基于邊界打靶法的橫向流作用下懸臂梁靜態模態函數求解

王小文 周益嫻

摘? 要：該文以橫向流作用下的單根懸臂梁結構為對象，研究其靜態偏折模態形狀函數，為后續反應堆內設備一階梁式振型下附加質量的求解打下基礎。首先，采用大撓度非線性方程組進行建模;其次，采用一種邊界打靶法來進行上述非線性微分控制方程求解，得到懸臂梁的偏折曲線的數值解，并將數值計算結果和存在解析解的情況下的解析結果進行對比。

關鍵詞：筒倉卸載懸臂梁? ?靜態偏折模態形狀函數? ?邊界打靶法? ?梁式振型函數

中圖分類號：TU311? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2021）08（b）-0004-04

Solution of Static Deflection Mode Shape Function of Cantilever Beam under Transverse Flow Based on Boundary Shooting Method

WANG Xiaowen? ?ZHOU Yixian*

（Beijing Key Laboratory of Passive Nuclear Safety Technology， North China Electric Power University， Beijing， 102206 China）

Abstract： In this paper， it studies the cantilever beam structure under the action of transverse flow， and focus on the derivation of its static cantilever deflection mode shape function， in order to lay foundation for the calculation of hydrodynamic added mass for the beam mode vibration of nuclear reactor internal cantilever components. Firstly， a set of nonlinear differential equations for the analysis of the single cantilever beam has been proposed. Secondly， to solve the nonlinear differential equations， we used a boundary shooting framework. The results of the numerical simulation agree well with the analytical solution.

Key Words： Cantilever beam; Static deflection mode shape; Boundary shooting method; Beam mode function

反應性事故發生后，堆內構件在流體中的振動在反應堆安全問題中至關重要。堆內構件和高能流的接觸引發設備的振動，進而使得? ?浸沒于流動流體中的設備，如設備支承筒、燃料棒或熱交換器管等發生疲勞，導致破損。隨著反應堆規模的擴大，堆內構件更易彎曲，堆內冷卻劑流量增加，流致振動問題愈發嚴重。流致振動問題從1950年便開始進行研究，但由于該問題涉及流固耦合和非線性科學，因此理論研究難度很大。目前，研究對象大多為不同堆型的燃料組件，其邊界條件一般為兩端固定，而對設備支承筒等懸臂結構研究較少。且主要為實驗和模擬研究，理論研究工作較少。實驗和模擬方法主要針對特定的工程工況，所得結果精確，但耗時較長。工程實踐中前期設計階段往往需要理論推導結果加以指導。

1? 理論分析

根據核電站內構件的工程特點，部分結構可簡化為橫向流作用下懸臂梁結構振動問題[1-2]，由于高徑比較大，其一階梁式振型較易被激勵，有必要對一階梁式振型模態進行單獨研究，且堆內設備一階梁式振型下的附加質量和頻率的求解需要知道其靜態偏折模態形狀函數，堆內構件一般可簡化為具有一定剛度和彈性的梁[3-5]。因此，該文將以單根懸臂彈性梁結構為研究對象，求解其偏折模態形狀函數。

考慮底端固定的懸臂梁，其他位置無任何支撐，并且有分布載荷作用于其上，懸臂梁的截面幾何形狀影響其剛度和彎曲機理[6-7]，我們假設其橫截面在垂直方向上不發生變化，最大彎矩和剪切應力應該位于懸臂梁的底部。假設只有一根懸臂梁完全暴露在水流中，而周圍沒有其他懸臂梁來改變垂直速度分布，懸臂梁受水流的拉力大小為：

式中，FD為流體對懸臂梁浸沒部分的拉力，CD為拉力系數，ρ為水的密度，u（z）為垂直方向的速度分布，A為物體浸入部分垂直于水流平面的投影面積。根據歐拉伯努利方程，該懸臂梁彎曲的微分控制方程如下：

（2）

（3）

（4）

式中，;;;。θ為偏折角度，s表示沿曲線的距離，M表示一個截面所受彎曲力矩，I表示慣性矩，E表示彈性模量，V表示作用在梁截面上的剪切應力，w（z）表示水流對梁產生的分布載荷，x和z分別表示梁任意截面與其底部的水平距離和垂直距離。

公式（2）至公式（4） 控制懸臂梁彎折的角度，由于懸臂梁底端固定，因此有：

sinθ（z*=0）=0（5）

根據工程特點，考慮懸臂梁頂端不浸沒于水中的情況，因此露出水面位置懸臂梁所受彎矩和剪力為0，得到邊界條件：

M*（z*=1）=0（6）

V*（z*=1）=0（7）

2? 方法介紹

為了更好地利用邊界打靶法去求解上述的微分方程，我們引入了3個變量x1，x2，x3：

（8）

式（2）至式（4）改寫為：

（9）

3個邊界條件為：

（10）

邊界打靶法是利用初值條件去代替已知邊界條件進行求解，通過不斷改變初始值讓其逐漸逼近給定的邊界條件，因此調整邊界的公式選取十分重要，我們設定了兩個不斷調整初始條件的關系式公式（11）和公式（12）：

（11）

（12）

其中b2和b3分別代表代表頂端z*=1處x2和x3的邊界條件，α代表打靶系數，其值小于1，該值的選取取決于作用在懸臂梁的載荷大小。i表示的是迭代的步數。

3? 結果與分析

驗證計算程序，我們采用Li等人[6]提供的數值進行計算，并將結果與解析解進行對比。懸臂梁和流場的參數為：抗彎剛度EI=2.5×10-7，懸臂梁尺寸D=2.4×10-5 m，水深h=0.05 m，水密度ρ=1×103 kg/m3，水流的平均速度，拉力系數CD=1.2。流場的分布滿足指數分布：

其中m=3.156，求解式（2）～（4）可以獲得沿懸臂梁的偏折角度、彎矩以及剪切力等分布情況。其解析解表達如下：

（14）

圖1給出了在指數分布流場中，懸臂梁的偏折曲線的數值解及解析解對比圖。可以看到數值解和解析解吻合較好，圖中最大相對誤差為3.02×10-6，可見計算精度很高，計算程序得到了驗證。

接下來該文研究不同參數對懸臂梁彎折情況的影響。圖2（a）展示了不同抗彎剛度EI的懸臂梁的偏折情況，當抗彎剛度大于5×10-7 N m2時，懸臂梁偏折很小或基本沒有偏折。而剛度較小時可產生較大的偏折。圖2（b）展示了不同來流平均速度u的懸臂梁的偏折情況。當平均速度小于0.25 m/s時，懸臂梁偏折很小或基本沒有偏折，而速度較大時可產生較大的偏折。

4? 結語

該文以橫向流作用下的懸臂梁結構為研究對象，采用理論分析和數值計算相結合方法，研究其偏折模態形狀函數。根據反應堆內組件的結構特點，采用大撓度非線性方程組來進行建模，論證了該模型處理懸臂梁偏折問題的適用性。為求解該問題，使用一種邊界打靶法來進行上述非線性微分控制方程的求解，得到懸臂梁的偏折曲線的數值解，并將數值計算和解析解結果對比，二者吻合度極高，計算程序得到驗證。后續的工作將深入研究迭代次數和打靶系數對結果的影響。

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