緊扣本質(zhì) 巧算方差

文／張偉俊

方差是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，它是一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)。一組數(shù)據(jù)的方差越大，它的離散程度就越大（波動(dòng)越大）；一組數(shù)據(jù)的方差越小，它的離散程度就越小（波動(dòng)越小）。但是，在應(yīng)用方差公式解決問(wèn)題的時(shí)候，有些同學(xué)總是覺(jué)得這個(gè)公式記憶起來(lái)、計(jì)算起來(lái)都很難，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，我們有必要進(jìn)一步來(lái)理解方差概念的本質(zhì)，探索方差計(jì)算的簡(jiǎn)便方法，從而提高解決問(wèn)題的正確率。

一、理解公式，靈活應(yīng)用

上述兩種計(jì)算方差的公式在實(shí)際操作中各有各的優(yōu)勢(shì)。“先平方再作差”，雖然操作簡(jiǎn)潔，但參與運(yùn)算的數(shù)值往往較大；“先作差再平方”，雖然操作繁瑣，但相對(duì)來(lái)說(shuō)參與運(yùn)算的數(shù)值會(huì)小一些。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以視情況靈活應(yīng)用這兩種公式來(lái)計(jì)算方差。

例1 計(jì)算數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差。

比較上述兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)：一般情況下，計(jì)算方差還是運(yùn)用方法1 比較簡(jiǎn)便，而當(dāng)計(jì)算各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方比較麻煩，且直接計(jì)算各個(gè)數(shù)據(jù)的平方比較簡(jiǎn)單時(shí)，運(yùn)用方法2比較簡(jiǎn)便。

二、數(shù)形結(jié)合，直觀判斷

數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對(duì)象，它們各有特點(diǎn)，也各有各的優(yōu)勢(shì)。在解決問(wèn)題的時(shí)候，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法，或以數(shù)輔形，或以形助數(shù)，優(yōu)化解決問(wèn)題的思路和方法。比較幾組數(shù)據(jù)的離散程度，就是比較這幾組數(shù)據(jù)方差的大小，這可以通過(guò)計(jì)算方差來(lái)比較，但有時(shí)候也可以從形的角度來(lái)判斷。

例2 （2020·遼寧盤(pán)錦）在市運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊比賽選拔賽中，某校射擊隊(duì)甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員的10 次射擊成績(jī)?nèi)鐖D所示。他們的平均成績(jī)均是9.0 環(huán)，若選一名射擊成績(jī)穩(wěn)定的隊(duì)員參加比賽，最合適的人選是 。

【解析】四名隊(duì)員的平均射擊成績(jī)相同，要從中選擇一名射擊成績(jī)穩(wěn)定的隊(duì)員參加比賽，就是要選出射擊成績(jī)方差最小的隊(duì)員參加比賽。

方法2：從本質(zhì)上講，方差反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度。從四名隊(duì)員射擊成績(jī)的“散點(diǎn)圖”可以直觀地看出他們的射擊成績(jī)都在平均成績(jī)9.0 環(huán)附近波動(dòng)，乙、丙的波動(dòng)幅度明顯大于甲、丁的波動(dòng)幅度。同時(shí)，甲、丁的前八次射擊成績(jī)都是4 個(gè)9.1 環(huán)和4 個(gè)8.9 環(huán)，而最后兩次成績(jī)甲是9.1 環(huán)和8.9 環(huán)，丁是兩個(gè)9.0 環(huán)，因此，丁的波動(dòng)幅度小于甲的波動(dòng)幅度，即丁的成績(jī)波動(dòng)最小（最穩(wěn)定），故選丁參加比賽。

比較以上兩種方法，可以看出：方法1是從“數(shù)”的角度，通過(guò)計(jì)算作出準(zhǔn)確判斷，但是過(guò)程顯得繁瑣；方法2是從“形”的角度進(jìn)行比較，顯得直觀、簡(jiǎn)潔。但是，我們要明白，當(dāng)數(shù)據(jù)排列復(fù)雜時(shí)，從“形”的角度往往很難作出準(zhǔn)確判斷，所以從“形”的角度進(jìn)行比較是有局限性的。因此，我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中，還是要具體情況具體分析，數(shù)形結(jié)合，選擇適切的方法。

三、把握規(guī)律，化繁為簡(jiǎn)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，同學(xué)們常常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些重要的結(jié)論或規(guī)律，并運(yùn)用這些結(jié)論或規(guī)律解決問(wèn)題。因此，從某種程度上講，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、把握規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律的過(guò)程。在方差的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你有哪些發(fā)現(xiàn)呢？

例3 （2019·浙江杭州）稱(chēng)量五筐水果的質(zhì)量，若每筐以50 千克為基準(zhǔn)，超過(guò)基準(zhǔn)部分的千克數(shù)記為正數(shù)，不足基準(zhǔn)部分的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，甲組為實(shí)際稱(chēng)量讀數(shù)，乙組為記錄數(shù)據(jù)，并把所得數(shù)據(jù)整理成如下統(tǒng)計(jì)表（單位：千克）。

實(shí)際稱(chēng)量讀數(shù)和記錄數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

通過(guò)以上探究，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要結(jié)論：如果數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)和方差分別為-x、s2，那么數(shù)據(jù)x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a的平均數(shù)和方差分別為-x+a、s2。其實(shí)道理很簡(jiǎn)單，每個(gè)數(shù)據(jù)都增加了a，平均數(shù)當(dāng)然也增加了a；每個(gè)數(shù)據(jù)都增加了a，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度沒(méi)有變化，所以方差保持不變。運(yùn)用這個(gè)結(jié)論，我們就可以簡(jiǎn)化一些數(shù)值較大的求平均數(shù)和方差的問(wèn)題。比如：求數(shù)據(jù)1001，1002，1003，1004，1005 的平均數(shù)和方差，就可以先求數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的平均數(shù)和方差。

除此以外，平均數(shù)和方差還有一些重要的性質(zhì)（如下表）值得我們?nèi)ヌ骄浚?qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手去推導(dǎo)一下吧。

___________________________________序號(hào)_______x1，x2，x3，…，xn x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a_____kx1，kx2，kx3，____________…，kxn kx1+a，kx2+a，kx3+a，…，kxn+a__平均數(shù)_-x_____-x+a k-x____k-x+a___方差s2 s2 k2s2__k2s2