06（-2.141e+09，2.137e+09）

a6=-3.716e+06（-3.838e+08，3.764e+08）

b6=3.657e+06（-5.856e+08，5.929e+08）

a7=1.057e+05（-1.384e+08，1.387e+08）

b7=-9.208e+05（-4.129e+07，3.945e+07）

a8=4.385e+04（-1.291e+07，1.3e+07）

b8=6.772e+04（-5.927e+06，6.062e+06）

w=1.201（-1.004，3.407）

當電流強度分別以30A、40A、50A、60A、70A的恒定電流放電時，用同樣的方法可以擬合出鉛酸電池在不同電流強度下的放電曲線圖及曲線函數(shù)，計算出對應的電曲線的MRE，將電壓x=9.8帶入所得曲線函數(shù)，直接計算就可獲得各電流強度對應下的剩余放電時間，結(jié)果如表1：

2.2 問題2的分析求解

本問題中，電流強度是變化的量，要想得出任一恒定電流強度放電時的放電曲線數(shù)學模型，必須要知道時間、電流強度、電壓三者之間的變化規(guī)律。我們根據(jù)題目中給定的9個恒定電流數(shù)據(jù)，利用線性擬合法擬合出時間隨著電壓變化的數(shù)學模型為：

，其中a，b ，c為待定系數(shù)

因為數(shù)據(jù)較少，會影響結(jié)果，所以采用此方法，得出的模型中待定系數(shù)的個數(shù)會減少，誤差就會減小，再用線性數(shù)據(jù)插值得出電流強度I分別與系數(shù)a，b，c之間的函數(shù)關系，從而可以得出出時間與電流強度、電壓之間的變化關系。如電流強度I為55A時，可計算得a=-1.2437e+03，b=-727.9535，c=1.3507e+03，擬合曲線如圖2：

2.3 問題3的分析求解

利用 Matlab 工具線性擬合方法結(jié)合數(shù)據(jù)，得出電池在新電池狀態(tài)、衰減狀態(tài)1、衰減狀態(tài)2下的時間t隨著電壓V的變化規(guī)律圖，如圖3至圖5所示：由圖3、4、5可以發(fā)現(xiàn)，在這三種狀態(tài)下擬合得出的曲線與原始數(shù)據(jù)曲線誤差較小，說明不同狀態(tài)下放電規(guī)律具有一致性，所以，可以用同樣的方法，根據(jù)已經(jīng)給出的衰減狀態(tài)3下的數(shù)據(jù)，擬合出在衰減狀態(tài)3下的時間隨電壓變化的曲線圖及數(shù)學模型，如圖6所示：

利用函數(shù)擬合工具creatfit 即可得到數(shù)學模型：

f4（x）=a*（（sin（x-pi）））+b*（（（x-10）^2））+c Coefficients （協(xié)相關系數(shù)，95%的置信區(qū)間）：

a=-957.6 （-975.1，-940.2）

b=-623.1 （-663.2，-583）

c=957 （947.5，966.5）

當電壓為9時，將x=9帶入上述模型，計算得時間為728.5856分鐘， 所以剩余放電時間為728.5856-596.2=132.3856分鐘。

3 小結(jié)

實際生活中，鉛酸電池的放電過程會受到空氣濕度、溫度等諸多因素影響。本文從數(shù)據(jù)處理和分析的角度，通過建立放電曲線來建立蓄電池放電的數(shù)學模型，從而對剩余放電時間進行預測，雖然是理想狀態(tài)下研究，但也著實際應用意義。

參考文獻：

[1]李勃，劉云峰，鄭益，蓄電池剩余放電時間綜合分析模型研究，月亮高度及升降時 刻與方位的計算，煤炭技術，2011年，第 30卷第12期.

[2]全國大學生數(shù)學建模競賽組委會.CUMCM2016-CAppendix-Chinese.xlsx[R/OL].http：∥www.Mcm.edu.cn/html_cn/node/bdo26d84bd785435f92e3079b4a87a2b.html.