淺談函數上下極限的性質與應用

黃 伊 楊展鵬 熊 歡 朱子豪 陳 舜 田大平

江漢大學 湖北 武漢 430056

1 前言

極限的定義與性質，從定義到定理最后到性質的拓展是不斷探索的過程，極限的基本結論是不斷探索研究的實踐活動，對人類生活起到至關重要的作用，未來普遍應用于生活也未可知。通過對數列極限的學習與探索，以及歸納的研究方法，我們可以直接研究許多函數的性質，例如導數、函數積分、判斷級數收斂等，函數上、下極限的基本性質與數列上、下極限的基本性質有密切聯系，特別在判別級數是否收斂應用較多，且能發揮較大作用，在數學分析理論部分中占有重要地位。上、下極限的應用能夠在物理問題特別是數列應用中使題目更加清晰化，能夠更加細致地學習數列的上、下極限以及函數上、下極限，對收斂函數的學習奠定了基礎，能夠正確區分收斂函數與不收斂函數，上、下極限的基本概念在生活中許多科學問題都會具有重要的實際應用.所以，我們應該認識到它的重要性，學習已有的關于上、下極限的理論研究的文章，并及時總結歸納拓展其應用，并對其進行提煉升華。豐富我們對數學分析、實數、函數等學科所學專業課程內容的深入理解，深刻學習掌握歸納其相關理論的實際應用，更好地不斷培養自己的的數學創新知識思維與理論實踐操作能力。

2 數列的上、下極限相關概念

2.1 數列上、下極限的定義

2.2 數列上、下極限的性質及定理

3 函數的上、下極限的相關概念

3.1 函數上下極限的定義

3.2 函數上、下極限的存在唯一性定理

4 函數上、下極限的性質

4.1 設f(x)在E上有定義，則

5 函數上、下極限例題

6 擴展部分

6.1 次可加函數

次可加性是數學應用中的一個重要特性，次可加函數是一類重要函數，但目前關于次可加函數研究比較少，本文只從定義出發，從例子中找到與函數上、下極限的聯系

定義1[3][4]設f(x)為定義在 (0，＋∞)上的次可加函數

7 總結部分

本文以有關函數上、下極限過程為研究中心，詳細地地說明了如何研究函數過程，從一個數列概念出發，研究一個數列的上、下極限，從有關數列上、下極限的基本定義、定理及函數性質關系出發，得到有關函數上、下極限的基本定義、定理以及函數性質的一個相關研究結論，并由此得到一個普遍規律，即一個數列的上、下極限與一個函數的上、下極限均不滿足四則運算性質，但對于不等式的結論均成立，從定義到例題再到定義，最后較淺研究了次可加函數與上、下極限的聯系，為進一步研究次可加函數與函數上、下極限的聯系提供了思路。