顆粒隨機(jī)填充混合物介電性能仿真的新方法

鐘汝能，鄭勤紅，，向 泰，姚 斌

(1.云南師范大學(xué)能源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，云南昆明，650500；2.云南省光電信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，云南昆明，650500)

1 引言

在材料科學(xué)、電子電氣和電磁工程領(lǐng)域，常常遇到大量基質(zhì)顆粒隨機(jī)分布于基體中的混合物質(zhì)，如金屬基復(fù)合材料、聚合物基復(fù)合材料、含有雜質(zhì)的礦物質(zhì)或自然堆放的粒狀農(nóng)產(chǎn)品等等，研究這類(lèi)混合物的介電性能具有較好的價(jià)值[1]，然而，技術(shù)成本高一直是新材料研發(fā)或物料微波熱加工器件設(shè)計(jì)中的瓶頸問(wèn)題，建立有效的數(shù)值仿真模型先行進(jìn)行性能預(yù)測(cè)已被廣大研究者采用[2，3]。

眾所周知，混合物的等效介電性能依賴(lài)于各組成成分的介電常數(shù)、比例、形狀和位置分布等，且基質(zhì)顆粒在基體中的分布都是非均勻體系，其形狀、大小、位置的存在狀態(tài)并非完全規(guī)則[4]。對(duì)此，學(xué)者們采用不同的技術(shù)方法開(kāi)展了大量的模擬研究[5，6]，其中，Cheng采用ANSYS軟件對(duì)顆粒無(wú)序填充兩相復(fù)合材料的有效介電常數(shù)進(jìn)行了數(shù)值模擬[7]；Rakesh等采用COMSOL多物理場(chǎng)仿真軟件(COMSOL Multiphysics)模擬分析了金屬核殼納米/聚合物介質(zhì)復(fù)合電容器的有效介電性能[8]；Zhao等采用蒙特卡羅法和有限元法模擬計(jì)算了立方晶格三維結(jié)構(gòu)中雙組分復(fù)合材料的復(fù)介電常數(shù)[4]；Jebbor使用有限元法和MATLAB軟件仿真了二維情形下球形顆粒隨機(jī)分布的復(fù)合材料介電性能[9]；浦毅杰基于蒙特卡羅方法，利用ANSYS的APDL參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言，構(gòu)建了隨機(jī)分布納米顆粒增強(qiáng)陶瓷基復(fù)合材料性能數(shù)值分析模型[10]。前人的研究成果為工程的實(shí)際應(yīng)用提供了借鑒，然而，在早期的研究中還面臨著一些可以改進(jìn)的問(wèn)題：①大部分研究主要針對(duì)雙組分混合物而開(kāi)展，且在建立模型時(shí)或多或少假設(shè)了基質(zhì)顆粒在基體中的分布是有序的重復(fù)單元，即顆粒的分布狀態(tài)主要基于結(jié)構(gòu)抽象化和顆粒規(guī)則化兩種類(lèi)型，顆粒的形狀多以球體、立方體、橢球或?qū)訝畹葐我唤Y(jié)構(gòu)形狀為主[11]，這些簡(jiǎn)化后的計(jì)算模型與混合體中顆粒的真實(shí)存在狀態(tài)并非完全吻合；部分學(xué)者開(kāi)展了顆粒無(wú)序分布對(duì)混合物性能的影響研究[12]，但研究?jī)?nèi)容側(cè)重于顆粒的結(jié)構(gòu)形狀或者分布狀態(tài)中的某一方面。②當(dāng)前，針對(duì)多組分混合物和變溫變頻條件下混合物的介電性能模擬分析研究成果鮮見(jiàn)報(bào)道，在常用有限元商用軟件中，COMSOL的多物理場(chǎng)耦合能力使變溫變頻條件下混合物的性能分析成為可能，然而，該軟件中針對(duì)三維情形下顆粒隨機(jī)生成及投放的功能缺失，需用戶自行編制腳本程序來(lái)實(shí)現(xiàn)。

本文采用COMSOL的App開(kāi)發(fā)器，編制了基于蒙托卡羅方法的顆粒隨機(jī)生成和投放程序，構(gòu)建了基質(zhì)顆粒的空間位置、形狀和體積在基體中隨機(jī)分布的立方體多胞有限元模型，通過(guò)對(duì)數(shù)值結(jié)果的比較分析驗(yàn)證了方法的可行性和有效性，以期為混合物性能的深入模擬分析提供一種借鑒方法。

2 仿真原理和模型

2.1 顆粒填充混合物等效介電特性的仿真原理

當(dāng)混合物中顆粒的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電磁波波長(zhǎng)時(shí)，可用準(zhǔn)靜態(tài)條件下的平行板電容器模型分析混合物的等效介電特性[6]。如圖1所示，平行板電容器上、下極板的電勢(shì)分別為φ1=1V、φ2=0V，側(cè)面邊界條件為?φ/?n=0，極板間為混合物。

圖1 顆粒填充雙組分混合物模擬模型

在有限元方法中，每個(gè)網(wǎng)格單元所擁有的靜電能為

(1)

式中，εk和Vk分別表示第k個(gè)單元的介電特性和體積。混合體所諸存的靜電能為

(2)

由電磁理論可知，圖1所示電容器中所存儲(chǔ)的靜電能可等效地表示為[13]

(3)

式中，φ1-φ2為兩個(gè)極板之間的電勢(shì)差，d為兩個(gè)極板之間的距離，S為極板的面積，ε0=8.85×10-12F/m，εeff為混合物等效介電特性。

令Wc=We，由式(2)、(3)即可獲得圖1所示電容器中混合物的等效介電特性(εeff)。

在分析微波頻段下導(dǎo)電型混合物的介電特性時(shí)，物質(zhì)的介電特性εk=1-j(σ/ωε0)，其中σ為電導(dǎo)率，ω為角頻率(ω=2πF)，F(xiàn)為微波頻率。

為準(zhǔn)確模擬計(jì)算各向同性混合物的介電特性，可生成同一條件下的多個(gè)模擬模型，取其所有模型計(jì)算結(jié)果的平均值作為數(shù)值結(jié)果，即:

(4)

2.2 隨機(jī)顆粒填充混合物的模型構(gòu)建

2.2.1 模型構(gòu)建思路

設(shè)定一個(gè)大的立方體(或長(zhǎng)方體)代表基體，假設(shè)立方基體中可以劃分出很多相似的小立方單元，每個(gè)單元由小立方基體和中心在立方對(duì)稱(chēng)中心附近、邊界不超出單元邊界的介質(zhì)顆粒構(gòu)成。與傳統(tǒng)模型不同的是該單元不再是重復(fù)單元，即每個(gè)單元中顆粒的位置、大小和形狀是隨機(jī)分布的；對(duì)于同一個(gè)顆粒，它可能隨機(jī)出現(xiàn)在所劃分出的任意一個(gè)小立方單元中，顆粒的中心也沒(méi)有固定在小立方對(duì)稱(chēng)中心，而是結(jié)合顆粒的結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)分布在小立方對(duì)稱(chēng)中心附近。

2.2.2 顆粒生成及投放步驟

1)在COMSOL軟件的“App開(kāi)發(fā)器”中創(chuàng)建“Model method”，在“聲明”中定義不同的數(shù)組、變量分別儲(chǔ)存各顆粒的位置坐標(biāo)值、體積值、體積比和結(jié)構(gòu)參數(shù)。

2)將基體劃分為M×N×P個(gè)相似的小單元，M、N、P根據(jù)混合物的基體結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)置，文中選取M=N=P=10。

3)根據(jù)實(shí)際需求，使用“錄制”方法生成不同結(jié)構(gòu)形狀顆粒的建模代碼備用，根據(jù)需要將代碼嵌入到主程序中，設(shè)置結(jié)構(gòu)參數(shù)變化范圍，使用隨機(jī)函數(shù)(Math.random)分步生成顆粒的隨機(jī)位置坐標(biāo)參數(shù)和隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

4)將每組隨機(jī)數(shù)與小立方單元中的填充顆粒建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，將隨機(jī)值賦予擬生成顆粒，并通過(guò)程序判斷語(yǔ)句，確保顆粒不溢出小單元、顆粒間可以接觸但不重疊。

5)設(shè)定顆粒數(shù)量，編制程序?qū)⒔殡娦阅芟嗤念w粒設(shè)定為同一個(gè)“累積”，累積的數(shù)量根據(jù)混合物中顆粒的種類(lèi)確定。

6)運(yùn)行method方法，實(shí)現(xiàn)顆粒的隨機(jī)生成及投放。

2.2.3 有限元模型構(gòu)建和賦值

執(zhí)行method程序，在指定區(qū)域生成立方體模型和顆粒模型，使用布爾運(yùn)算將立方體區(qū)域減去顆粒區(qū)域即得到基體區(qū)域，形成“聯(lián)合體”，完成模型構(gòu)建。作為示例，圖2顯示了不同形狀顆粒填充混合物的三維模型圖，其中圖2(A)為球狀顆粒模型圖，圖2(B)為球狀和立方狀顆粒混合模型圖，圖2(C)為球狀、立方狀和橢球狀顆粒混合模型模型圖。

圖2 不同形狀顆粒填充混合物的三維模型圖、顆粒網(wǎng)格剖分示意圖

使用COMSOL網(wǎng)格剖分功能中的“物理場(chǎng)控制網(wǎng)格”對(duì)模型進(jìn)行自由四面體網(wǎng)格剖分，并采用“中等”優(yōu)化級(jí)別進(jìn)行單元質(zhì)量?jī)?yōu)化，圖2(D)顯示了圖2(B)所示模型中顆粒網(wǎng)格的剖分情況。在材料屬性中選取基體區(qū)域進(jìn)行屬性賦值，選擇“累積”對(duì)不同的基質(zhì)顆粒進(jìn)行物理屬性賦值。

可以看出，通過(guò)本程序可以實(shí)現(xiàn)任意不同結(jié)構(gòu)形狀的顆粒在不同體積分?jǐn)?shù)下的隨機(jī)化混合生成和投放，該模型更符合實(shí)際工程中基質(zhì)顆粒物質(zhì)在基體中的真實(shí)狀態(tài)，且能實(shí)現(xiàn)多種組成成分混合物的模擬模型構(gòu)建。

3 結(jié)果和討論

3.1 隨機(jī)模型的有效性

采用球狀顆粒數(shù)值計(jì)算得到ε1/ε2為1/10時(shí)混合物等效介電常數(shù)εeff與體積分?jǐn)?shù)fv的關(guān)系(見(jiàn)圖3)，每個(gè)體積分?jǐn)?shù)計(jì)算50個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)后取其平均值作為最終結(jié)果。將計(jì)算結(jié)果與Maxwell Garnet (MG)、Bruggeman、JayaSundere Smith (JS)等經(jīng)典模型[14]進(jìn)行比較，結(jié)果表明，體積分?jǐn)?shù)計(jì)算范圍fv∈(0，50%)的數(shù)值結(jié)果介于JS與Bruggeman之間，基質(zhì)顆粒的體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)(fv<20%)四種模型結(jié)果比較接近，基質(zhì)顆粒的體積分?jǐn)?shù)較大時(shí)(fv>20%)數(shù)值計(jì)算結(jié)果介于JS模型和Bruggeman模型之間，但與MG模型相差較大。對(duì)于MG、Bruggeman和JS模型來(lái)說(shuō)，MG主要適用于基質(zhì)的體積分?jǐn)?shù)相對(duì)較小時(shí)的球狀顆粒情形，體積分?jǐn)?shù)增大后會(huì)逐漸形成拓?fù)湮⒔Y(jié)構(gòu)，此時(shí)計(jì)算值會(huì)偏小；Bruggeman模型在計(jì)算兩相無(wú)明顯包圍的對(duì)稱(chēng)有效介質(zhì)時(shí)能獲得較好的結(jié)果[15]；而JS模型考慮了混合物中各組成成分之間相互作用。所以數(shù)值計(jì)算結(jié)果在基質(zhì)的體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)與3種經(jīng)典模型吻合較好，而在體積分?jǐn)?shù)較高時(shí)偏離MG模型，與Bruggeman模型和JS模型接近，這種變化趨勢(shì)是正確的，說(shuō)明所建立的隨機(jī)模型是有效的。

圖3 隨機(jī)模型數(shù)值結(jié)果與經(jīng)典理論對(duì)比情

圖4 隨機(jī)模型數(shù)值結(jié)果的分布情況

3.2 數(shù)值方法的有效性

3.3 顆粒結(jié)構(gòu)形狀對(duì)混合物介電性能的影響

以聚偏氟乙烯雙組分復(fù)合材料為對(duì)象(ε1=1、ε2=2.61+0.12j)，采用隨機(jī)模型計(jì)算了顆粒為不同結(jié)構(gòu)形狀時(shí)混合體的等效介電常數(shù)，其中，A、B、C、D、E分別表示基質(zhì)顆粒為球狀、立方狀、長(zhǎng)方狀、圓柱狀和橢球狀。圖5(a)結(jié)果表明，當(dāng)顆粒的體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)(fv<20%)，顆粒結(jié)構(gòu)形狀對(duì)等效介電特性的影響不明顯；當(dāng)顆粒的體積分?jǐn)?shù)相對(duì)較大時(shí)(fv>20%)，等效介電常數(shù)大小與顆粒結(jié)構(gòu)形狀的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：εD>εA+B>εB>εA+C>εC>εA+D>εA>εD+E>εA+E>εE。分析可得，顆粒結(jié)構(gòu)形狀為D(圓柱狀)和A+B(球狀+立方狀)時(shí)計(jì)算結(jié)果相對(duì)較大，此時(shí)數(shù)值結(jié)果與實(shí)測(cè)值[17]更加接近；顆粒結(jié)構(gòu)為E(橢球狀)時(shí)計(jì)算結(jié)果相對(duì)較小，這是由于橢球的特殊規(guī)則結(jié)構(gòu)導(dǎo)致了粒子內(nèi)偶極矩方向稍稍偏離[18]；其余結(jié)構(gòu)形狀對(duì)應(yīng)的等效介電常數(shù)介于εD和εE之間。為便于比較，圖5(b)顯示了ε1/ε2=1/10時(shí)4種不同結(jié)構(gòu)形狀下εeff與fi對(duì)應(yīng)關(guān)系，圖示表明，當(dāng)基質(zhì)顆粒和基體的介電常數(shù)比相對(duì)較大時(shí)，上述趨勢(shì)更加明顯。

圖5 顆粒結(jié)構(gòu)形狀對(duì)介電常數(shù)的影響

3.4 雙組分混合物的等效介電性能分析

以聚偏氟乙烯雙組分復(fù)合材料為對(duì)象(ε1=1、ε2=2.61+0.12j)，采用球狀顆粒計(jì)算得到了混合體等效介電常數(shù)εeff與填充比f(wàn)v的關(guān)系如圖6所示，將數(shù)值結(jié)果與顆粒規(guī)則分布、位置隨機(jī)分布和實(shí)測(cè)值[17]進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，由于隨機(jī)模型考慮了顆粒的空間位置和體積的隨機(jī)性，與顆粒為簡(jiǎn)立方分布、面心立方分布、位置隨機(jī)分布時(shí)相比，數(shù)值結(jié)果更接近實(shí)測(cè)值，說(shuō)明該隨機(jī)模型具有更好的準(zhǔn)確性。但精確地講，無(wú)論是有序分布還是隨機(jī)分布，計(jì)算結(jié)果比實(shí)測(cè)值都小一些，這可能與模擬顆粒的結(jié)構(gòu)形狀單一、顆粒的高階多極矩貢獻(xiàn)及多重散射效應(yīng)引起的附加損耗有關(guān)[19]。

圖6 采用隨機(jī)模型計(jì)算的介電常數(shù)數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)值的比較(聚偏氟乙烯復(fù)合材料)

為評(píng)價(jià)隨機(jī)模型在高介電常數(shù)比情況時(shí)的準(zhǔn)確性，以BaTiO3/PVDF復(fù)合材料為對(duì)象(ε′BaTiO3=2000、ε′PVDF=9.6)，采用球狀顆粒和立方顆粒計(jì)算得到體積分?jǐn)?shù)為5%、10%、15%、20%時(shí)，得到復(fù)合材料等效介電常數(shù)分別為11.92、14.44、16.57、19.78，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值相吻合[20]。

3.5 多組分混合物的等效介電性能分析

以硅基氮化物陶瓷復(fù)合材料(SiO2-AIN-BN)為對(duì)象，使用隨機(jī)模型計(jì)算三組分復(fù)合材料的等效介電常數(shù)，基體為SiO2(εSiO2=4.2-0.002j)，設(shè)定球狀顆粒為第一基質(zhì)相AIN(εAIN=8.8-0.076j)，立方狀顆粒為第二基質(zhì)相BN(εBN=5-0.040j)。選取各組分的體積分?jǐn)?shù)比f(wàn)SiO2:fAIN:fBN=7:1:2，得到SiO2-AIN-BN復(fù)合材料的等效介電常數(shù)為εeff=4.7286-0.0267j，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值[21]相吻合。

4 結(jié)論

1)基于蒙托卡羅法的顆粒隨機(jī)生成、投放程序，可以實(shí)現(xiàn)基質(zhì)顆粒的空間位置和體積在基體中的隨機(jī)分布，隨機(jī)模型更符合現(xiàn)實(shí)工程材料中顆粒的真實(shí)存在狀態(tài)，模型適用于二維、三維情形下混合體的介電性能分析。

2)基于能量法原理和有限元理論的數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析表明，基質(zhì)顆粒的空間位置和結(jié)構(gòu)形狀對(duì)數(shù)值結(jié)果有影響，選擇長(zhǎng)徑比相對(duì)較大的圓柱狀顆粒(D)或球狀、立方狀組合顆粒群(A+B)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，能獲得與實(shí)測(cè)值更加接近的數(shù)值結(jié)果。

3)在隨機(jī)模型中，將不同的基質(zhì)顆粒設(shè)定為相應(yīng)的結(jié)構(gòu)形狀和“累積”，可自由實(shí)現(xiàn)多種組分的顆粒生成和介電參數(shù)賦值并進(jìn)行仿真計(jì)算，這為多組分(各組分的形狀各異)混合體的介電性能研究提供一種可借鑒方法。

4)在隨機(jī)模型的基礎(chǔ)上，充分利用COMSOL的多物理場(chǎng)耦合功能，可對(duì)變溫變頻條件下顆粒填充混合物的傳熱傳質(zhì)過(guò)程進(jìn)行模擬仿真分析，相關(guān)研究將在下一步工作中開(kāi)展。