面向溫度變化的相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)模型研究

劉麗偉，趙子君，朱緒康，許 倩

(長春工業(yè)大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長春 130012)

1 引言

隨著航空航天光學(xué)儀器分辨力的提高，高空或空間熱環(huán)境的溫度變化會引起圖像發(fā)生偏移，對光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量造成的影響已經(jīng)不容忽視。溫度變化對相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)的影響主要和三個方面有關(guān):第一，光學(xué)材料的折射率會隨溫度的變化而改變，此現(xiàn)象致使光學(xué)系統(tǒng)的焦距、主點(diǎn)位置以及畸變系數(shù)發(fā)生變化;第二，溫度的變化會導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)不同組件(如探測器靶面、鏡頭、支撐結(jié)構(gòu)等)的膨脹或收縮，從而改變鏡頭的厚度、曲率半徑和表面形狀，進(jìn)而導(dǎo)致焦距、主點(diǎn)位置的變化；第三，由于鏡筒材料的熱膨脹和冷收縮，光學(xué)元件之間的間距會發(fā)生變化[1，2]。因此，在光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計中，降低溫度變化的影響是十分必要的，尤其是對于精度要求較高的光學(xué)系統(tǒng)。

對于此問題的研究起源于上世紀(jì)40年代，J.W.Perry等人研究了均勻溫度變化對光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響[3]。隨后有一些研究人員通過有限元分析的方法討論了溫度變化對光學(xué)系統(tǒng)材料特性、結(jié)構(gòu)形變以及像面位移等問題進(jìn)行了分析[4，5]。由于這些研究目的是為無熱化技術(shù)[6]提供理論支撐，雖然無熱化成像技術(shù)可以有效地提高成像質(zhì)量，但不能完全消除溫度變化對光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)的影響。因此缺少對于基于幾何光學(xué)參數(shù)溫變模型的研究，目前該領(lǐng)域的研究仍然較少，缺少成熟的理論模型。

Podbreznik等人提出一種簡單的模型，用于消除由特定溫度條件引起的測量誤差[7]。然而此模型是基于光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)及相機(jī)姿態(tài)不隨溫度變化的假設(shè)前提下，故該模型的應(yīng)用范圍和精度十分有限。Smith和Cope通過將鏡頭放置在恒溫箱，取出后再進(jìn)行安裝標(biāo)定的方法，研究了相機(jī)參數(shù)隨溫度的變化情況，但每次拆裝過程中會不可避免的引起機(jī)械結(jié)構(gòu)的改變。由于光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)隨溫度變化的變化量本身就很小，因此無法確定其測量結(jié)果是否與拆裝過程中機(jī)械結(jié)構(gòu)改變有關(guān)，該測量方法不夠嚴(yán)謹(jǐn)[8]。Handel研究了相機(jī)溫度上升過程中，對圖像處理的影響問題，并給出了相應(yīng)的補(bǔ)償方法。在該模型中，投影中心不變，且光學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)參數(shù)需保持不變。事實(shí)上，真實(shí)環(huán)境溫度變化引起的熱膨脹會改變光學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)參數(shù)，可見，此模型的假設(shè)也是不準(zhǔn)確的[9，10]。姜廣文團(tuán)隊通過半物理仿真和有限元分析相結(jié)合的方法研究了攝像測量中的溫度效應(yīng)及消除方法[11，12，13]。從以上文獻(xiàn)分析中可以看出，目前對于光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)隨溫度變化影響機(jī)理的研究還不夠充分。

本文主要研究了相機(jī)內(nèi)參數(shù)隨溫度變化的關(guān)系模型。首先介紹了相機(jī)的成像模型和實(shí)驗(yàn)設(shè)備。實(shí)驗(yàn)表明，溫度變化會引起相機(jī)拍攝的圖像點(diǎn)位置發(fā)生變化。同時，仿真證明了參數(shù)的變化會導(dǎo)致圖像點(diǎn)位置發(fā)生變化。然后通過像點(diǎn)位置變化量和相機(jī)成像過程提出了圖像點(diǎn)位置漂移模型。再通過曲線擬合方式得到了溫度變化與內(nèi)參數(shù)變化的關(guān)系模型。最后，驗(yàn)證了該模型能夠有效地降低受溫度影響的圖像點(diǎn)位置漂移量，從而說明該模型可以減小溫度對相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)的影響。

2 相機(jī)模型和實(shí)驗(yàn)設(shè)備

2.1 相機(jī)模型

為了研究溫度對相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的影響，首先要研究相機(jī)成像原理[14]。相機(jī)成像的過程就是從三維空間轉(zhuǎn)換到二維空間。針孔成像模型是理想的成像模型。由于本文研究的是溫度變化對相機(jī)內(nèi)參數(shù)的影響，因此在成像過程中選擇針孔成像模型來實(shí)現(xiàn)從三維坐標(biāo)系到二維坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。假設(shè)現(xiàn)實(shí)世界中任意一點(diǎn)P的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)為Pw(Xw，Yw，Zw)，該點(diǎn)相對應(yīng)的相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為Pc(Xc，Yc，Zc)，對應(yīng)的像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為p(u，v)。

1)世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系：這兩個坐標(biāo)系的變換屬于剛體變換，只需要進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移。其關(guān)系可表示為

Pc=RPw+t

(1)

2)相機(jī)坐標(biāo)系到像素坐標(biāo)系：相機(jī)坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)Pc(Xc，Yc，Zc)對應(yīng)的像素坐標(biāo)系中的投影點(diǎn)齊次坐標(biāo)為p(u，v，1)，則這兩點(diǎn)關(guān)系可表示為

Zcp=KPc

(2)

其中

(3)

K矩陣中這4個參數(shù)只和相機(jī)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān)。f為焦距，dx和dy分別是每個像素在圖像平面x和y方向上的物理尺寸。u0和v0表示平移距離，與相機(jī)成像平面的大小相關(guān)。

2.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

為了研究溫度變化與光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)變化的數(shù)學(xué)模型，必須通過實(shí)驗(yàn)的方法采集真實(shí)環(huán)境中溫度變化與光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)變化的數(shù)據(jù)集。

溫控箱的箱體分為外側(cè)固定支撐部分和內(nèi)部保溫層兩部分。在鏡筒表面覆蓋導(dǎo)熱材料，并在導(dǎo)熱材料上粘貼多組半導(dǎo)體加熱/制冷片以及溫度傳感器，溫控系統(tǒng)通過分別控制多組半導(dǎo)體加熱/制冷片的電流大小和方向模擬溫度的快速變化，并通過溫度傳感器對溫度變化進(jìn)行實(shí)時監(jiān)控，實(shí)現(xiàn)了對溫變環(huán)境的模擬功能。箱體的正面留出鏡頭孔，外面再用圓形玻璃罩住，用膠水粘好，防止空氣流動，光線又能透過玻璃進(jìn)入鏡頭里面。箱體的側(cè)面留出引線孔，方便信號線、控制線、半導(dǎo)體制冷片引線和溫度傳感器信號線的引出。實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖1所示，主要分為三部分，其中圖(a)為12×9棋盤格標(biāo)定板，圖(b)為實(shí)時顯示當(dāng)前鏡筒溫度的液晶顯示屏，圖(c)為控制鏡頭溫度變化的溫控箱。

圖1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

采用半導(dǎo)體加熱/制冷片可以快速實(shí)現(xiàn)溫度變化，在面向內(nèi)參數(shù)變化時，不僅控制精度更高，還能減少其它因素的影響。其中，鏡頭的型號為EB10210GDJ·HR，選自福建福光公司，半導(dǎo)體加熱/制冷芯片采用TEC1-127，溫度傳感器選用DS18B20。在鏡筒的四個方向都設(shè)置了溫度傳感器，為了短時間內(nèi)可以快速對鏡頭控溫，最后以平均溫度作為基準(zhǔn)。

3 溫度影響與建模

3.1 溫度對光學(xué)系統(tǒng)的影響

溫度變化會導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)不同組件的膨脹或收縮和光學(xué)材料折射率的變化，這些都會帶來光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的變化，從而影響相機(jī)的測量精度。

光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)受溫度變化的影響可以通過實(shí)驗(yàn)直觀體現(xiàn)為像平面中的點(diǎn)位置漂移現(xiàn)象，隨機(jī)選取了在16℃和45℃時拍攝的標(biāo)定板照片，并對中間80個像點(diǎn)數(shù)據(jù)做處理。如圖2所示，其中圖(a)為像點(diǎn)位置的整體漂移效果，可以看出來在不同的環(huán)境溫度下，圓圈沒有重合，也就是像點(diǎn)位置發(fā)生了變化，便于結(jié)果更突出顯示，對圖(a)選取部分點(diǎn)進(jìn)行局部放大，如圖(b)所示，明顯看到圓圈位置發(fā)生漂移。說明像點(diǎn)位置會隨著環(huán)境溫度的變化而變化

圖2 漂移現(xiàn)象

3.2 仿真驗(yàn)證

利用MATLAB對攝像機(jī)成像過程進(jìn)行仿真，同樣可以清楚地看到當(dāng)內(nèi)參數(shù)發(fā)生變化時，圖像點(diǎn)的位置也會發(fā)生變化。如圖3所示，其中圖3(a)為主點(diǎn)u0和v0增加1/100倍后的效果，很明顯可以看出，圓圈發(fā)生了漂移現(xiàn)象，沒有重合；圖3(b)為焦距f增加1/100倍后的效果，可以看出圓圈有向中間“聚攏”的現(xiàn)象。從這里也能看出來，內(nèi)參數(shù)對像點(diǎn)位置的影響效果是不同的。由于光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)受溫度影響的變化量本身就很小，下圖為坐標(biāo)放大1000倍后的效果。

圖3 仿真漂移現(xiàn)象

3.3 圖像點(diǎn)漂移模型

溫度變化是通過影響光學(xué)系統(tǒng)組件形變和材料折射率使得其內(nèi)參數(shù)發(fā)生變化，進(jìn)而影響光學(xué)系統(tǒng)性能。因?yàn)闇囟茸兓蛨D像點(diǎn)位置漂移量之間的關(guān)系是易得的，因此為了從理論上研究溫度變化對光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的影響，首先需要建立圖像點(diǎn)坐標(biāo)漂移量和參數(shù)變化量之間的關(guān)系模型，這樣可以間接得到溫度變化與內(nèi)參數(shù)變化之間的模型關(guān)系。

以棋盤格中心點(diǎn)坐標(biāo)建立世界坐標(biāo)系，點(diǎn)Pw(Xw，Yw，Zw)為該坐標(biāo)系中一點(diǎn)。設(shè)K′為溫度變化后的內(nèi)參數(shù)矩陣，對應(yīng)的變化后的圖像像素坐標(biāo)系中的投影點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為p′(u′，v′，1)，模型建立過程如下：

首先將變化后的內(nèi)參數(shù)矩陣K′和變化后的投影點(diǎn)坐標(biāo)p′(u′，v′ )代入式(2)，得

Zcp^′=K′Pc

(4)

用δK表示內(nèi)參數(shù)矩陣的變化量，像點(diǎn)坐標(biāo)u和v的變化量分別用δu和δv表示，則

K′=K+δK

(5)

(6)

其中

(7)

將(5)-(7)代入(4)，得

(8)

用式(8)減去式(2)得

(9)

將式(7)代入式(9)并展開得

(10)

用線性方程組形式來表示，得

(11)

上式中的i表示第i個點(diǎn)(i從1開始)。

其中

X=(δu0，δv0，δf/dx，δf/dy)T

(12)

通過求解上面的方程組即可得到圖像點(diǎn)坐標(biāo)漂移量和內(nèi)參數(shù)變化量的關(guān)系，即圖像點(diǎn)漂移模型。

3.4 溫度變化和內(nèi)參數(shù)變化的關(guān)系模型

通過上一節(jié)已經(jīng)得到圖像點(diǎn)坐標(biāo)漂移量和參數(shù)變化量的關(guān)系，然后經(jīng)過多組實(shí)驗(yàn)可以得到溫度變化和像點(diǎn)位置漂移量的離散點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系，再借由漂移模型得到參數(shù)變化量，進(jìn)而可以得到溫度變化和內(nèi)參數(shù)變化量之間的關(guān)系模型。下面采用曲線擬合方式來建立溫度變化和內(nèi)參數(shù)變化之間的關(guān)系模型。如式(13)所示

f(x)=a0+a1×cos(x×w)+b1×sin(x×w)+a2×cos(2×x×w)+b2×sin(2×x×w)

(13)

其中，輸入為x表示溫度的變化量，輸出為f(x)表示內(nèi)參數(shù)的變化量。a0、a1、a2、b1、b2、w是模型系數(shù)。從該模型可以得到溫度變化與參數(shù)變化之間的關(guān)系。內(nèi)參數(shù)隨溫度變化的擬合曲線如圖4所示，(a)、(b)、(c)分別對應(yīng)參數(shù)δu0、δv0δ、δf(dx和dy固定不變)。

圖4 擬合曲線

4 模型驗(yàn)證

從上面可以看出，通過溫度的變化量可以得到內(nèi)參數(shù)的變化量，然后通過內(nèi)參數(shù)的變化量又可以得到圖像點(diǎn)的漂移量，為了驗(yàn)證該模型，進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)。

如圖5所示:設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)溫度為20℃，隨機(jī)選取其它溫度下的圖像點(diǎn)，其中“x”表示原始點(diǎn)集的漂移量，“.”表示經(jīng)過模型修正后的點(diǎn)集漂移量。

圖5 模型驗(yàn)證

從上圖中可以看出，原本分散的圖像點(diǎn)集經(jīng)模型修正后都集中在左下角。圖像點(diǎn)集在x方向上的漂移量由大約2.5個像素下降到了0.3個像素左右，在y方向上的漂移量由大約0.7個像素下降到了0.3個像素左右。為了更直觀地顯示模型的修正效果，直接將溫度差為20℃左右的兩個點(diǎn)集漂移量進(jìn)行比較，如圖6所示。其中圖(a)表示x方向的偏移量減小效果，圖(b)表示y方向的偏移量減小效果。

圖6 漂移量比較

從上圖中可以看出，漂移量在x方向上從2個像素左右降低到0.3個像素左右，在y方向上的偏移量從大約0.7個像素左右降低到0.2個像素左右。該實(shí)驗(yàn)說明受溫度變化影響的漂移量經(jīng)過該模型修正后能夠有效改善。

5 結(jié)論

溫度變化會導(dǎo)致航天相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)不同組件的膨脹或收縮和光學(xué)材料折射率的變化，這些都會帶來光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的變化，從而影響相機(jī)的測量精度。因此，對于溫度變化影響的分析和修正是必不可少的。本文首先分析了溫度變化對相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)的影響機(jī)理，然后通過圖像點(diǎn)漂移現(xiàn)象建立了圖像點(diǎn)位置漂移模型，在此基礎(chǔ)之上利用曲線擬合方式建立溫度變化與內(nèi)參數(shù)變化的關(guān)系模型，最后通過實(shí)驗(yàn)對該模型進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，該模型可以有效地減小溫度變化對相機(jī)測量的影響。