采用非對稱遲滯算子的工業機器人柔性關節遲滯特性建模

黨選舉，賀思穎

（桂林電子科技大學 電子工程與自動化學院，廣西 桂林541004）

1 引 言

工業機器人越來越廣泛地應用于工業生產領域，在智能制造過程中，產品質量以及生產效率對工業機器人精確控制的要求愈來愈高。開展對機器人關節所表現出的強非線性特性建模，實現補償控制，成為提高工業機器人控制精度的重要技術途徑。

含有諧波減速器的柔性關節，表現出的強非線性的復雜遲滯特性，是由諧波減速器本身特殊結構決定的。具有復雜特殊結構的諧波減速器由固定的內齒剛輪、柔輪和使柔輪發生徑向形變的波發生器組成，在諧波減速器運行的過程中，各個部件間的相互作用使得諧波減速器表現出復雜遲滯特性［1］。工業機器人柔性關節由于具有復雜結構的諧波減速器的存在表現出一種復雜的遲滯特性，這種非對稱、強非線性的復雜特性嚴重影響了對于柔性關節的控制精度，因此需要對柔性關節的遲滯特性進行建模，進而采用適合的基于模型的補償控制方法，提高其控制精度［2］。

遲滯特性為一種特殊的非線性特性，具有非光滑、多值對應的特點［3］。不同的對象，表現出不同類型的遲滯特性，針對不同類型的遲滯特性，已提出了多種遲滯模型，如基于現象的建模方法，從純數學角度描述遲滯輸入輸出關系的Pre?siach模型，PI模型，KP模型等［4］，其中PI模型結構簡單，易于求逆，且能夠用較少的參數表達遲滯特性，被廣泛應用于遲滯特性建模。然而，工業機器人柔性關節表現出的復雜非線性的特殊性在于其不對稱且非光滑，PI模型的結構決定了其只適用于對稱遲滯曲線的描述，當其用于復雜遲滯特性建模時，建模精度較低。近年來，提出了改進PI模型用于對象遲滯特性建模的方法，如采用變間隔閾值［5］、采用三段PI建模［6］等方法，但這些改進只是在傳統PI模型上拓寬，不能從根本上解決工業機器人柔性關節表現出的非對稱、非光滑且無絕對凹凸性的強非線性遲滯特性［7］。除此之外，將神經網絡引入遲滯特性建模也被更多人采用［8］，如引入BP神經網絡、RBF神經網絡最為常見，但此類方法是將非光滑遲滯特性作為一般非線性特性的建模方法，本質是對遲滯特性的一種近似描述。為了描述工業機器人柔性關節所表現出的非對稱、強非線性的特殊復雜遲滯特性，且保留PI模型優點，對PI模型結構進行改進，針對工業機器人柔性關節表現出的非對稱、強非線性的復雜遲滯特性，提出一種非對稱遲滯算子，借鑒RBF神經網絡結構，構建神經網絡遲滯模型，用于描述機器人柔性關節的特殊復雜遲滯特性。

2 基于PI模型結構的神經網絡遲滯模型

2.1 PI模型

傳統PI模型是由多個Play算子加權疊加，描述遲滯非線性。對稱性Play算子如圖1所示。

圖1 對稱性Play算子Fig.1 Symmetric PI operator

單個Play算子可以表示為：

其中：r為算子閾值，x(t)為t時刻的輸入信號，y(t)為t時刻的輸出信號，y(t-1)為t-1時刻算子的輸出值。初始值y(0)可以表示為：

PI遲滯模型由多個Play算子加權疊加構成，模型為：

其中：w=[w0，w1，…，wn-1]為n個Play算子權重系數構成的權值向量，H=[H0[x](t)，H1[x](t)，…，H n-1[x](t)]T為n個Play算子輸出構成的向量［9］。

PI模型的本質為Play算子的加權疊加，通過線性分段化的形式描述一般遲滯特性，其算子的數量決定了非線性化的程度，算子的數量越多，對遲滯特性的描述就越精確，針對非對稱、強非線性復雜遲滯特性表現出的非光滑特性，要使用PI模型進行精確地表達，所需要的Play算子數量會更大，模型結構更復雜［10］。

Play算子實質為具有對稱性的分段線性算子，通過加權疊加從而非線性化［11］，工業機器人柔性關節表現出的非對稱、強非線性的復雜非線性不同于一般的非線性，若將線性算子改進為非線性算子，通過加權疊加后非線性化程度能更高，能更精確地描述工業機器人柔性關節表現出的復雜遲滯特性。

2.2 基于PI模型結構的神經網絡遲滯建模

工業機器人柔性關節由于諧波減速器的存在具有復雜遲滯特性，不同于簡單的遲滯特性，表現出不對稱，并且正程與逆程的變化過程類似于Sigmoid函數的變化趨勢。直接采用適合于對稱遲滯曲線的PI模型，難以描述諧波減速器表現出的非對稱、非光滑、強非線性復雜遲滯特性。

PI模型的特性取決于線性遲滯算子Play算子，因此，對Play算子進行改進，將Play算子非線性化，用兩個變化后的非線性Sigmoid函數組合，替代原Play算子中的線性部分，構成一個新算子。改進的新算子如圖2所示。

圖2 改進的新算子Fig.2 Improved new operator

改進的新算子可以表示為：

其中：x(t)為t時刻的輸入信號，y(t-1)為t-1時刻的輸出信號，r1k，r2k為一個算子中的正逆程兩個大小不同的閾值。新算子滿足：

新遲滯模型為：

其中，y(t)為每一個新算子的輸出，借鑒RBF神經網絡結構，構建基于新算子的神經網絡遲滯模型結構。其中虛線部分構成如圖2所示的新算子。

圖3 新模型結構Fig.3 Structure of new model

2.3 神經網絡遲滯模型的參數學習

多個權值不同、閾值不同構成的非對稱遲滯算子可表示為：

新模型的構建在突破了PI模型原有結構的基礎上，保留了PI模型可直接求逆的特點，模型參數學習更新快；其所構造模型結構中采用不同的非線性函數激勵函數，可實現不同特殊需求的復雜遲滯特性高精度建模。

2.4 神經網絡遲滯建模

2.4.1 建模過程

以安川工業機器人GP7為實驗平臺，設定關節在兩個固定點間做往復運動，分別設置前進與回復的最大速度，即一個周期內存在兩個最大運行速度。采集含有諧波減速器的關節在運動過程中的輸入與輸出信息，即此關節中轉矩與角度的信息。工業機器人柔性關節表現出的復雜非線性特性包括了其動態特性［13］，即在不同的輸入信號下，表現出不同的特性，為了將不同狀態下的遲滯特性體現出來，采集不同速度下的關節信息。

在采集數據的過程中，分別采集了正程運動中 最 大 速 度 為0.825，1.1，1.375，1.65，1.925 rad·s-1，對應的逆程運動中最大速度為1.925，1.65，1.375，1.1，0.825 rad·s-1的五組數據信息，即分別設置前進與回復運動中的最大速度值，采集的數據用于建模與驗證。

2.4.2 神經網絡遲滯模型驗證

由于環境干擾會對建模產生影響，為了檢驗所建立的模型的抗干擾能力，進行模型驗證時，模擬環境情況，在實際采集的數據中疊加了隨機干擾信號，幅值取采樣值最大值的1%。

正程采用速度信號為0.825 rad·s-1、逆程信號為1.925 rad·s-1時的第一組實驗數據，其速度信號變化如圖4所示，分別對PI模型和神經網絡遲滯模型進行驗證，其預測結果如圖5所示，其中實線表示實際輸出，虛線表示神經網絡遲滯模型輸出，點劃線表示PI模型輸出。圖6為模型驗證誤差對比圖，其中虛線表示PI模型誤差，實線表示神經網絡遲滯模型誤差，PI模型的最大誤差為3.475°，神經網絡遲滯模型最大誤差為0.629°；PI模型的均方根誤差為1.269，神經網絡遲滯模型的均方根誤差為0.210。

圖4 正程最大速度0.825 rad·s-1；逆程最大速度1.925 rad·s-1Fig.4 Maximum forward velocity 0.825 rad·s-1；Maxi?mum reverse velocity 1.925 rad·s-1

圖5 第一組數據模型預測結果Fig.5 Prediction results for the first data set

圖6 第一組數據模型預測誤差Fig.6 Prediction errors for the first data set

采用正程速度信號為1.1 rad·s-1、逆程信號為1.65 rad·s-1時的第二組實驗數據，其速度信號變化如圖7所示，分別對PI模型和神經網絡遲滯模型進行驗證，其預測結果如圖8所示，其中實線表示實際輸出，虛線表示神經網絡遲滯模型輸出，點劃線表示PI模型輸出。圖9為模型驗證誤差對比圖，其中虛線表示PI模型誤差，實線表示神經網絡遲滯模型誤差，PI模型的最大誤差為3.877°，神經網絡遲滯模型最大誤差為0.401°；PI模型的均方根誤差為2.046，神經網絡遲滯模型的均方根誤差為0.173。

圖7 正程最大速度1.1 rad·s-1；逆程最大速度1.65 rad·s-1Fig.7 Maximum forward velocity 1.1 rad·s-1；Maximum reverse velocity 1.65 rad·s-1

圖8 第二組數據模型預測結果Fig.8 Prediction results for the second data set

圖9 第二組數據模型預測誤差Fig.9 Prediction errors for the second data set

采用正程速度信號為1.65 rad·s-1、逆程信號為1.1 rad·s-1時的第三組實驗數據，其速度信號變化如圖10所示，分別對PI模型和神經網絡遲滯模型進行驗證，其預測結果如圖11所示，其中實線表示實際輸出，虛線表示神經網絡遲滯模型輸出，點劃線表示PI模型輸出。圖12為模型驗證誤差對比圖，其中虛線表示PI模型誤差，實線表示神經網絡遲滯模型誤差，PI模型的最大誤差為2.415°，神經網絡遲滯模型最大誤差為0.374°；PI模型的均方根誤差為1.301，神經網絡遲滯模型的均方根誤差為0.187。

圖10 正程最大速度1.65 rad·s-1；逆程最大速度1.1 rad·s-1Fig.10 Maximum forward velocity 1.65 rad·s-1；Maxi?mum reverse velocity 1.1 rad·s-1

圖11 第三組數據模型預測結果Fig.11 Prediction results for the third data set

圖12 第三組數據模型預測誤差Fig.12 Prediction errors for the third data set

采用正程速度信號為1.925 rad·s-1、逆程信號為0.825 rad·s-1時的第四組實驗數據，其速度信號變化如圖13所示，分別對PI模型和神經網絡遲滯模型進行驗證，其預測結果如圖14所示，其中實線表示實際輸出，虛線表示神經網絡遲滯模型輸出，點劃線表示PI模型輸出。圖15為模型驗證誤差對比圖，其中虛線表示PI模型誤差，實線表示神經網絡遲滯模型誤差，PI模型的最大誤差為2.622°，神經網絡遲滯模型最大誤差為0.509°；PI模型的均方根誤差為1.337，神經網絡遲滯模型的均方根誤差為0.225。

圖13 正程最大速度1.925 rad·s-1；逆程最大速度0.825 rad·s-1Fig.13 Maximum forward velocity 1.925 rad·s-1；Maxi?mum reverse velocity 0.825 rad·s-1

圖14 第四組數據模型預測結果Fig.14 Prediction results for the fourth data set

圖15 第四組數據模型預測誤差Fig.15 Prediction errors for the fourth data set

以最大絕對誤差（emax）和均方根誤差（RMSE）兩個指標作為檢驗模型精度的標準［14］。在柔性關節不同的輸入信號下，對PI模型與神經網絡遲滯模型進行驗證，其預測誤差結果對比如表1所示：

表1 不同數據組下的模型驗證結果對比圖Tab.1 Comparison of verification results in different data sets

由表1可知，在不同的輸入信號下，神經網絡遲滯模型的最大絕對誤差與均方根誤差這兩項指標均優于PI模型，具體表現為最大絕對誤差減小為其五分之一，均方根誤差減小為其五分之一。因此神經網絡遲滯模型的建模精度更高，并相較于PI模型有更好的泛化能力。

2.4.3 模型的抗干擾能力分析

由于工業機器人在實際工作中，在環境作用下會存在一定的干擾，因此，在對模型進行驗證時，為模擬環境情況，人為對實驗數據疊加了幅值為采樣值最大值1%的隨機干擾，隨機干擾的取值范圍在-0.277°～0.104°之間。在模擬干擾的情況下對模型進行驗證，在第一組、第二組、第三組、第四組數據下，神經網絡遲滯模型的最大誤差分別為0.629°，0.401°，0.374°，0.509°，PI模型 的 最 大 誤 差 分 別 為3.475°，3.877°，2.415°，2.622°，神經網絡遲滯模型相較于PI模型能將最大誤差減小5倍。實驗結果證明，在數據存在隨機干擾的情況下，盡管在局部區域神經網絡遲滯模型的預測精度相較于整體有待提高，但與PI模型對比，神經網絡遲滯模型表現出了更好的預測效果，且有更強的適應能力和一定的抗干擾能力。模擬環境影響，在人為增加干擾的情況下，神經網絡遲滯模型依然具有較好的預測能力，說明所構建遲滯模型具有較強的魯棒性。

3 結 論

基于所設計的非對稱非線性遲滯算子，在PI遲滯模型的結構基礎上，構建一種神經網絡遲滯模型，用于柔性關節所表現出的非對稱、強非線性的特殊復雜遲滯特性。在柔性關節不同的輸入條件下，對遲滯模型進行驗證，實驗結果表明神經網絡遲滯模型能將最大誤差控制在1°以內，將均方根誤差降低到0.3以內，相較于PI模型，最大誤差減小為其五分之一，均方根誤差減小為其五分之一。該建模方法，可推廣到具有遲滯特性的RV減速器構成的工業機器人關節的建模中。