含懸臂梁式易損件及彈性約束的產品跌落沖擊分析

霍銀磊， 姬喜龍

(1.河南科技大學 包裝工程系，河南 洛陽 471000； 2.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471000)

產品在運輸和裝卸過程中會受到各種各樣的外部沖擊，例如意外的碰撞或跌落等。電商的快速發展也為產品系統的抗沖擊性能提出了更高的要求，大多數產品都是包含不同材料、不同結構件的復雜組合體， 很多情況下必須按多自由度分析處理，才能得到較為合理的設計結果[1-4]。為此，Schell[5]、王志偉等[6-7]、高德等[8]、王軍等[9-11]、段寧寧等[12-13]眾多學者考慮了二自由度及多自由度包裝問題，研究了質量比和剛度比對產品響應的影響。

近年來，不少學者將產品中的彈性部件考慮為連續體，研究了包裝系統的跌落沖擊問題。奚德昌等[14-15]討論了雙層商品包裝和具有彈性元件的產品的防震緩沖問題，Suhir等[16-18]針對帶彈性板易損件的產品包裝系統，建立動力學模型，分析了彈性板的跌落沖擊特性。高德等[19-21]分別考慮含有不同類型易損件的產品系統，研究了跌落沖擊過程中易損件位移響應、加速度響應和應力分布的特點，指出決定動力學可靠性的是易損件的最大應力，而不是最大加速度。郝蒙等[22]以含懸臂梁式易損件的三次非線性包裝系統為研究對象，基于L-K法與有限元法探討了易損件位移、加速度響應以及內應力變化規律。

本文以含有彈性約束的懸臂梁式易損件的包裝系統為研究對象，基于Euler梁理論及Hamilton變分原理，建立系統跌落沖擊下的剛柔耦合非線性動力學方程，基于模態分析法討論梁端集中質量及彈性約束對懸臂梁系統的振動頻率的影響；探討沖擊過程中不同的支撐類型及支撐剛度對彈性懸臂梁式易損件的最大位移、最大內應力的影響。研究結論可為此類產品緩沖包裝設計提供參考。

1 系統模型及運動方程

圖1 含梁式易損件的包裝系統跌落動力學模型

以產品-梁式易損件系統為參考對象，則跌落沖擊過程中產品主體位移以y1表示，梁上各點在浮動系中的撓度以w表示。系統的動能可表示為

(1)

系統勢能表示為

(2)

分別對應集中支撐于x=l處和均布支撐情況。

沖擊過程中的外力功可寫為

(3)

根據Hamilton變分原理

(4)

得系統耦合運動方程：

集中支撐于x=l處

(5)

均布支撐，線剛度K2/L：

(6)

以及邊界條件：

集中支撐于x=L處

w(0)=w(0)′=w(L)″=0;

(7)

集中支撐于x=l(l≠L)處，均布支撐：

w(0)=w(0)′=w(L)″=w(L)?=0

(8)

2 運動方程的離散

基于假設模態法和Galerkin截斷法離散運動方程，令彈性附件有如下形式的解

(9)

其中特征函數[23]

考慮端部集中質量，其對應的特征值λi滿足關系

1+cosλicoshλi=

(10)

引入參數：

(11)

得離散的運動方程：

(12)

均布支撐

(13)

初始條件：

(14)

以此可方便地計算出易損件的位移、速度、加速度響應，進而求出易損件的內應力，其中：

(15)

3 討論與分析

3.1 模型檢驗及頻率分析

為了檢驗模型的準確性，不考慮支撐的影響，即令k2=0，利用文獻[22] 系統參數，得到跌落沖擊過程中梁式易損件的最大位移、最大加速度及最大應力隨時間的變化情況如圖2所示，數值結果與文獻吻合度很好。

根據彈性易損件的可靠性定義及相關文獻結論：只要易損梁的最大內應力小于其許用應力，易損梁結構就不會失效破壞。在沒有支撐彈簧的情況下，梁式易損件的最大位移及最大內應力沿梁長方向單調變化，最大位移發生在端部而最大應力位于梁的根部，因此圖2中的根部最大應力既能反映易損梁的強度可靠性。圖3 給出了有支撐情況下易損梁在沖擊過程中的位移分布和應力分布。可以看出，當于k2≠0時，梁式易損件上支撐點的位移受到約束，懸臂梁式易損懸件的最大位移不一定出現在端部，最大應力也不一定出現在根部。因此，后續文中重點關注沖擊過程中梁式易損件的最大位形(發生最大形變時刻梁上點的位置狀態)以及此狀態下易損件的應力分布(圖3中的脊線，粗實線標出)而非梁式附件的端部響應。

圖2 易損件的端部位移、加速度和最大內應力響應Fig.2 The Tip-displacement, acceleration and the maximum internal stress response of the vulnerable component

圖3 易損件沖擊過程中的位移和應力分布(k2=150)Fig.3 The displacement and stress distribution of thevulnerable component during impact (k2=150)

本文以某小型醫學檢驗產品為研究對象，其剛性主體質量m=3 kg；易損檢測探針可視為一圓形截面懸臂梁，截面直徑R=0.002 m，長L=0.1 m，材料密度ρ=7 850 kg/m3,楊氏模量E=200 GPa, 許用內應力[σ]=150 MPa；端部集中質量md=0.01 kg；緩沖泡沫材料等效初始彈性常數k0=600 N/cm，非線性常數e=72 N/cm3；系統跌落高度H=0.6 m。可知其質量比分別為：μ=0.003 3，η=1.014考慮沖擊時間很短，阻尼來不及做功，忽略材料阻尼的影響，即令ζ=0。

圖4給出了k2=0時由特征方程(10)確定的特征值λi隨η的變化關系，特征值λ反映了系統頻率。可以看出隨著質量比η的增大，懸臂梁的各階特征值均逐漸減小；而η對一階特征值的影響較為明顯，表明端部集中質量對易損件的一階振動影響最大。

圖4 易損件的前四階特征值隨質量比η的變化Fig.4 The first four eigenvalues of the vulnerable component

圖5 易損件的各階頻率隨支撐剛度的變化Fig.5 The frequency of the vulnerable component

3.2 不同支撐下的沖擊響應

圖6 產品的跌落沖擊位移響應Fig.6 The dropping shock responses of the packaging system

圖7給出了帶有端部集中質量及彈簧支撐的懸臂附件在沖擊過程中的最大位形圖及最大應力分布，可以看出：一般情況下，梁的最大撓度發生在梁的端部，最大應力發生在梁的根部，只有在當支撐剛度很大時，此時相當于端部簡支，梁端部位移被抑制，最大位移出現在梁的中部，然而此種狀態下梁的最大應力仍出現在根部，這是由于端部的約束僅僅限制了梁的位移而沒限制其截面轉動；在支撐剛度很小時(k2=0.01)，梁的最大位移及內應力較大，分別達到1.27 mm和165 MPa，對于文中給定的系統，最大內應力已大于其許用應力。隨著支撐彈簧剛度的增加，梁的最大撓度減小和最大應力均逐漸減小，在支撐剛度k2=10 100時，梁的最大內應力分別僅有48.7 MPa和17.8 MPa，遠遠小于梁的許用應力，表明增加端部支撐可大大提高沖擊過程中梁的可靠性。圖7(c)給出了沖擊過程中梁的最大應力隨時間的變化曲線，可以看出支撐彈簧剛度的變化對梁的振動頻率沒有明顯的影響，而對沖擊過程中梁的最大內應力影響明顯。

圖7 端部集中支撐懸臂梁式易損件的沖擊響應Fig.7 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with tip concentrated support

圖8 中點集中支撐懸臂梁式易損件的沖擊響應Fig.8 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with midpoint concentrated support

圖9給出了帶有均布彈簧支撐約束的懸臂附件在沖擊過程中的最大位形圖及最大應力分布，類似的：隨著支撐彈簧剛度的增加，梁的最大撓度減小，最大應力也減小；一般情況下，梁的最大撓度發生在梁的端部，最大應力發生在梁的根部，只有在當支撐剛度很大時(k2=100 100)，梁的最大應力可能不在出現在根部，并且隨著剛度增大，最大應力位置向端部移動。當k2=100時，梁的最大內應力為15.6 MPa，基本與端部支撐情況相當，僅為中點支撐時的22.3%。表明增加均布支撐同樣可大大降低梁的內應力，提高沖擊過程中梁的可靠性。

圖9 均布支撐懸臂梁式易損件的沖擊響應(η=1.014)Fig.9 The dropping shock responses of cantilever beam type vulnerable component with uniform support (η=1.014)

圖10給出三種不同類型支撐下懸臂梁式易損附件的最大位移及最大應力隨支撐剛度的變化關系，可以看出：當支撐彈簧剛度較小時，支撐方式對梁應力變化影響不太明顯；隨著支撐剛度增加，當0.130后，支撐剛度影響不明顯。僅當支撐剛度遠大于梁的彎曲剛度時，均布支撐效果最好。

(a) 梁的最大位移

4 結 論

文中考慮含有懸臂梁式易損件的三次非線性包裝系統為研究對象，其中在彈性易損件與剛性產品主體間施加有彈性約束。探討了沖擊過程中不同的支撐類型及支撐剛度對彈性懸臂梁式易損件的頻率、最大位移及最大內應力的影響，主要結論如下：

(1) 彈性易損件的各階自振頻率隨著端部質量的增加而減小，而隨著端部支撐剛度的增加而增大，特別是其一階響應頻率的影響較為明顯；

(2) 對于文中所考慮的系統，彈性支撐對懸臂梁式易損件的沖擊響應具有明顯的抑制作用。當作用于梁的支撐為端部集中支撐時，沖擊過程中梁的最大撓度一般出現在梁的端部，最大內應力出現在梁的根部；只有當支撐剛度足夠大時，最大撓度可能出現在梁的中間部位，最大內應力仍出現在梁的根部；而當集中支撐作用于梁的中點時，沖擊過程中梁的最大撓度仍出現在梁的端部，而最大內應力不一定出現在梁的根部，隨著支撐剛度的增大，最大內應力點由根部向支撐點移動；當作用于梁的支撐為均布支撐時，沖擊過程中梁的最大撓度仍出現在梁的端部，而最大內應力不一定出現在梁的根部，隨著支撐剛度的增大，最大內應力點由根部向端部移動；

(3) 隨著支撐剛度的增大，對于三種支撐情況，梁的最大位移響應及內應力均明顯減小，其中以端部集中支撐效果最好；對于文中所考慮的系統，支撐剛度取0～30時抑制效果最為明顯。