基于迭代函數系統的三維樹木靜動態可視化研究

胡杰　劉娟　鄧林強　李富忠

摘要：基于樹木實測數據，轉化為迭代函數系統的IFS碼，用Matlab軟件分別實現合軸分枝樹木和單軸分枝樹木三維靜動態可視化模擬系統，用于城市和園林等的規劃與設計。以槐樹和松樹分別作為合軸分枝樹木和單軸分枝樹木的代表，提取樹高、分枝數、分枝仰角、方位角、枝長等重要信息進行數據統計分析;將父枝（一級枝）和子枝（二級枝）的枝長粗細比、方位角、仰角等參數進行分析推導，得到迭代函數系統的IFS碼，并計算出每個仿射變換相應的概率;最后再用Matlab軟件進行編程，對其形態進行三維可視化靜動態模擬。試驗過程中，通過調整并改變樹木的IFS碼及相應的概率，可以對樹木進行旋轉、平移和縮放變換，并且呈現樹木的多種形態（枯萎、修剪等）。研究的函數迭代系統方法在虛擬自然景觀（山川、植物、云等）方面具有很廣的應用，并且程序簡單，僅通過對應的IFS碼和對應的概率，即可在三維空間中再現不同自然景觀的靜動態。

關鍵詞：靜動態可視化;迭代函數系統;三維樹木;IFS碼;合軸分枝樹木;單軸分枝樹木

中圖分類號：S126 文獻標志碼： A文章編號：1002-1302（2021）19-0205-04

樹木形態各異，種類繁多。按照分枝模式分為如下兩大類：（1）單軸分枝樹木，有明顯粗壯而直立的主干，頂芽一直向上生長，樹形挺拔，形態簡單，如楊樹、松樹、銀杏等^[1-2]。（2）合軸分枝樹木，無明顯主干，樹冠呈開展狀，頂芽發育一段時間后停滯或死亡，被下面的側芽取代，有多個彎曲的主軸，形態相對復雜，如楓樹、桃樹、柳樹、槐樹等^[3-8]。

綜上，樹木的形態結構很難用傳統的幾何法來模擬。但是考慮到樹木整體和局部的自相似性，故引入分形幾何學^[9]。常見的分形方法有L系統法、粒子系統法、迭代系統法^[1-13]。L系統法的生成規則是由字符串體現的，對于復雜的樹木形態，字符串難以獲得和使用;粒子系統法缺乏真實感，有明顯的人工痕跡，無法細致地刻畫光照和樹木紋理;迭代函數系統法克服了上述2種方法的缺陷，程序簡單，僅需幾組仿射變換的系數（IFS碼）和相應的概率，便可細致刻畫樹木的紋理結構，描繪出形態逼真的不同樹木。

近年來，樹木可視化研究的課題引起了大量學者的關注。 Sievanen等利用Matlab軟件，基于分形L系統，對白楊樹進行二維可視化研究^[1]。吳欠等利用C語言，基于迭代函數系統實現了杉木三維靜態可視化研究^[2]。趙慶丹等利用C語言，基于迭代函數系統實現了紅松三維靜態可視化研究^[8]。但是上述文獻都沒有引入隨機因子，描述出的樹木形態比較呆板，不自然。Prusinkiewicz引入隨機因子，利用Matlab軟件，分別基于L系統和迭代系統，形象地模擬不同樹木的形態^[6]。朱華等基于迭代函數系統，利用C語言模擬動態樹木^[10]。相關研究均為二維圖形，只是從某一側面反映樹木的平面圖形，無法真實地刻畫樹木的整個圖形，故亟需將樹木的二維圖形推廣為三維圖形^{[1，6，10]}。

Matlab軟件程序簡明，語言簡單，在處理圖形圖像方面很有優勢。但是對于樹木可視化研究而言，用Matlab編程的比較少。在此基礎上，本研究將利用Matlab軟件，基于迭代函數系統，分別以槐樹、松樹作為合軸分枝樹木、單軸分枝樹木的代表，通過對樹木數據進行分析統計，得到IFS碼和相應的概率，分別實現合軸和單軸分枝樹木的三維靜動態可視化研究。

1合軸分枝樹木數學建模

1.1數據統計分析

合軸分枝樹木形態相對復雜，故先對其進行研究，以槐樹為例。槐樹為我國古老的樹種，分布廣泛，有著悠久的歷史，受人們喜愛和崇拜;尤其是山西洪洞大槐樹，已經成為著名的旅游景點。

本研究選取3株冠形比較好的槐樹樣木進行數據統計分析，分別提取樹高、分枝數、父枝（一級枝）和子枝（二級枝）的仰角、主干長、胸徑、冠幅等重要信息（表1）。

統計選定的槐樹的一級枝和二級枝的方位角、仰角、枝長和枝徑的分布范圍，并求其平均值、標準差、最大值、最小值。如表2所示，一級枝（父枝）枝徑的平均值大于二級枝（子枝）枝徑，一級枝枝長和仰角的平均值小于二級枝枝長和仰角。

1.2提取槐樹的IFS碼

基于迭代函數系統模擬槐樹三維圖形，借助Matlab編程，程序簡單，僅需確定仿射變換的系數（IFS碼）。仿射變換種類很多，為了確保樹木圖形不失真必須為壓縮變換。描繪三維樹木圖形一般需要12個系數，可以通過3個方程組求解得到。具體方法如下：在原圖中找4個點A（x₁，y₁，z₁）、B（x₂，y₂，z₂）、C（x₃，y₃，z₃）、D（x₄，y₄，z₄），在仿射變換后的子圖中找到對應的4個點A′（x₁′，y₁′，z₁′）、B′（x₂′，y₂′，z₂′）、C′（x₃′，y₃′，z₃′）、D′（x₄′，y₄′，z₄′）即可建立下列3個方程組：

ax₁+by₁+cz₁+u=x₁′

ax₂+by₂+cz₂+u=x₂′

ax₃+by₃+cz₃+u=x₃′

ax₄+by₄+cz₄+u=x₄′;（1）

dx₁+ey₁+fz₁+v=y₁′

dx₂+ey₂+fz₂+v=y₂′

dx₃+ey₃+fz₃+v=y₃′

dx₄+ey₄+fz₄+v=y₄′;（2）

gx₁+hy₁+kz₁+r=z₁′

gx₂+hy₂+kz₂+r=z₂′

gx₃+hy₃+kz₃+r=z₃′

gx₄+hy₄+kz₄+r=z₄′。（3）

但是這樣得到的IFS碼不準確，所繪圖形比較失真，并且在三維中點的尋找比較困難。故三維中描繪圖形一般不采用上述方法。仔細分析上述3個方程進行對應的仿射變換，可以將其進行簡化：

式中，矩陣C為枝長比，即一級枝與二級枝的長度粗細比例;α為二級枝的方位角，即繞y軸旋轉α角;β為二級枝的仰角，即繞z軸旋轉β角;B矩陣為平移變換，代表枝長。

根據調查統計的槐樹基本數據（表1、表2），找到相應的參數，帶入公式（6）中，得到迭代函數系統中槐樹的IFS碼（表3），即參數a、b、c、d、e、f、g、h、k、u、v、r。當i=1，2時，對應的仿射變換描繪的就是槐樹的主干，當i=3，4，5時，仿射變換描繪的是槐樹的枝干;槐樹分枝的個數用迭代次數來確定，槐樹分枝的位置和大小分別用父枝和子枝各自的仰角、方位角和枝長比來確定。

然后計算每個仿射變換對應的概率（P_i）。概率表示的是子圖的體積或面積在原圖中所占的比例，利用向量的混合積可以表示體積，轉化為矩陣^[6]，所有的概率之和必須為1：

式中：N表示描述圖形所需的IFS碼的組數;ai，bi，…，ki表示第i組IFS碼。

把表3中每組參數依次分別帶入式（7）中，經過簡單的計算，得到仿射變換的概率依次為0.25、0.15、 0.13、0.12、0.35。利用Matlab軟件編程，得到槐樹的圖形，如圖1所示。

1.3呈現槐樹的不同狀態

通過以下2種方式可呈現槐樹的不同狀態：（1）改變槐樹仿射變換的概率，調節各仿射變換的強弱，如將對應的概率依次改為0.36、0.34、0.09、011、0.10，此時描繪的是冬天無葉枯萎的槐樹（圖2）;同理將概率依次改為0.06、0.14、0.37、0、043，即去掉i=4時的仿射變換，此時描繪的是樹枝被截斷的槐樹（圖3）。還可以通過提高相應的概率使樹木枝葉向陽的地方變得更加稠密，調整相應的概率改變主枝干的粗細等。（2）通過將系數矩陣A乘以特殊矩陣，改變槐樹的IFS碼。如乘以縮放矩陣

2單軸分枝樹木數學建模單軸分枝樹木形態相對簡單，以松樹為例。松樹在我國北方隨處可見，樹型特別筆直，四季常青。筆者用同樣的方法，選取3株冠形比較好的松樹樣木進行數據統計，提取樹高、分枝數、分枝仰角、方位角、枝長等重要信息以及相應的范圍，得到一級枝枝徑和仰角的平均值大于二級枝枝徑和仰角，一級枝枝長的平均值小于二級枝枝長。用同樣的方法得到迭代函數系統中松樹的IFS碼（表4）并計算

出相對應的概率，依次為0.01、 0.70、0.09、0.04、006、0.03、0.07。利用Matlab軟件編程，得到松樹的圖形（圖6）。同樣地，可以通過調整松樹仿射變換對應的概率和對仿射變換的系數A乘以一些特殊矩陣改變相應的IFS碼，從而呈現松樹的不同靜動態。

本研究分別以槐樹、松樹作為合軸分枝樹木、單軸分枝樹木的代表，提取樹高、分枝數、分枝仰角、方位角、枝長等重要信息，進行數據統計分析。將一級枝和二級枝的枝長粗細比sx、 sy、 sz，方位角α和仰角β參數，代入公式（6）中，得到迭代函數系統的IFS碼，用Matlab軟件進行編程。通過調整仿射變換對應的概率和對仿射變換的系數A乘以一些特殊矩陣改變相應的IFS碼，呈現樹木的不同狀態效果，從而實現三維樹木的靜動態可視化研究。

此方法通過具體的例子給出如何通過樹木的實測數據得到相應的IFS碼，有著廣泛的應用前景。實際操作中只需要調整Matlab程序中IFS碼就可以模擬不同樹木、植物、山川、云等自然景觀的靜動態，程序簡單，易于操作。此虛擬樹木技術可以應用于很多地方，其中包括數字電影、動畫、城市和園林等的規劃和設計以及具有場景模擬的類似領域。

參考文獻：

[1]Sievanen R，Nikinmaa E，Nygren P，et al. Components of functional structural tree models[J]. Annals of Forest Science，2000，57（5/6）：399-412.

[2]吳欠，張懷清，陳永富，等. 杉木形態三維可視化模擬技術研究[J]. 林業科學，2010，23（1）：59-64.

[3]劉娟，胡杰，張權義，等. 基于隨機分形的樹木（楓樹）可視化研究[J]. 山東農業大學學報（自然科學版），2020，51（3）：495-499.

[4]胡秀珍，張建，李淼，等. 基于參數L系統的梨樹枝干模型三維可視化[J]. 計算機系統應用，2011，20（8）：86-90.

[5]Allen M T，Prusinkiewicz P，Dejong T M. Using L-systems for modeling source-sink interactions，architecture and physiology of growing trees：the L-PEACH model[J]. New Phytologist，2005，166（3）：869-880.

[6]Prusinkiewicz P. Modeling plant growth and development[J]. Current Opinion in Plant Biology，2004，7（1）：79-83.

[7]吳翔，高曉陽，邵世祿，等. 基于參數L系統的葡萄果枝生長可視化研究[J]. 中國農機化學報，2017，38（5）：63-68.

[8]趙慶丹，羅傳文，孫海洪，等. 基于OpenGL和VC的樹木三維可視化模擬實現[J]. 東北林業大學學報，2010，38（11）：54-57.

[9]高揚，黎展榮，魏為，等. 基于參數L系統的小葉榕樹建模方法研究[J]. 計算機技術與發展，2016，26（7）：156-159.

[10]朱華，姬翠翠. 分形理論及其應用[M]. 北京：科學出版社，2011：54-79.

[11]鄒運蘭，楊志紅，王仁芳. 基于迭代函數系統IFS的動態樹木模擬[J]. 計算機應用與軟件，2012，29（3）：118-121.

[12]李佳祺. 基于中性景觀模型的虛擬森林場景的構建方法研究[D]. 南京：南京大學，2018：11-20.

[13]Pradal C，Boudon F，Nouguier C，et al. PlantGL：a Python-based geometric library for 3D plant modelling at different scales[J]. Graphical Models，2009，71：1-21.

基金項目：山西農業大學科技創新基金 （編號：2017005、2017019）。

作者簡介：胡杰（1986—），男，山西呂梁人，碩士，講師，主要從事圖像處理和大數據相關研究。 E-mail：17835425155@163.com。

通信作者：劉娟，碩士，講師，主要從事應用數學和生物數學研究。 E-mail：liujuannk@163.com。