正弦脈寬調制波通用諧波計算與分析方法

嚴海龍

(福州大學電氣工程與自動化學院，福建 福州 350116)

1 引言

正弦脈寬調制(sinusoidal pulse width modulation，SPWM)[1-7]技術目前已經在實際中得到非常廣泛的應用。SPWM信號的生成與控制主要有硬件法和軟件法兩大類[8]。硬件法，顧名思義，是采用專用集成電路，成本相對較高；軟件法則是通過微處理器實時生成SPWM波。早些年人們是采用微機或單片機來計算，由于受處理器運算速度的限制，計算的速度和精度往往無法同時滿足，現在具有高速運算功能的數字信號處理器(digital signal processor，DSP)的出現，尤其是電動機控制專用型DSP的出現，使得這一問題輕松得到解決。軟件法生成SPWM信號的具體實現有很多方法，比如采樣型SPWM法、諧波消去法、等面積法等，尤其是采樣型SPWM法比較普遍，其中包括自然采樣法、對稱規則采樣法、不對稱規則采樣法[9]。自然采樣法因為涉及到求解超越方程，所以一般只作為理論指導。不對稱規則采樣法較對稱規則采樣法的采樣時刻更接近于自然采樣法，使得其生成的SPWM波更加接近于正弦波，即諧波含量更低，因此在實際中得到更為廣泛的應用。然而，不對稱規則采樣法在每個載波周期內要采樣兩次，是以采樣次數多、占用微處理器內存資源大和實時性相對較差為代價，來獲取較對稱規則采樣法諧波含量低的優點[10]。

如果想要研究出性能更好的新型SPWM技術，諧波含量的定量計算與分析則是必不可少的，這是評估新技術優劣的一個重要指標[11]。為此，本文基于MATLAB數值計算和傅里葉級數，提供了一種采樣型SPWM波的諧波通用計算與分析方法，并以不對稱規則采樣法SPWM波的生成及其諧波分析為例，驗證了該方法可以為SPWM新技術的研究提供參考作用，如文獻[10-11]等中的新技術的研究。最后，本文通過對占空比為30%的方波的諧波計算，驗證了該方法也可以作為任意周期性PWM波的諧波通用計算工具。

2 采樣型SPWM波的MATLAB生成方法

圖1所示是不對稱規則采樣法生成SPWM電壓波形的原理示意圖，正弦調制波函數Um·sinwt，其中Um是正弦波的幅值，w是正弦波的角頻率，且w=2πf，f為正弦波的頻率，正弦波周期T=1/f。 高頻三角載波的幅值為Uc，頻率為fc，周期Tc=1/fc。M=Um/Uc稱為調制度或調制比，即正弦調制波峰值與三角載波峰值之比；N=fc/f=T/Tc稱為載波比。本文以不對稱規則采樣法SPWM波為例，分析所提出的諧波計算方法。如圖1所示，不對稱規則采樣法既在載波的頂點對稱軸位置采樣，又在載波的底點對稱軸位置采樣，也就是在每個三角載波周期內采樣兩次，比對稱規則采樣法多了一倍。

圖1 不對稱規則采樣法SPWM原理圖

由參考文獻[8]可知，兩種采樣法的A相脈寬計算公式分別是:

對稱規則采樣法:

不對稱規則采樣法:

式中，k=0，1，2…N-1；M為調制度；N為載波比。

圖2所示是基于MATLAB的SPWM電壓波形生成主程序流程圖，利用數組思維計算各相電壓及生成電壓波形，程序的關鍵點在于兩個數組t(時間)和Ua(A相電壓)長度必須一致，這里采用t與數組序號i同步增長的方式保證兩者數組長度一致。

圖2 SPWM電壓波形生成主程序流程圖

A相電壓Ua(i)的波形生成子程序流程圖如圖3所示，B相電壓Ub(i)和C相電壓Uc(i)的波形生成子程序與A相類似，即在計算關斷區間Toff1和導通區間Ton時，B相在A相的基礎上減去2π/3相角，C相在A相的基礎上加上2π/3相角即可。

圖3 A相PWM電壓波形生成子程序流程圖

設逆變器前端母線電壓為500V，上述圖3對應的不對稱規則采樣法PWM波形生成參考程序如下:

該程序的關鍵在于利用向零取整函數fix計算載波序號k值，并說明t在區間[k*Tc，(k+1)*Tc]。

取M=0.8，N=15，f=50Hz時，利用圖2和圖3所述方法生成的不對稱規則采樣法SPWM波形見圖4所示。

圖4 不對稱規則采樣法PWM電壓波形

3 諧波含量的計算與分析

3.1 各次諧波含量的計算

本文基于傅里葉級數，將諧波含量的計算具體詳細化，并且提供相應的MATLAB軟件編制通用方法。

如果周期性線電壓函數Uab(t)的周期為T，頻率為f=1/T，基波角頻率w=2πf，Uab(t)=Uab(t+T)，那么Uab(wt)可以分解為無限項三角級數——傅里葉級數，即如式(3)～(7)所示。

式中，A0是直流分量，An是n次諧波余弦分量，Bn是n次諧波正弦分量，Cn是n次諧波幅值。n=1時，C1是基波幅值。

圖5是采用傅里葉級數及MATLAB數值計算的各次諧波含量計算主程序流程圖。圖中M為調制度，N為載波比，T為調制波周期。

圖5 各次諧波含量計算主程序流程圖

以不對稱規則采樣法為例，A相電壓的諧波余弦分量計算子程序可參考如下，B相電壓的計算類似，在關斷時間和導通時間的計算式上與A相滯后2π/3。如此A相與B相的諧波余弦分量之差便為線電壓Uab(t)的諧波余弦分量，而線電壓Uab(t)的諧波正弦分量的計算亦是類似。

以上關鍵思維有三點:一是采用了分段處理，即每個載波期間各自積分，分段計算后再疊加；二是分相處理，不直接計算線電壓的余弦分量，而是由各自計算A相和B相的余弦分量后相減所得。三是采用＠(t)將多個變量函數的自變量限定為t。

采用圖5方法，不對稱規則采樣法生成的線電壓諧波分布情況見圖6所示。

圖6 不對稱規則采樣法線電壓諧波分布情況(N=15)

計算結果表明，4N次(N為載波比)以下諧波中，含量比重較大的是N±2、2N±1、3N±2、3N±4次諧波，即載波比及其倍數附近次數的諧波。改變載波比N，亦能得到相同的結論。4N次及以上高次諧波可在交流調速時被電機自身漏感濾波掉，可根據計算精度要求不予分析。對稱規則采樣法生成的線電壓諧波分布情況分析與不對稱規則采樣法的類似，只要在涉及到計算導通時間時分別采用上述式(1)和(2)。

3.2 總諧波系數的計算

交流調速系統中，為了比較各種采樣法SPWM波輸出線電壓的總諧波幅值，即評價兩者輸出電壓波形的質量，可以引入總諧波系數THD:

式中，n是諧波次數，Un為諧波幅值或有效值，取幅值時即為式(7)中的Cn，U1為基波幅值，即C1。

THD的計算流程圖如圖7所示，采用此方法計算對稱規則采樣法和不對稱規則采樣法生成的的線電壓波形THD比較見圖8。由圖8可定量驗證不對稱規則采樣法較對稱規則采樣法生成的SPWM波諧波含量確實更低，即更加接近正弦波。類似的，我們可以采用本文的方法計算分析其他PWM波的諧波情況，在此基礎上，也可以為探索新型SPWM技術提供方法依據。

圖7 總諧波系數THD的計算主程序流程圖

圖8 采樣法SPWM線電壓THD的比較(N=15)

4 其他PWM波諧波分析的通用性驗證

以占空比為30%的PWM方波舉例說明，采用本文的方法或思路可以計算出該PWM波的各次諧波分布情況，結果為:在60次諧波以內，除基波外，比重較大的諧波有29次、49次、58次。采用圖7的方法計算該PWM波的THD值，結果見表1所示，忽略高次諧波的影響，該 PWM波的 THD值為0.3075。

表1 占空比為30%的PWM方波THD值計算

5 結論

交流調速系統中，傳統采樣型SPWM技術因為采樣次數的不同各有優缺點，為在原有SPWM技術的基礎上研究新型SPWM逆變技術，諧波含量的計算與分析是必不可少的，這是評估SPWM技術優劣的一個重要指標。本文基于MATLAB數值計算和傅里葉級數，提供了一種PWM波的諧波通用計算與分析方法，并重點以不對稱規則采樣法為例，給出了詳細的諧波計算過程以及相應程序段或關鍵思維點。文中不對稱規則采樣法、對稱規則采樣法以及方波三種PWM波的諧波計算結果，驗證了該方法可以作為SPWM新技術研究的輔助工具，也可以作為任意周期性PWM波的諧波通用計算工具。