《正態分布》教學設計

黃婭麗

中圖分類號：A ?文獻標識碼：A ?文章編號：（2021）-41-311

一、學情分析

正態分布是學生已經學習和研究了離散型隨機變量的分布列，必修3第一章《統計》中學習了頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線的基礎上學習的，學生已經具備了一些一定的邏輯思維能力、觀察提煉能力、數學抽象能力等，這些為學生學習正態分布打下了基礎。

存在的困難是高一學習的必修三的知識學生遺忘的比較多，怎樣將這些知識之間產生聯系？

二、教學目標

1.了解連續型隨機變量的概念以及連續型隨機變量的分布密度函數及分布密度曲線;

2.了解正態分布的密度函數的性質，了解正態分布曲線的特點;

3. 在實際中的廣泛應用，進一步認識數學知識在解決實際問題中的作用。

4. 學生通過經歷正態分布的發現，觀察正態分布曲線的特征，自己總結歸納正態分布函數的性質和正態曲線的特點，提升“直觀想象”、“數學抽象”、“邏輯推理”等數學素養。

三、教學重點、難點及處理策略

重點：認識正態分布曲線的特點及正態分布在實際生活中的廣泛應用。

難點：引導學生自然發現生成、認識正態分布密度曲線的過程。

處理策略：通過生活中實例引入，學生總結發現隨機變量與離散型隨機變量的不同之處，進而引入連續型隨機變量，用分布列可以刻畫離散型隨機變量的概率分布，如何刻畫連續型隨機變量的概率分布，引發學生思考，再過實例一步一步啟發學生思考，最后自然地引出正態分布密度曲線，從而突破難點。

四、教學創新點及教學方法

1.學生在課前3分鐘講正態分布的前生今世，學生既可以了解正態分布的發展歷史，也能吸引學生的學習興趣。

2.通過實例和問題串，啟發引導學生經歷正態分布密度曲線的發現過程，提升學生的邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養。

3.學生通過觀察正態分布密度曲線，總結提煉正態分布的性質和曲線的特征。

4.通過正態分布與人生曲線滲透德育，激勵學生積極向上，努力拼搏做到自己的最好！

5.教學方法：啟發引導、討論交流、自主探究相結合的教學方法。

五、教學過程

（一）情境導入

學生活動1：課前三分鐘學生分享正態分布的數學史。

問題1你能發現下列隨機變量與離散型隨機變量有什么不同之處嗎？

（1）公共汽車每15分鐘一班，某人在站臺等車時間X是個隨機變量;

（2）實際測量的誤差作為一個隨機變量X ;

（3）某電子元件的使用壽命X是一個隨機變量.

學生活動2：學生思考并回答問題，抽象概括出連續型隨機變量的概念。

連續型隨機變量的概念：如果一個隨機變量可以取某個區間內的任意一個實數，即變量的取值可以是連續的，那么這個隨機變量就稱為連續型隨機變量。

設計意圖：了解正態分布的發展歷史，激發學生的學習興趣。通過實例和問題串，啟發引導學生經歷正態分布密度曲線的發現過程，提升學生的邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養。

問題2：你能再舉一些生活中的連續型隨機變量的例子嗎？

問題3：連續型隨機變量不能一一列舉出來，那么如何刻畫它的取值的概率情況？ 如：某種產品的壽命（使用時間）是一個隨機變量X，它可以取大于等于0的所有數值.怎樣描述這樣的隨機變量的分布情況呢？

學生活動3：學生同桌思考、討論、交流，教師提問。

研討結果：可以研究它落在某個區間的概率，畫出它的 頻率分布直方圖。樣本容量增大時頻率分布折線圖就近似地變成了一條光滑的曲線——總體密度曲線，也稱為隨機變量的概率分布密度曲線，即為正態分布密度曲線。

問題4：如果知道了隨機變量X的分布密度曲線，你能求出X取值于任何范圍（例如a<X<b）的概率嗎？

學生活動4：討論交流，回答問題。

討論結果：可以通過計算該曲線下相應部分的面積而得到，面積又可以通過定積分進行計算。

設計意圖：通過實例和問題串，啟發引導學生經歷正態分布密度曲線的發現過程，提升學生的邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養。

（二）抽象概括，形成概念

正態分布相關概念

1.在頻率分布直方圖中，為了了解得更多，圖中的區間會分得更細，如果將區間無限細分，最終得到一條曲線，這條曲線稱為隨機變量X的分布密度曲線，這條曲線對應的函數稱為X的正態分布密度函數.

2.若隨機變量X的分布密度函數為

f（x）=12πσe1（x-μ）22σ2，χ∈（-∞，+∞）

其中μ和σ（σ>0）分別是隨機變量X的均值與標準差，則稱X服從參數μ和σ的正態分布，

記作X～N（μ，σ2）.

學生活動5：學生同桌討論并交流 學生回答，教師板書正態分布密度函數的性質和特征。

（三）討論交流，探究正態分布密度曲線和函數的性質

（1）對稱性：函數圖像關于直線x=μ對稱;對稱區域面積相等，概率相等。

（2）單調性：x<μ時，f（x）遞增，x>μ時，f（x）遞減。

（3）最值：x=μ

（4）形狀：σ（σ>0）的大小決定函數圖像的胖、瘦;

（5）位置：由μ決定

（6）概率“3σ”原則：

P（μ-σ<X<μ+σ）=68.3%;P（μ-2σ<X<μ+2σ）=95.4%;P（μ-3σ<X<μ+3σ）=99.7%.

（7）小概率事件

設計意圖：通過自主探究和討論交流，提升學生直觀想象、邏輯推理等核心素養。

（四）練習鞏固，應用提升

學生練習： 在某次數學考試中，考生的成績X服從一個正態分布，即X～N（90，100）.

（1）試求考試成績X位于區間（70，110）上的概率是多少？（2）若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在（80，100）之間的考生大約有多少人.

學生活動：學生先思考，先做，再站起來回答問題。（檢測目標3）

（五）思想升華，滲透德育

正態分布與人生哲理：人的生命軌跡猶如一條特殊的正態分布曲線，出生從0開始，死亡到0結束，中間囊括了人生最核心最重要的：親情、家庭、健康、責任、擔當、愛情、學業、事業、理想……等等。雖然人的生命是有限的，但是我們可以追求人生的寬度與深度，在我們生命的每一個階段，竭盡全力， 努力做最好的自己！譜寫我們絢麗多彩的人生曲線！

設計意圖：正態分布與人生哲理，滲透德育，激發學生以積極向上的態度面對人生，珍惜生命的每一個階段，竭盡全力做最好的自己。

（六）課堂小結：用黑板上的思維導圖小結

六、作業布置

必做題：1. 在一次測試中，測量結果X服從正態分布N（2，σ2）（σ>0），若X在（0，2）內取值的概率為0.2，求：（1）X在（0，4）內取值的概率;（2）P（X>4）. ? （檢測目標2）

2.已知隨機變量ξ服從正態分布N（1，4），則P（-3<ξ<5）=（ ） （檢測目標2）

選做題：隨機變量ξ服從N（2，10），若ξ落在區間（-∞，k）和（k，+∞）的概率相等，則k等于（ ） ? A.1 ? B.10 C.2D·10（檢測目錄2）