諧波平衡法在壓實(shí)土體參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用研究

李光英

（北京華商遠(yuǎn)大電力建設(shè)有限公司，北京 100070）

0 引言

壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測技術(shù)基于振動(dòng)輪—土系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過對壓實(shí)過程中振動(dòng)輪的加速度信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)分析來得到土體的壓實(shí)指標(biāo)值[1-2]。與傳統(tǒng)抽樣“點(diǎn)測法”相比，壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測技術(shù)具有壓實(shí)狀態(tài)實(shí)時(shí)顯示、全過程壓實(shí)質(zhì)量監(jiān)控等優(yōu)點(diǎn)，近年來，此技術(shù)在土體壓實(shí)方面已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[3]。

建立準(zhǔn)確反映土體壓實(shí)狀態(tài)的指標(biāo)是土體壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測技術(shù)的重要內(nèi)容，許多學(xué)者在此方面已進(jìn)行了大量的研究。Thurner H 等[4]首先通過現(xiàn)場試驗(yàn)，分析了土體壓實(shí)狀態(tài)和振動(dòng)輪加速度基頻及一階諧頻的關(guān)系，提出CMV 指標(biāo)并驗(yàn)證了其適用性。但由于CMV 指標(biāo)僅包含振動(dòng)輪加速度信號(hào)的一階諧波，當(dāng)土體在松散狀態(tài)時(shí)，其可靠度較低。Thompson M 等[5]基于經(jīng)典輪-土動(dòng)力模型，定義壓路機(jī)傳到土壤中能量的大小為指標(biāo)ω，ω 值越大，則土體狀態(tài)越密實(shí)。Mooney M A 等[6]根據(jù)加速度信號(hào)的頻譜提出了總諧波失真指標(biāo)THD，但由于此指標(biāo)對土體壓實(shí)狀態(tài)非常敏感，其適用性有待進(jìn)一步驗(yàn)證。Vennapusa P K R 等[7]基于經(jīng)典輪-土動(dòng)力學(xué)模型，繪制壓實(shí)過程中輪-土接觸力和振動(dòng)輪豎向位移關(guān)系曲線，并定義此曲線的割線模量Evib來反映土體壓實(shí)狀態(tài)。Facas N W 等[8]提出利用土體剛度指標(biāo)評價(jià)土體壓實(shí)狀態(tài)的思路，并根據(jù)輪-土接觸力和振動(dòng)輪豎向位移曲線，定義最大位移對應(yīng)的接觸力與最大位移的比值為指標(biāo)k，但所求k 值并非真實(shí)的壓實(shí)土體剛度。竇蘇廣等[9]基于諧波平衡對非線性參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，提高了識(shí)別的精度。孫廣利等[10]對土釘強(qiáng)變形進(jìn)行模擬，得到了滑移區(qū)域和安全系數(shù)。

上述指標(biāo)中，CMV，THD 指標(biāo)僅基于振動(dòng)輪加速度信號(hào)頻譜分析來判定土體壓實(shí)狀態(tài)，并無明確的力學(xué)意義。Ω，Evib和k 雖然基于經(jīng)典振動(dòng)輪-土動(dòng)力學(xué)模型，具有明確的力學(xué)意義，但由于從能量角度或從力-位移曲線得到相應(yīng)指標(biāo)，并未充分提取振動(dòng)輪的加速度信號(hào)信息。

為此，本文利用土體剛度作為評價(jià)指標(biāo)的思路，基于經(jīng)典振動(dòng)輪-土動(dòng)力學(xué)模型，引入諧波平衡識(shí)別法識(shí)別土體參數(shù)。對振動(dòng)輪加速度信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換，建立土體參數(shù)的識(shí)別方程并利用最小二乘法進(jìn)行求解，得到具有明確力學(xué)意義且包含振動(dòng)輪加速度信號(hào)高階諧波信息的土體壓實(shí)狀態(tài)評判指標(biāo)——土體剛度指標(biāo)ks，且此ks值為真實(shí)的土體剛度值。最后通過仿真試驗(yàn)對此法識(shí)別精度進(jìn)行分析，驗(yàn)證了諧波平衡法在振動(dòng)壓實(shí)土體參數(shù)識(shí)別中的可行性。

1 壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測技術(shù)

1.1 原理

傳統(tǒng)壓實(shí)質(zhì)量檢測方法基于抽樣檢測法，費(fèi)時(shí)費(fèi)力、代表性差且不能實(shí)時(shí)監(jiān)控壓實(shí)質(zhì)量。由于壓實(shí)計(jì)和微電子技術(shù)的發(fā)展，瑞典的GEODYNAMIK和德國的BOMAG 公司于20 世紀(jì)90 年代共同提出了壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測的思想，并已應(yīng)用于道路、鐵路路基、大壩等壓實(shí)作業(yè)中。安裝于壓路機(jī)上的GPS 接收機(jī)，通過GPS 衛(wèi)星實(shí)時(shí)獲取土體對應(yīng)的坐標(biāo)。另一方面，安裝于壓路機(jī)振動(dòng)輪上的加速度計(jì)用來獲取壓實(shí)過程中振動(dòng)輪的加速度，控制器通過對此加速度信號(hào)進(jìn)行分析處理，實(shí)時(shí)顯示相應(yīng)的壓實(shí)指標(biāo)值及土體壓實(shí)狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測。電臺(tái)負(fù)責(zé)將壓實(shí)過程中的數(shù)據(jù)匯總傳送到基站，實(shí)現(xiàn)壓實(shí)作業(yè)遠(yuǎn)程控制。

1.2 土體剛度對檢測指標(biāo)的影響

土體壓實(shí)過程中，隨著土體逐漸密實(shí)，土體剛度隨之增大。而振動(dòng)輪加速度響應(yīng)會(huì)隨土體剛度增加而含有更多的諧波，具體見圖1。

圖1 土體不同壓實(shí)狀態(tài)對應(yīng)的頻譜圖

由圖1 可知，在壓實(shí)過程中振動(dòng)輪加速度信號(hào)頻譜圖會(huì)隨著土體剛度變化發(fā)生實(shí)時(shí)的變化，而壓實(shí)指標(biāo)CMV，CCV 僅分析了加速度的部分諧波，不能準(zhǔn)確反映土體處于松散（僅含基頻）或密實(shí)（含高次諧波）狀態(tài)時(shí)的壓實(shí)情況。所以，利用土體剛度指標(biāo)實(shí)時(shí)評價(jià)土體壓實(shí)質(zhì)量是一個(gè)更合理的方法。

2 振動(dòng)壓實(shí)過程土體參數(shù)識(shí)別

2.1 輪-土動(dòng)力學(xué)模型

利用諧波平衡識(shí)別法識(shí)別壓實(shí)土體參數(shù)時(shí)，需確定合理的振動(dòng)輪-土動(dòng)力學(xué)模型，本文采用經(jīng)典振動(dòng)輪-土動(dòng)力學(xué)模型[8]。假設(shè)輪-土始終接觸，模型簡圖及受力分析如圖2 所示。

圖2 經(jīng)典振動(dòng)輪-土動(dòng)力學(xué)模型及受力分析

由圖2 列出該模型的動(dòng)力學(xué)方程，見式（1）~（3）：

式中：mf，md，me為壓路機(jī)機(jī)架、振動(dòng)輪與偏心塊的等效質(zhì)量；xd為振動(dòng)輪位移；ks為土體的剛度；cs為減振器與土體的阻尼；ω 為激振器的角速度；FD為偏心塊產(chǎn)生的激振力的幅值；FS為輪-土接觸力。

將式（1）改寫為動(dòng)力方程標(biāo)準(zhǔn)形式，如式（4）：

2.2 識(shí)別方程建立

由于壓路機(jī)激振力FD為周期激勵(lì)，由式（4）可知也為周期響應(yīng)，滿足運(yùn)用諧波平衡識(shí)別法的條件[9]。為了建立質(zhì)量比μ，固有頻率ω0的識(shí)別方程，在激振力FD的一個(gè)激勵(lì)周期[0，T]內(nèi)，將及 λsin（ωt）展開成傅里葉級(jí)數(shù)形式，見式（5）~（6）：

振動(dòng)輪加速度及 λsin（ωt）的傅里葉系數(shù) ck，dk計(jì)算如下：

由于壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測系統(tǒng)采用加速度計(jì)量，可實(shí)時(shí)獲取振動(dòng)輪加速度信號(hào)，故振動(dòng)輪位移與速度的傅里葉系數(shù)ak，bk可由加速度傅里葉系數(shù)ck推導(dǎo)得到，具體見下式。

將式（5）~（6）代入式（4），可得下式：

根據(jù)振動(dòng)輪-土系統(tǒng)響應(yīng)的第k 階諧波平衡，式（11）可改寫為：

故式（11）或（12）即為所需識(shí)別的土體參數(shù)質(zhì)量比μ，固有頻率ω0的識(shí)別方程。

2.3 土體參數(shù)求解

由于快速傅里葉變換存在的誤差，式（12）可通過最小二乘法進(jìn)行求解，定義式（13）：

用式（14）表示式(13)的誤差平方和：

分別取諧波數(shù)k=-N，…，N，就可以得到2N+1個(gè)方程來求解待定參數(shù)，實(shí)現(xiàn)參數(shù)識(shí)別：

求解式（15）的方程組，可求得質(zhì)量比μ，固有頻率 ω0的值，由式（4）即可得到土體參數(shù) ks，cs。

2.4 土體參數(shù)識(shí)別算法

由上推導(dǎo)可知，利用諧波平衡識(shí)別法識(shí)別土體參數(shù)大致可分為振動(dòng)輪-土動(dòng)力模型選取、振動(dòng)輪-土系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)傅里葉變換、最小二乘法求解待定參數(shù)3 個(gè)過程。根據(jù)下述算法思路，可編制相應(yīng)的程序進(jìn)行土體參數(shù)識(shí)別。

a) 確定振動(dòng)壓路機(jī)的參數(shù)：mf，md，me和 FD。

b) 獲取并輸入壓路機(jī)激振力的一個(gè)激勵(lì)周期[0，T]內(nèi)的激振力信號(hào)及振動(dòng)輪加速度信號(hào)。

c) 對激振力及加速度信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換，定義所需最大階數(shù)N，并求得振動(dòng)輪加速度傅里葉系數(shù){c-N，c-N+1，…，cN-1，cN}及激振力傅里葉系數(shù){d-N，d-N+1，…，dN-1，dN}。

d) 根據(jù){c-N，c-N+1，…，cN-1，cN}及{d-N，d-N+1，…，dN-1，dN}，求得式（13）的系數(shù)矩陣 G，y，R。

e) 調(diào)用最小二乘法程序，根據(jù)所求系數(shù)矩陣G，y，R，識(shí)別出參數(shù) μ、ω0。

3 參數(shù)識(shí)別仿真實(shí)例

3.1 模型參數(shù)選取

為了模擬壓路機(jī)現(xiàn)場壓實(shí)工況，mf，md，me，ω 及FD采用龍工LG520A 型號(hào)壓路機(jī)實(shí)際施工時(shí)的數(shù)據(jù)。

同時(shí)，為了使模擬更加接近實(shí)際工況，模型中土壤的剛度ks及阻尼cs根據(jù)半無限彈性錐模型進(jìn)行計(jì)算，具體如下：

式中：G 為土體最大剪切模量；ν 為土體泊松比；a 為輪寬度的 1/2；b 為接地印痕寬度；ω 為含水率；ρd為土體密度。G，ν 等各個(gè)參數(shù)根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]進(jìn)行選取，ν=0.35，G=6.72 Mpa。

最終確定的仿真模型參數(shù)匯總于表1。

表1 動(dòng)力模型參數(shù)取值

3.2 識(shí)別過程

將表 1 參數(shù)代入式（2），并設(shè)定初始值 xd（0）=0，x¨d（0）=0.1，步長為 0.001，利用龍格-庫塔法求解此動(dòng)力方程，得到振動(dòng)輪加速度信號(hào)如圖3 所示。將得到的振動(dòng)輪加速度信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變化，得到加速度相應(yīng)的諧波分析圖如圖4 所示。

圖3 振動(dòng)輪加速度時(shí)間歷程圖

圖4 振動(dòng)輪加速度的諧波分析圖

3.3 識(shí)別結(jié)果及分析

調(diào)用最小二乘法程序，求解得到動(dòng)力模型參數(shù)μ，ω0識(shí)別結(jié)果，根據(jù) μ，ω0推算出土體參數(shù) ks，Cs值。識(shí)別結(jié)果及誤差分布見圖5~圖6，選取部分諧波數(shù)對應(yīng)的結(jié)果匯總于表2。

圖5 剛度、阻尼識(shí)別結(jié)果分布圖

圖6 剛度、阻尼識(shí)別誤差分布圖

利用諧波平衡識(shí)別法識(shí)別土體參數(shù)，最終得到質(zhì)量比μ，固有頻率ω0并最終球的土體參數(shù)剛度ks和阻尼Cs的值。剛度和阻尼隨著諧波的增大呈現(xiàn)增大的趨勢，而兩者的識(shí)別誤差則隨著諧波的增大而減小。

由表2 可得，真實(shí)值與采用諧波平衡識(shí)別法得到的結(jié)果比較相近，識(shí)別結(jié)果誤差均＜3%，且識(shí)別誤差隨著諧波數(shù)的增加而遞減。

表2 動(dòng)力模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證參數(shù)的精度，將誤差最大（K=2時(shí)）的識(shí)別結(jié)果代入原動(dòng)力方程中進(jìn)行仿真，并對比識(shí)別后的輪-土系統(tǒng)和真實(shí)輪-土系統(tǒng)的一個(gè)周期內(nèi)的加速度信號(hào)和相圖，具體如圖7~圖8 所示。

由圖7 相似度矩陣可知[12]，振動(dòng)輪加速度真實(shí)解與識(shí)別解的相似度為0.994 5，非常接近1，說明利用識(shí)別的土體參數(shù)得到的振動(dòng)輪加速度信號(hào)與原加速度信號(hào)非常相似。圖8 中兩相圖的相似度為0.996 2，進(jìn)一步說明根據(jù)識(shí)別參數(shù)求解得到的振動(dòng)響應(yīng)與真實(shí)響應(yīng)非常相近。

圖7 振動(dòng)輪加速度時(shí)間歷程圖

圖8 輪-土系統(tǒng)真實(shí)解與識(shí)別解的相圖

由此得到結(jié)論，用諧波平衡識(shí)別法得到的土體剛度指標(biāo)ks具有高可靠性，且具有明確力學(xué)意義，能夠準(zhǔn)確反映土體的壓實(shí)狀態(tài)，且由于ks考慮了高階諧波信息，與僅僅考慮低階諧波信息的CMV 與CCV 等指標(biāo)相比，能夠適用于更多土體狀態(tài)的評價(jià)。

4 結(jié)論

1）在分析現(xiàn)有壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測指標(biāo)存在不足的基礎(chǔ)上，引入諧波平衡識(shí)別法，利用快速傅里葉變換和最小二乘法，推導(dǎo)出壓實(shí)土體參數(shù)識(shí)別方程，并編制了相應(yīng)識(shí)別程序。

2）仿真試驗(yàn)結(jié)果表明所有識(shí)別誤差均＜3%，且識(shí)別誤差隨著諧波數(shù)的增加而遞減，說明該識(shí)別程序具有很高的識(shí)別精度。

3）將識(shí)別的土體參數(shù)代入原動(dòng)力方程，得到的振動(dòng)輪加速度信號(hào)與原加速度信號(hào)的相似度為0.994 5，由此驗(yàn)證了利用諧波平衡法識(shí)別的土體參數(shù)具有很高的可靠度，可準(zhǔn)確反映土體的真實(shí)參數(shù)。

4）與現(xiàn)行指標(biāo)相比，諧波平衡法識(shí)別的土體剛度指標(biāo)ks既有明確的力學(xué)意義且含有加速度信號(hào)的高階諧波信息，能夠更加真實(shí)的反映土體壓實(shí)狀態(tài)，該土體剛度指標(biāo)可以為的土體壓實(shí)質(zhì)量連續(xù)檢測提供新參考指標(biāo)。

5）本文的土體剛度指標(biāo)是基于經(jīng)典輪-土動(dòng)力學(xué)模型提出的，未考慮土體的非線性特性，下一步研究可在考慮土體非線性特性的基礎(chǔ)上識(shí)別出更符合實(shí)際壓實(shí)工況的土體剛度指標(biāo)。