基于數學建模素養的《正態分布》教學設計

素質教育在傳授知識的同時，更加注重能力的培養。數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。高中生面對實際背景豐富的問題往往無從下手，這就需要在教學中滲透方法，引導學生在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，并運用所學知識求解模型。

1 內容解析

正態分布是高中階段唯一一種連續型分布，課程安排在離散型隨機變量及其分布之后，是概率知識的重要組成，又是統計學的基石，在數學、物理、工程等領域應用廣泛。

正態分布的教學中要把握以下幾個問題：（1）服從正態分布的隨機變量的特征；（2）正態分布密度曲線的特點；（3）正態分布的特點。

2 教學目標

（1）觀察高爾頓板試驗，分析數據分布的特點，建立鐘形曲線的直觀印象。

（2）理解正態分布密度曲線函數解析式的由來，借助圖形分析曲線特點，理解兩個參數的含義。

（3）能運用正態分布解決一些簡單的問題。

3 教學問題診斷

在高中階段推導得出正態分布密度曲線有難度，因而需要考慮學生的情況，設置合理過渡幫助學生理解。對于該部分內容的考察不會設置很難的題目，應還原正態分布曲線密度曲線的形成，注重學生數學建模素養的培養。

4 教學過程設計

4.1 情境引入，發現問題

問題1 生活中我們習以為常的偶然現象中往往存在著必然規律。因為各種偶然因素而最終聚在一個班的我們，身邊又有什么必然現象呢？列出在課前收集到的全班同學身高數據，如何分析身高的分布情況？

設計意圖 對于實際問題，可以用數學方法建立模型，描述其特點。引導學生畫頻率分布直方圖分析數據，總結數據的分布特點：中間多，兩邊少。讓同學們列舉生活中同樣具有這樣形態特點的現象，激發學生的好奇心，去積極探索偶然現象中的必然規律。

4.2 講授新知，分析問題

問題2 達爾文的《物種起源》問世后，他的表弟高爾頓（Galton，1822-1911）同時也是生物統計學派的奠基人，嘗試用統計方法研究遺傳進化問題，設計了一個叫高爾頓板的裝置模擬這種現象。

裝置介紹：如圖1所示，一塊木板上釘著若干相互平行且相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃。

讓小球從上方通道口落下，與層層的小木塊碰撞，最終落入下方的某一球槽中。打開高爾頓板試驗模擬器，運行后模擬結果如圖1所示，引導學生建立橫、縱坐標，繼續使用頻率分布直方圖來分析小球分布情況。

設計意圖 正態分布的模擬需要大量數據，課堂上不好實現，高爾頓板是一個很好的載體。對數學史進行簡單介紹，增強學生學習興趣，有利于主動參與解決問題。對于數據特征并不明顯的實際問題，我們也可以尋找切入點，合理建立分析模型，實現數學化，運用所學，轉化為已知問題。

問題3 如果在高爾頓板試驗中，增加小球數量，試驗結果會呈現什么特點？如何分析小球的分布？在使用頻率分布直方圖時，應該做怎樣的調整？

設計意圖 對于直觀看到的實際問題，使學生熟悉數學化的方式，養成數學建模分析問題的習慣。學生對于正態分布密度曲線的得到是教學難點，結合試驗演示，觀察實驗數據分布變化特點，合理引出，理解曲線與頻率分布直方圖之間的聯系。

問題4 結合剛才的分析，正態分布密度曲線有什么特點呢？

設計意圖 讓學生把握正態分布密度曲線的特點：

（1）位置：軸上方，與軸不相交；

（2）對稱性：單峰，關于直線對稱；

（3）峰值：在處達到峰值；

（4）曲線與軸之間的面積：1.

（5）參數和對曲線的影響：

問題5 如果去掉高爾頓板底部的球槽，并沿其底部建立一個水平坐標軸。用表示落下的小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標，是隨機變量嗎？是離散型隨機變量嗎？落在區間的概率是多少？

設計意圖 通過這些問題的思考，數學模型進一步細化，使學生理解連續型隨機變量與離散型隨機變量的不同，在某點處的概率值為0。在大量重復試驗中，隨機變量落在某個區間的頻率可以近似等于相應概率，即對應區間曲邊梯形的面積，可以用已經學過的定積分來求：

接下來便可以引出正態分布的數學定義：

一般地，如果對于任何實數，隨機變量滿足

則稱隨機變量X服從正態分布。正態分布完全由參數μ和σ確定，因此正態分布常記作。如果隨機變量X服從正態分布，則記為。

在完成這一步之后，可以對德國數學家高斯（C.F.Gauss，1777-1855）與正態分布的淵源予以介紹，相關數學史內容的添加使得數學課堂更加豐滿。

問題6 什么樣的隨機變量服從正態分布？

設計意圖 數學源于生活，用于生活。通過對高爾頓板試驗特點的分析，總結服從正態分布的隨機變量的特點，使學生體會到數學給我們生活帶來的巨大便利，數學建模素養能幫助我們理清思路、化繁為簡。

4.3 小試牛刀，鞏固所學

某地區數學考試的成績服從正態分布，其密度函數曲線如圖所示。

（1）指出和；

（2）計算的值；

（3）計算成績位于區間的概率，即的值；

（4）計算的值；

（5）若，求的值；

（6）計算的值。

設計意圖 通過具體問題的解決，進一步了解正態分布的特點，能夠簡單運用。

4.4 課堂小結，回顧感悟

（1）理解正態分布密度曲線和正態分布的特點，會簡單運用正態分布解問題。

（2）對于生活中的實際問題，觀察特點，建立數學模型，運用已學知識進行數量化分析，掌握分析問題的思路和方法，才能更加受益無窮。

5 教學反思

《正態分布》涉及知識點較多，如果不注重新知引入，將無法在學生現有水平下將概念本質滲透，學生腦海中所接收到的信息呈現出碎片化的特點，不利于理解及應用，而且不利于學生學習數學興趣的培養。

本節課在知識考察上難度不大，在教學中應注重能力培養，而不僅僅是知識傳授。數學建模素養能幫助我們剖析問題的特點，將實際問題數學化，利用數學的方法來分析問題。為促進學生對于知識的整體把握，還可補充與正態分布與二項分布之間的聯系。

作者簡介：王咪咪（1992.1—），女，陜西渭南，陜西師范大學數學與信息科學學院，2017級碩士，學科教學（數學）。