巧選列舉法 準(zhǔn)確求概率

文／施長燕

遇到概率問題怎么解決？那就需要我們先看單位事件是否等概率發(fā)生，如果是，再接著看事件是有限個(gè)，還是無限個(gè)，若是有限個(gè)就按照古典概型解決，若是無限個(gè)就按照幾何概型解決。下面老師將結(jié)合中考題分析如何選用合適的列舉法求解概率問題。

一、古典概型——簡單概率用直接列舉法

當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，通常采用直接列舉法。

變式 （2020·浙江紹興）如圖1，小球從A入口往下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等，則小球從E出口落出的概率是（ ）。

圖1

【分析】根據(jù)“在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等”，可知小球到B、C、D處時(shí)向左還是向右都是等可能的，從而得到在四個(gè)出口E、F、G、H也都是等可能的，然后根據(jù)概率的意義列式即可得解。

解：由圖可知，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等，小球最終落出的點(diǎn)共有E、F、G、H四個(gè)，

二、古典概型——用列表法或畫樹狀圖法求概率

當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，通常采用列表法；當(dāng)一次試驗(yàn)涉及三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，通常采用畫樹狀圖法。

例2 （2021·吉林）第一個(gè)盒中有1個(gè)白球、1 個(gè)黑球，第二個(gè)盒中有1 個(gè)白球、2 個(gè)黑球。這些球除顏色外無其他差別，分別從每個(gè)盒中隨機(jī)取出1個(gè)球，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的2 個(gè)球都是白球的概率。

【分析】用列表法表示出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而得出兩次都是白球的概率。

解：用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

第1盒結(jié)果白黑第2盒白___________________黑1___________________黑2（白，白）（白，黑1）（白，黑2）（白，黑）（黑，黑1）（黑，黑2）

共有6 種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩球都是白球的結(jié)果有1種，

變式 （2019·江蘇連云港）現(xiàn)有A、B、C三個(gè)不透明的盒子，A盒中裝有紅球、黃球、藍(lán)球各1 個(gè)，B盒中裝有紅球、黃球各1 個(gè)，C盒中裝有紅球、藍(lán)球各1個(gè)，這些球除顏色外其他都相同。現(xiàn)分別從A、B、C三個(gè)盒子中任意摸出一個(gè)球。

（1）從A盒中摸出紅球的概率為____；

（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率。

【分析】（1）從A盒中摸出紅球的結(jié)果有一個(gè)，由概率公式即可得出結(jié)果；

（2）畫樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果，摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的結(jié)果有10 種，由概率公式即可得出結(jié)果。

（2）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，摸出的三個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的結(jié)果有10種，

三、幾何概型——用面積比求概率

解這類題除了要掌握概率的計(jì)算方法，還應(yīng)熟練掌握幾何圖形的面積計(jì)算。

例3 （2021·湖北隨州）如圖2，從一個(gè)大正方形中截去面積為3cm2和12cm2的兩個(gè)小正方形，若隨機(jī)向大正方形內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（ ）。

圖2

【分析】求出陰影部分的面積與大正方形的面積的比值即可判斷。

變式 （2019·遼寧本溪）如圖3 所示的點(diǎn)陣中，相鄰的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方形，小球只在點(diǎn)陣中的小正方形ABCD內(nèi)自由滾動時(shí)，則小球停留在陰影區(qū)域的概率為 。

圖3

【分析】首先建立如圖4的平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)記字母如圖所示，設(shè)相鄰兩點(diǎn)的距離為1 個(gè)單位長度，可求出直線OE的表達(dá)式，以及點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而求出AM和AN的長度，然后根據(jù)面積計(jì)算公式求出陰影部分的面積，最后求出答案。

圖4