關于轉化思想方法在高中數學解題中的應用探討

王 婧

（海南省澄邁思源高級中學，海南澄邁 571939）

引言

從字面意思來分析，數學轉化思想就是用等價的方式將比較復雜、抽象的數學問題簡化，使其更加通俗易懂。其內容包括數學解題過程中數字、數學公式及問題表達方式之間的轉化。

一、轉化思想方法在高中數學解題中應用的基本原則

一般來說，使用轉化思想解決數學難題時，教師需要遵循以下三個基本解題原則。

第一，熟悉化原則。這是數學轉化思想的基本原則，也是重要的原則之一。其主要的含義是，將原有的較為復雜、抽象的數學問題轉化成比較直觀、簡單的問題，整個過程即化難為易。高中數學題囊括的知識很多，且難度很大。所以，學生在解題過程中，難免會陷入“死胡同”。這時，學生就需要依據熟悉化原則，把不熟悉的題型轉化為自己擅長的、熟悉的題型。這樣，學生在解題過程中會得心應手，從而迅速解決數學難題。

第二，和諧化原則。這是應用轉化思想最關鍵的指導原則。從字面上來分析，在利用數學轉化思想解題時，學生可以不局限于題型的敘述方式，讓解題的過程更自由，但不能改變整體的體系內容。比如，在解答有關導數的問題時，問題往往涉及很多復雜的公式，題目所給的一些公式甚至是學生在學習過程中沒有遇見過的。此時，學生應按照和諧化原則進行題目轉化，把復雜的、難以理解的數學公式轉化成自己熟悉的、易于理解的公式。通俗來說，這種復雜的公式大多是由很多小公式構成的，學生只要將它們逐步拆解，就能得到一系列熟悉的數學公式，從而將題目簡單化，這就是轉化思想中的和諧化原則[1]。

第三，直觀化原則。這一原則可以很好地解決高中階段的數形結合問題。比如，如果學生在解答有關代數的問題時不能理清題目所給的條件，教師就可引導學生按照題目所給的已知數據，采用畫圖的方式，直觀地解決代數問題。

二、轉化思想方法在高中數學解題中的具體應用

（一）在概率問題中的應用

很多概率問題不能依靠常規思路來解答，這時，教師可引導學生利用逆向思維尋找解題方法。當解決關于概率的數學題時，學生可以將題目所給的相關數據和對立事件進行反復的比較，最后得出正確答案[2]。

例如，甲、乙、丙三個人各自投籃，如果三個人全部投中籃筐的概率只有60%，那么至少一個人命中籃筐的概率是多少？解答這道問題時，學生可以將投籃情況分為三種。第一種，有兩個人沒有投中；第二種，有兩個人投中了，有一人沒有投中；第三種，三個人全部投中。學生如果直接對該題進行解答，會使問題復雜化，容易在解題過程中“走偏方向”。而逆向思考這個問題，假設三個人全部沒有投中是其對立事件，而且僅有一種可能，這樣學生就可以按照“正難則反”的原則進行解答，問題也就迎刃而解了。

（二）在圓錐曲線中的應用

很多學生在解答有關圓錐曲線的題目時，會感到很困惑，找不準方向，更抓不住重點。由于這個知識點是高中數學的重點和難點，包括非常多的計算公式，學生不容易理解和解答此類題型。該類題型在考試中所占的比重比較大，需要學生學會利用轉化思想來解答[3]。

比如，教師可以提出一個有關橢圓的問題，要求學生求出各個參數。很多學生認為應先求出各個參數，再慢慢地利用公式簡化計算過程。但是，在解題過程中，學生發現，問題涉及的公式很多且比較復雜，無法順利解答。基于此，教師可以引導學生利用轉化思想，將問題簡化，把橢圓問題轉化為弦和弦之間的問題，也就是正弦和余弦的問題，并給學生列出公式sin2x+cos2x=1，讓學生有效地解決圓錐曲線問題。

（三）在三角函數中的應用

三角函數的概念是比較抽象的，學生學起來有一定的困難。轉化思想就是把未知的問題轉化到已有知識范疇，從而解決實際問題的一種重要的思想方法，其在三角函數的求值中體現得更為突出。

比如，如果直線3x+4y+m=0 和圓（x=1+cosθ，y=-2+ sinθ）中不存在共同點，求出實數m的取值范圍。

學生可利用題目所給的條件，將這些復雜的問題簡單化，經過一系列計算得到4sinθ+3cosθ=5-m。題目所給的已知條件是兩條曲線沒有公共點，則 -5＜4sinθ+3cosθ＜-5，進而得出5-m＜-5 或者5-m＞5，其取值范圍是m＜0 或者m＞10。

（四）在不等式中的應用

學生可以使用轉化思想將不等式中的一系列抽象圖形轉化為直觀的問題。高中數學問題大多涉及數、形、式。學生使用轉化思想可以將復雜的問題簡單化，提高解題的效率和速度。在不等式解題的過程中，學生可以根據題目所給出的已知條件，利用相關的公式和函數，將問題和條件進行有機轉化，分析其性質，最終寫出正確的答案。

比如，f(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=2t2+t-1，其中，t=cosx∈[-1-1]。求f(x)的最小值。

在解題過程中，學生可以結合題目所給的函數，通過三角函數將f(x)=cosx+cos2x轉化為f(x)=2cos2x+cosx-1，再用t代表cosx，將其轉化為f(x)=2t2+t-1，最后通過延伸性畫圖，在圖形中直觀地得出其最小值，并運用數形結合思想，求出最后的答案。

結語

總而言之，高中數學題較為復雜、抽象，學生在解題過程中容易找不準方向，陷入解題的“死胡同”，即使掌握再多的公式，加強習題練習，也難以獲得很好的解題效果。高中數學題有一定的解題技巧，學生可應用數學轉化思想，改變固有的思維模式，將題目所給的復雜公式和條件拆分，盡可能簡單化、圖形化、具象化、直觀化，從而在解題時得心應手。所以，在教學過程中，教師要注重培養學生的轉化思想和知識應用能力，進而提高學生的解題效率和解題正確率。