審辨差異 異中求同

文／王偉春

在實(shí)際的解題過(guò)程中，許多同學(xué)因?yàn)榉植磺濉坝蟹呕氐厝　薄安环呕氐厝　薄耙黄鹑　比N模型的區(qū)別而導(dǎo)致失分。下面，老師將通過(guò)三個(gè)例題的講解來(lái)區(qū)分三種模型，從而幫助同學(xué)們找出規(guī)律，解決概率中的難點(diǎn)。

模型一：有放回地連續(xù)取兩次

例1 （2021·江蘇南通）一個(gè)不透明的口袋中有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3，4。

（1）隨機(jī)摸取一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是奇數(shù)，該事件的概率為_(kāi)_______；

（2）隨機(jī)摸取一個(gè)小球后放回，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球。求兩次取出小球標(biāo)號(hào)的和等于5的概率。

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與兩次取出的小球和是5的結(jié)果，再利用概率公式求解。

（2）列表格如下：

第一個(gè)和第二個(gè)_____1 2__________________3__________________4 1 2_____3 4_____5_____2 3_____4 5_____6_____3 4_____5 6_____7_____4 5__6__7___8___

由表格可知，共有16 種等可能的結(jié)果，兩次取出小球標(biāo)號(hào)的和等于5的結(jié)果有4種，

模型二：不放回地連續(xù)取兩次

例2 （2021·江蘇常州）在3張相同的小紙條上，分別寫(xiě)上條件：①四邊形ABCD是菱形；②四邊形ABCD有一個(gè)內(nèi)角是直角；③四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相等。將這3張小紙條做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中。

（1）攪勻后從中任意抽出1 支簽，抽到條件①的概率是________；

（2）攪勻后先從中任意抽出1 支簽（不放回），再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽。四邊形ABCD同時(shí)滿(mǎn)足抽到的2 張小紙條上的條件，求四邊形ABCD一定是正方形的概率。

【分析】（1）因?yàn)? 支簽被抽到是等可能的，所以可以直接利用概率公式求解；（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果為6 種，再根據(jù)題目要求利用概率公式求解即可。

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知，共有6 種等可能的結(jié)果，四邊形ABCD一定是正方形的結(jié)果有4種，

模型三：一次取兩個(gè)

例3 （2021·江蘇鹽城）圓周率π 是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。歷史上，祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對(duì)π有過(guò)深入的研究。目前，超級(jí)計(jì)算機(jī)已計(jì)算出π 的小數(shù)部分超過(guò)31.4萬(wàn)億位。有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9 這10 個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，接近相同。

（1）從π 的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)字，估計(jì)數(shù)字是6的概率為_(kāi)_______；

（2）某校進(jìn)行校園文化建設(shè)，擬從以上4位科學(xué)家的畫(huà)像中隨機(jī)選用2 幅，求其中有一幅是祖沖之的概率。（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表方法求解。）

【分析】（1）根據(jù)“隨著π 小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9 這10 個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，接近相同”即可判斷結(jié)果；（2）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與其中有一幅是祖沖之的情況，再利用概率公式求解即可。

（2）將祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉四位數(shù)學(xué)家分別記作甲、乙、丙、丁，列表格如下：

第一幅結(jié)果甲乙丙丁第二幅_______________________________________甲______________乙______________丙______________丁乙，甲甲，乙________甲，丙_甲，丁_丙，甲丙，乙_乙，丙________乙，丁_丁，甲丁，乙丁，丙丙，丁_______

由表格可知，共有12 種等可能的結(jié)果，其中有一幅是祖沖之的有6種結(jié)果，