低頻輸電技術原理之一
——M3C 的數學模型與等效電路

徐 政，張哲任

（浙江大學 電氣工程學院，杭州 310027）

0 引言

隨著海上風電開發向深遠海方向發展，近年來海上低頻輸電技術越來越受到學術界和工業界的關注。對于海底電纜，采用低頻輸電方案的根本優勢是可以降低電纜的并聯電容效應，從而可以擴展海上交流輸電的距離。比如，對于220 kV電壓等級，工頻50 Hz 下的合理輸電距離大約為80 km[1]，如果海上風電場的離岸距離超過80 km，那么可選的輸電方案主要是2 種，一種是直流輸電方案，另一種就是低頻輸電方案。由于直流輸電在換流站成本以及構網后的故障開斷方面還存在不足，因此低頻輸電在遠海風電送出以及海上風電場構網方面具有競爭優勢。

采用低頻方案進行遠距離海底電纜輸電的設想已有相當長的歷史，至少1950 年在論證瑞典本土到哥特蘭島的輸電方案（輸電距離100 km）時已進行過技術經濟比較[2-3]。當時比較了25 Hz，和直流3 種方案，最終還是采用了直流輸電方案。陸上采用低頻方案進行遠距離大容量架空線路輸電的設想是由王錫凡院士在1994 年提出的[4-5]，同樣，陸上低頻輸電方案的主要競爭對手也是直流輸電方案。近年來隨著電力電子技術的發展，特別是MMC（模塊化多電平換流器）技術的發展，低頻輸電技術已進入到了一個新的發展階段，其在能源轉型和構建新型電力系統方面有可能發揮重要作用。

低頻輸電方案的一個關鍵環節是低頻系統與工頻系統之間的接口，完成此功能的設備被稱為變頻器。實現變頻器的電路拓撲有多種，其中一種具有良好工程應用前景的拓撲結構是M3C（模塊化多電平矩陣變流器）。M3C 是在2001 年提出的[6-7]，跟MMC 為同一年提出[8]。經過20 年來的研究和改進，M3C 的理論已趨于成熟，其主要應用在電機調速領域，在高電壓大容量輸電領域還沒有得到實際工程應用。

為了將M3C 應用于高電壓大容量輸電領域，需要解決主回路參數設計、過電壓與絕緣配合設計、控制器設計以及設備制造等多方面的技術問題，以往文獻對M3C 的數學建模和控制策略已有較多研究[9-13]，但對主回路參數設計、過電壓與絕緣配合設計以及控制保護系統設計等涉及較少。本系列文章的目的是系統總結以往文獻和本研究團隊在M3C 數學建模和控制策略等方面已取得的成果，用一種便于理解且步步可追溯的方式將數學建模、主回路參數設計以及控制器設計的具體過程完整展示出來。期望本系列文章能對理解M3C 的運行原理有所幫助。

1 M3C 標準結構和變量命名

恰當的主回路結構展示形式和變量命名對于學習和應用M3C 技術是十分重要的。對于已接觸過MMC 技術的讀者，采用如圖1 所示的M3C 主回路結構展示形式，而不采用原始的模塊化多電平矩陣形主回路結構形式是更適合的。因為采用如圖1 所示的M3C 主回路結構展示形式，就可以把M3C 看作是MMC 拓撲結構的擴展，而不是一個完全陌生的電路。圖1 中的M3C 主回路結構，可以看作是在MMC 的上、下各3 個橋臂結構基礎上又增加了中間3 個橋臂；進而使MMC 的從上橋臂公共母線到下橋臂公共母線之間輸出直流電壓變成了M3C 的從上橋臂公共母線、中間橋臂公共母線和下橋臂公共母線輸出三相交流電壓；進而達到了從輸入端三相交流電壓到輸出端三相交流電壓的變換，且這個變換包含了三相電壓幅值的變換和三相電壓頻率的變換；進而達到了交-交變頻器的功能。

圖1 M3C 拓撲結構示意

對于如圖1 所示的三相M3C 拓撲結構，輸入側電氣量的下標用大寫字母（A，B，C）和字母i表示，輸出側電氣量的下標用小寫字母（a，b，c）和字母o 表示，橋臂電抗器和橋臂子模塊的命名規則采用普遍接受的命名規則[14]，例如，uCa表示橋臂Ca 上所有子模塊合成的電壓，而ucCa1表示橋臂Ca 上第1 子模塊的電容電壓。需要特別注意：“V”和“v”是表示位置的符號，“V”表示輸入側的閥側，“v”表示輸出側的閥側，而“EVA，EVB，EVC”表示輸入側各相3 個橋臂的公共聯接點，而“Eva，Evb，Evc”表示輸出側各相3 個橋臂的公共聯接點。

2 M3C 的基本數學模型推導

2.1 abc 三相坐標系中的數學模型

根據基爾霍夫電壓定律，可以得到M3C 微分方程數學模型：

將上面9 個方程從上到下按行排列成3×3 的矩陣形式，有：

同時，根據基爾霍夫電流定律，M3C 輸入側交流電流與橋臂電流之間的關系為：

M3C 輸出側交流電流與橋臂電流之間的關系為：

定義輸入側共模電壓：

定義輸出側共模電壓：

2.2 αβ0 正交坐標系中的數學模型

由于abc 三相物理量可以看作是一個旋轉空間向量在abc 3 個靜止坐標軸上的投影，但abc 3個靜止坐標軸互差120°，不是一個正交坐標系，因而在abc 三相坐標系中不可能做到三相物理量之間的相互解耦。而對于M3C 的分析計算和控制器設計，在各坐標軸物理量相互解耦的坐標系中實施一定是更加簡便的。正交坐標系天然就有各坐標軸上物理量相互解耦的特性，因而就自然想到用正交坐標系來代替abc 坐標系，然后基于正交坐標系中的物理量進行計算的思路。這種思路早已被想到，最著名并被廣泛應用的正交坐標系就是αβ0 坐標系，而從abc 坐標系到αβ0 坐標系的變換矩陣被稱為Clarke 變換[15]。利用正交坐標系進行分析的另一個優勢是可以使描述數學模型的方程數目減少。在正交坐標系中，只有相互獨立的數學方程會被呈現出來，不獨立的冗余方程自然地會被消去。例如，對于abc 三相對稱系統，三相電壓和三相電流的零序分量等于零，這樣將三相電壓和三相電流變換到αβ0 正交坐標系中后，只有描述α 軸和β 軸物理量的方程是有意義的，0 軸上的方程是冗余方程，自然地就消失了，這樣就將描述abc 三相物理量的3 個方程減少成為2 個方程。以下推導M3C 在αβ0 坐標系中的數學模型。

定義abc 到αβ0 的變換矩陣Tabc-αβ0為[16]：

對應地從αβ0 到abc 的變換矩陣Tαβ0-abc為：

注意Tabc-αβ0和Tαβ0-abc為正交矩陣，（Tabc-αβ0）-1=（Tαβ0-abc）T。

將輸入側ABC 坐標系中的各變量變換到αβ0 坐標系，其變換式如下，注意矩陣表達式可以按列分開理解。

需注意不要將式（10）中u0a，u0b，u0c與圖1 中uoa，uob，uoc混淆。

而根據式（3）和式（9）有：

根據式（5）和式（10）有：

另外，對于輸出側abc 坐標系中的各變量，進行abc 坐標系到αβ0 坐標系的變換后，有如下關系式：

在式（2）兩側左乘Tabc-αβ0可以得到：

將式（18）拆分成描述輸入側關系和輸出側關系的2 個方程，描述輸入側關系的方程為：

描述輸出側關系的方程為：

由式（9）知：

由式（10）知：

則式（20）可以變為：

整理后有：

將輸出側abc 坐標系中的各變量變換到αβ0 坐標系，得到：

在式（24）兩側左乘Tabc-αβ0可以得到：

若輸入和輸出系統三相對稱，則有iV0=0，ui0=0，iv0=0，uo0=0，根據式（28）的最后一行有：

此外，根據式（14）和式（26）的最后一行以及式（22）的關系，可以得到usum0=ucom0，從而得到：

去掉式（28）的最后一行后，式（28）可以降階為：

再將式（19）按列拆分成3 個方程：

將式（32）、式（33）、式（34）相加有：

根據式（13）和式（14），式（35）變為：

分別將式（33）、式（34）減去式（32），并且定義：

式（37）—（40）中，iαcir1和iβcir1被稱為環流1 的αβ分量；iαcir2和iβcir2被稱為環 流2 的αβ 分 量；uαcir1和uβcir1被稱為環流電壓1 的αβ 分量；uαcir2和uβcir2被稱為環流電壓2 的αβ 分量。

從而可以得到描述環流特性的微分方程為：

顯然，環流特性只由M3C 內部的橋臂電壓和橋臂電抗決定，與M3C 的輸入側和輸出側沒有直接關系。

式（30）、式（31）、式（36）、式（41）和式（42）構成了對稱運行時M3C 在αβ 坐標系中的9 階數學模型，后面的相關分析和控制器設計將主要基于這個9 階數學模型進行。

3 M3C 的等效電路推導

根據在αβ 坐標系中描述輸入側和輸出側動態特性的微分方程式（36）和式（31），可以得到：

可以得到αβ 坐標系中描述M3C 輸入側和輸出側特性的等效電路如圖2 所示。

圖2 αβ 坐標系中描述M3C 輸入側和輸出側特性的等效電路

同樣，根據在αβ 坐標系中描述環流特性的微分方程式（41）和式（42），可以得到αβ 坐標系中描述M3C 環流特性的等效電路如圖3 所示。

圖3 αβ 坐標系中描述M3C 環流特性的等效電路

4 結語

本文針對低頻輸電中的關鍵設備M3C，給出了一種方便學習和應用的主回路拓撲結構展示形式和變量命名規則，推導了M3C 的完整數學模型和M3C 在αβ 坐標系中等效電路，可以為后續的M3C 主回路參數設計以及控制器設計奠定基礎。