后置分光瞳激光差動共焦曲率半徑測量

李彥宏，楊 帥，唐 順，趙維謙，邱麗榮

（北京理工大學 光電學院 精密光電測試儀器及技術北京市重點實驗室，北京100081）

1 引 言

在光學測量領域，球面光學元件作為光刻機、慣性約束核聚變裝置等大型光學系統中應用十分廣泛的光學器件，其曲率半徑的檢測精度會決定元件本身是否合格以及系統整體性能的優劣。隨著技術的不斷發展，球面光學元件曲率半徑的檢測除了保證較高的精度（10-5量級）之外，還必須簡便、高效、低成本，因此以較低的成本實現球面光學元件曲率半徑的高精度檢測具有重要意義。

曲率半徑測量方法分為接觸式和非接觸式兩大類。接觸式測量方法包括球徑儀法［1-2］、三坐標法［3］和輪廓儀法［4-5］等，這些方法的精度相對較低、測量速度較慢，而且會對元件表面造成損傷，導致元件廢品率上升。非接觸式測量方法可分為干涉法和非干涉法。非干涉法由于受衍射極限的制約，測量精度僅能達到10-4，如刀口法和自準直儀法等［6］。相比之下，干涉法具有更高的測量精度，是目前應用最廣泛的方法。隨著研究的深入，基于牛頓干涉法［7］、F-P干涉法［8-9］、泰伯-莫爾條紋干涉法［10］以及菲索干涉法［11-12］的曲率半徑測量方法被提出。

目前，最為常用且成熟的曲率半徑測量儀器是ZYGO公司的菲索干涉儀，它利用機械移相分別對被測球面的貓眼位置和共焦位置進行定焦，進而得到待測曲率半徑。共焦法［13］基于菲索干涉光路，其測量的相對標準差為2×10-5，然而衍射極限限制了共焦法的測量精度。本課題組于2010年提出了非干涉的激光差動共焦曲率半徑測量方法［14］，該方法基于差動共焦法研究出針對凹、凸曲率半徑［15-16］以及特殊光學元件［17-19］的測量方法。然而，傳統差動共焦法使用兩路離焦量大小相等、方向相反的針孔和探測器，同時兩個探測器的響應特性必須保持一致，測量誤差較大，既增加了系統的造價成本，也增加了系統裝調、校準的難度和時間。

本文提出后置分光瞳激光差動共焦曲率半徑測量方法（Detecting Divided Aperture Laser Differential Confocal Radius Measurement，DDALDCRM），借助D型光闌將軸向雙路離焦探測轉化為焦平面上的單路離軸探測，通過算法實現虛擬針孔位置的選取，實現元件曲率半徑的差動測量。與傳統差動共焦法相比，該方法在保證測量精度的前提下減少一路探測系統，大大簡化了光路結構，同時避免了復雜且耗時的系統裝調過程，降低了系統成本。

2 測量原理

后置分光瞳差動共焦測量原理如圖1所示。點光源S出射的光經過分光鏡PBS和λ/4波片后被準直鏡Lc準直為平行光，平行光束入射匯聚鏡Ls后形成會聚的測量光束，當測量光束聚焦在被測透鏡的貓眼位置和共焦位置時，其反射光束依次經過匯聚鏡、準直鏡和λ/4波片后被分光鏡反射，形成探測光束。探測光束被D型光闌（D-type Aperture，DA）遮擋一半，透過的一半測量光束會聚在顯微物鏡（Microscope Objective，MO）的物平面上，并被顯微物鏡以放大率β放大成像在CCD探測面上。在探測器平面上設置兩個圓形探測區域vph1和vph2，對稱地設置在坐標原點的兩側，探測到焦前、焦后位置的軸向光強響應并進行差動處理。差動共焦響應曲線的零點精確對應被測球面元件的貓眼位置和共焦位置，利用激光干涉儀精確測得被測鏡表面貓眼點和共焦點的軸向坐標ZA和ZB，這二者的間距d=zA-zB即為曲率半徑R。

圖1 后置分光瞳曲率半徑測量原理Fig.1 Detecting divided aperture laser differential confo?cal radius measuring principle

在CCD探測平面上設置兩個關于光軸對稱的圓形區域vph1，vph2，其差動光強響應函數為：

其中：u為歸一化軸向坐標，v為歸一化極徑坐標，ρ0為歸一化光瞳半徑，D/fS′為匯聚鏡Ls的相對孔徑，fC′為準直鏡Lc焦距，積分區域為半圓。

離軸探測原理為：光斑在焦平面上橫向離軸，即焦前和焦后的探測位置與焦點探測位置不重合，如圖2所示，顯微物鏡將D型光闌遮擋的一半測量光束放大成像于焦平面的探測CCD上，當被測鏡在貓眼點或共焦點附近進行軸向掃描時，即歸一化軸向坐標u從-2到2變化時，虛擬針孔vph1首先探測到焦前位置的光強信號，隨后vph2探測到焦后位置的光強信號，便可使用一路探測光路實現對焦前、焦后位置的探測。將虛擬針孔vph1和vph2的軸向響應信號相減可以得到差動共焦曲線，利用曲線零點附近存在的線性區域進行直線擬合，計算得到絕對零點的位置坐標，實現高精度、高靈敏差動共焦定焦。

圖2 D型光闌離軸差動探測原理Fig.2 Principle for off-axis differential detection using Dtype aperture

與傳統差動共焦曲率半徑測量方法相比，本方法采用位于焦平面的CCD探測，通過軟件設置虛擬針孔實現對焦前、焦后位置的光強探測，可通過算法計算出CCD像面的像素位置坐標，使得虛擬針孔位置選取更加方便快捷，而且避免了物理針孔尺寸對定焦靈敏度的影響；利用D型光闌將軸向離焦探測轉換為橫向離軸探測，簡化了測量光路，進一步降低了差動共焦曲率半徑測量的裝調難度和成本。

3 虛擬針孔定位算法

利用算法實現CCD虛擬針孔檢測，對序列光斑圖像計算質心坐標并擬合質心運動軌跡直線，然后確定虛擬針孔的對稱中心以及離軸量大小和偏轉角度，即可實現虛擬針孔vph1和vph2的定位，虛擬針孔定位算法流程和定位示意圖如圖3所示。

圖3 虛擬針孔定位算法Fig.3 Virtual pinhole location algorithm

3.1 光斑質心計算

外界環境存在的雜散光被采集CCD所接收，采集光斑圖像存在較多噪聲，會影響光斑的質心計算，降低圖像的信噪比。因此在計算質心坐標之前，對序列光斑圖像進行預處理，得到信噪比較好的光斑圖像。然后進行二值化處理，由于圖像只有中間有光斑的部分的灰度值較大，四周的灰度值很低，可采用最大類間方差法（Otsu）實現對全局光斑圖像的二值化處理。其主要思想為設置閾值將圖像分割為目標部分和背景部分，當兩部分的類間方差最大時，目標和背景的差別最大，二值化效果最好，由此計算出最佳閾值，得到光斑邊緣輪廓。最后，利用重心法求得每幅光斑圖像的質心坐標（ik，jk），其計算公式為：

其中m，n分別為光斑圖像橫向和縱向的像素點數目。

3.2 質心運動軌跡擬合

在得到序列光斑的質心坐標之后，可以發現光斑的質心是沿某一方向運動，其運動方向與D型光闌的弦邊垂直，即擬合的光斑質心坐標運動軌跡與D型光闌弦邊的中垂線重合。考慮到實際應用時無法準確測得D型光闌的擺放角度，因此需要對采集到的光斑圖像的質心運動軌跡進行擬合，間接求出質心的運動方向。利用最小二乘法對序列圖像的質心坐標(ik，jk)的運動軌跡進行線性擬合，序列質心的橫坐標記為I=(i1，i2，…，ik)T，縱坐標記為J=(j1，j2，…，jk)T，假設回歸方程的矩陣表達式為：

即L=AI，其中A=(a0，a1)T，則觀測值J與擬合值L的偏差ε為：

最終求得序列光斑質心的運動軌跡直線TL。

3.3 確定對稱中心和離軸量

理想虛擬針孔的對稱中心應當是其焦點位置，在實際測量時并不知道焦點位置位于CCD像面的何處，因此將質心坐標灰度值g0(io，jo)最大時可近似看作其焦點位置，該質心坐標(io，jo)設為虛擬探針的對稱中心。

對軸向響應曲線Idiff（u）求偏導得到差動共焦離軸量。當離軸量不斷增加時，差動共焦曲線的定焦靈敏度隨離軸量的變化曲線如圖4所示，可以看出差動共焦曲線零點位置的歸一化定焦靈敏度S（vM）在vM=4.2時最大，Smax(4.2)=0.517，此時差動共焦曲線具有最高的定焦靈敏度。此外，離軸量的大小與顯微物鏡的放大倍數和CCD的像元尺寸有關，虛擬針孔在CCD探測面上的最佳離軸量為：

圖4 定焦靈敏度隨v M的變化Fig.4 Fixed focus sensitivity changes with v M

其中：fC′為匯聚鏡Lc的焦距，D為匯聚鏡Lc的通光口徑，β為顯微物鏡的放大倍數，p為CCD的像元尺寸。

運動軌跡擬合直線TL與水平方向的夾角即為虛擬針孔的離軸量偏轉角，即有：

后置分光瞳差動共焦法主要通過程序設置對稱中心、離焦量和偏轉角這3個參數，由此可共同確定CCD探測面上虛擬針孔位置，進而實現單路離軸的差動共焦定焦測量。

3.4 虛擬針孔尺寸確定

假設探測器針孔的歸一化半徑為rp，實際點探測器得到的圓域內的光強響應可以看作是光強響應函數在以rp為半徑的圓域的積分，則探測器探測到的平均光強響應信號為：

隨著積分區域的變化，得到的平均光強也會有所不同。圖5為定焦靈敏度S（vM）隨歸一化針孔半徑rp的變化曲線。隨著針孔半徑的增大，定焦靈敏度下降。

圖5 定焦靈敏度隨針孔尺寸的變化Fig.5 Variation of fixed focus sensitivity with pinhole′s radius

因此虛擬針孔的尺寸半徑rvph也應很小，一方面需保證可采集到足夠強的光強信號，另一方面以該區域的平均光強來描述虛擬針孔中心的光強信號，保證光強信號的準確性。選取以定位好的虛擬針孔的中心坐標為圓心，以rvph為半徑的圓形區域，計算該圓形區域內的平均灰度值作為虛擬針孔的探測光強響應。在CCD探測面上的半徑rvph與顯微物鏡的放大倍數β和CCD的像元尺寸p有關，此時的虛擬針孔半徑rvph為：

綜合考慮，在保證零點的定焦靈敏度S（vM）不低于0.5時，虛擬針孔的尺寸半徑越小越好。一般情況下，CCD探測面上的虛擬針孔半徑rvph為3個像素為宜，此時對應的物理針孔半徑rp約為1μm，既能使探測區域有足夠的光強，也能使針孔尺寸足夠小，保證了差動共焦的高定焦靈敏度。

4 測量實驗與結果

為了驗證本文方法的正確性及可行性，搭建后置分光瞳差動共焦測量儀器如圖6所示。測量儀器主要由測量主機、直線導軌、五維調整架和測長干涉儀4部分組成。測量主機的光軸、氣浮導軌運動軸以及測長干涉儀光軸嚴格同軸，將被測鏡裝卡與五維自動工作臺上，通過氣浮導軌在貓眼位置和共焦位置移動，測長干涉儀實時監測工作臺的運動位置，整個實驗裝置放置于隔振平臺上，隔絕環境振動對測量的干擾。實驗在室溫為（20.0±0.5）℃、濕度為42%±4%的環境下進行，被測件選用ZYGO F1.5的標準物鏡，其外表面的曲率半徑為-121.21 mm。

圖6 后置分光瞳差動共焦曲率半徑測量儀器Fig.6 Detecting divided aperture laser differential confo?cal radius measurement instrument

4.1 單點定焦及曲率半徑重復性實驗

首先對貓眼位置進行單點定焦實驗，對測得的貓眼點的光斑圖像進行虛擬針孔定位。選取CCD像面上坐標為（276，232）作為中心點，虛擬針孔vph1，vph2的中心坐標為（285，205）和（267，259），得到虛擬針孔vph1，vph2的光強響應曲線并進行差動相減處理，其虛擬針孔vph1，vph2以及差動共焦光強響應曲線如圖7所示。利用貓眼位置差動曲線零點附近的約9.5μm（-0.001 7 mm，0.007 8 mm）的線性測量范圍進行直線擬合，得到：

計算得到零點的位置坐標為0.003 0 mm，虛擬針孔vph1，vph2探測響應曲線的半高寬（Full Width Half Maximum，FWHM）約為15μm。與差動共焦法相比，此時的定焦靈敏度已達最高且無需額外調整硬件。

然后進行曲率半徑的重復性測量實驗。將被測鏡移動到貓眼位置，測量此時的絕對位置zA，再次移動到共焦位置，測量此時的絕對位置zB，則曲率半徑R=zA-zB，其中一次測量的貓眼和共焦位置的差動共焦曲線圖7所示。

圖7 貓眼點和共焦點的差動共焦曲線Fig.7 Differential confocal curves of cat′s eye point and confocal points

將后置分光瞳差動共焦的測量結果與差動共焦法的測量結果進行對比，兩種方法重復測量10次的結果如表1所示。后置分光瞳差動共焦法的曲率半徑測量結果的平均值為-121.209 4 mm，標準差為0.53μm；差動共焦法的曲率半徑測量結果的平均值為-121.209 7 mm，標準差為0.39 μm，二者的測量結果相差0.3μm。

表1 曲率半徑重復測量結果對比Tab.1 Comparison of repeated measurement results of radius of curvature

4.2 不確定度分析

與傳統的差動共焦法相比，本方法采用一路探測光路實現差動共焦測量，避免了傳統差動共焦由于兩個探測器的離焦量不一致引入的測量不確定度。此外，除了激光干涉儀測長誤差、測長激光光軸與系統光軸不同軸、面形誤差、運動誤差以及重復測量誤差會引入不確定度，由于在探測光路中加入D型光闌，光闌偏心也會影響其定焦結果。

4.2.1 光闌偏心引入的不確定度

光闌偏心影響定焦靈敏度，由此帶來了定焦誤差，引入的不確定度為：

其中：SNR是數字顯微鏡探測器的信噪比，S′（u）為某一偏心量下的定焦靈敏度補償值。此外根據公式還可以看出標準匯聚透鏡Ls的相對口徑D/fS′同樣引入不確定度，物鏡的相對口徑越大，定焦精度越高，因此在測量過程中應選取相對口徑合適的標準物鏡來保證定焦精度。

4.2.2 測長誤差引入的不確定度

進行位置監測的測長干涉儀采用了測量不確 定 度 高 達 ±0.5×10-6(k=2)的REN?ISHAW XL-80雙頻激光干涉儀，測長誤差引入的不確定度為：

4.2.3 光軸不重合引入的不確定度

實際測量時，系統光軸和測長干涉儀測量軸線之間存在一定夾角γ，由此帶來曲率半徑測量誤差。在CCD輔助下，γ角的調整精度可達4′，其不確定度為：

4.2.4 面形誤差引入的不確定度

測量貓眼位置時激光匯聚于被測鏡表面一微小區域，該區域與最佳參考球面不重合，會引入波長量級的誤差，可用標準參考鏡面形PV值測量來補償誤差，補償后對被測鏡曲率半徑測量的不確定度為：

4.2.5 運動誤差引入的不確定度

在實際測量時，由于導軌的直線度偏差，被測件在沿運動軸運動過程中相對測量軸發生徑向平移，系統采用高精度氣浮導軌，行程為1.5 m，運動徑向平移精度可達3μm，徑向平移誤差引入的不確定度為：

4.2.6 重復測量引入的不確定度

環境振動、氣流、溫度等因素也會造成測量誤差，重復測量誤差帶來的不確定度為：

4.2.7 合成不確定度

上述不確定度分量相互獨立，最終合成的不確定度為：

該標準球曲率半徑測量結果的相對擴展不確定度為：

5 結 論

本文提出了DDA-LDCRM方法，闡述了基于虛擬針孔技術的后置分光瞳差動共焦定焦原理，研究出虛擬針孔定位算法實現單路離軸探測，然后構建DDA-LDCRM儀器，對儀器性能進行了實驗驗證。實驗結果表明：10次測量曲率半徑的平均值為-121.209 4 mm，重復性優于5×10-6。在滿足曲率半徑高精度測量需求之外，該方法舍去雙路離焦探測裝置，改為單路焦面探測，而且虛擬針孔的位置可以根據算法輕松調整，避免了傳統物理針孔調整困難的缺點，極大地降低了系統裝調的難度和成本，為高精度曲率半徑測量提供了一條簡便易行且成本低廉的途徑。