基于遺傳算法的MFAC參數(shù)尋優(yōu)

馮增喜，李丙輝，張 聰

(1.西安建筑科技大學(xué)建科學(xué)院，陜西 西安 710055；2.安徽建筑大學(xué)智能建筑與建筑節(jié)能安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230022)

1 引言

無(wú)模型自適應(yīng)控制(Model Free Adaptive Control，MFAC)是一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的先進(jìn)控制方法，它不依賴于對(duì)象數(shù)學(xué)模型，僅基于被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)控制器，且能實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制[1]。無(wú)模型自適應(yīng)控制具有廣泛的適用性，目前已經(jīng)在自動(dòng)泊車、機(jī)器人、側(cè)旋翼飛行器等多領(lǐng)域得到了應(yīng)用[2-3]。對(duì)于相同的控制系統(tǒng)，控制器參數(shù)不同導(dǎo)致控制效果不同，因此，在控制過(guò)程中更快、更準(zhǔn)確地設(shè)定合適的控制器參數(shù)顯得尤為重要。然而，目前針對(duì)MFAC控制器4個(gè)參數(shù)的尋優(yōu)方法十分有限，且不成熟，也沒(méi)有系統(tǒng)化。文獻(xiàn)[4]在PID控制器參數(shù)整定方法的基礎(chǔ)上提出了基于臨界比例度參數(shù)整定法、Z-N經(jīng)驗(yàn)的參數(shù)整定方法、基于Cohen-Coon參數(shù)整定方法以及基于最速下降的參數(shù)整定法，控制性能有待提高；文獻(xiàn)[5]提出了基于單純形法的MFAC參數(shù)尋優(yōu)法，但對(duì)初始參數(shù)設(shè)定有一定的要求；文獻(xiàn)[6]提出了基于二階泛模型的改進(jìn)的無(wú)模型自適應(yīng)控制器，并在此基礎(chǔ)上提出了基于下降梯度法的參數(shù)優(yōu)化整定方法。總的來(lái)說(shuō)，關(guān)于MFAC參數(shù)整定和優(yōu)化的研究還處于探索階段，需進(jìn)一步的深化和拓展。因此，本文采用遺傳算法 (Genetic Algorithm，GA)對(duì)MFAC控制器參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。

2 無(wú)模型自適應(yīng)控制

MFAC是一種針對(duì)非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)方法，侯忠生教授于1994年在其博士論文中首次提出，逐漸形成一套完整的理論體系[7]。MFAC是在閉環(huán)系統(tǒng)的每個(gè)工作點(diǎn)處建立非線性系統(tǒng)等價(jià)的動(dòng)態(tài)線性數(shù)據(jù)模型，利用受控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)在線估計(jì)系統(tǒng)的偽偏導(dǎo)數(shù)(pseudo partial derivative，PPD)、偽梯度和偽雅可比矩陣參數(shù)，然后設(shè)計(jì)加權(quán)一步向前的控制器，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的無(wú)模型自適應(yīng)控制[8]。由于具有以下4個(gè)優(yōu)點(diǎn):1)控制器設(shè)計(jì)不依賴受控系統(tǒng)的模型信息，僅需要被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)；2)不需要任何外在的實(shí)驗(yàn)信號(hào)、測(cè)試信號(hào)和訓(xùn)練過(guò)程；3)計(jì)算量小，方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單；4)可實(shí)現(xiàn)帶有參數(shù)變化和結(jié)構(gòu)變化的非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制[8]，使MFAC得以廣泛應(yīng)用。MFAC數(shù)據(jù)模型有緊格式動(dòng)態(tài)線性化、偏格式動(dòng)態(tài)線性化和全格式動(dòng)態(tài)線性化等三種形式，本文采用基于緊格式動(dòng)態(tài)線性化的無(wú)模型自適應(yīng)控制進(jìn)行研究。

2.1 無(wú)模型自適應(yīng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

考慮如下SISO離散時(shí)間非線性系統(tǒng)

y(k+1)=f(y(k)，…，y(k-ny)，u(k)，…，u(k-nu))

(1)

其中y(k)∈R，u(k)∈R分別表示系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸出和輸入；ny，nu是兩個(gè)未知的正整數(shù)；f(…)為未知的非線性函數(shù)。

為了得到系統(tǒng)(1)控制方案，提出如下兩個(gè)假設(shè)：

假設(shè)1：除有限時(shí)刻點(diǎn)外，f(…)關(guān)于第(ny+2)個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的[8]；

假設(shè)2：除有限時(shí)刻點(diǎn)外，系統(tǒng)(1)滿足廣義Lipschitz條件[8]，即對(duì)任一時(shí)刻k1≠k2，k1，k2≥0時(shí)，當(dāng)u(k1)≠u(k2)有

|Δy(k+1)|≤b|Δu(k)|

(2)

式中：Δy(k+1)=y(k+1)-y(k);b>0是一個(gè)常數(shù)；Δu(k)=u(k)-u(k-1)。

在滿足上述兩個(gè)假設(shè)的情況下，可得到系統(tǒng)式(1)的泛模型，即

y(k+1)=y(k)+φ(k)Δu(k)

(3)

式中：φ(k)∈R為系統(tǒng)式(1)的偽偏導(dǎo)數(shù)(pseudo partial derivative，PPD)。

2.2 控制算法

考慮如下準(zhǔn)則函數(shù)：

J(u(k))=|y*(k+1)-y(k+1)|2

(4)

式中：λ>0是一個(gè)權(quán)重因子；y*(k+1)為期望的輸出信號(hào)。

將式(3)帶入式(4)中，對(duì)u(k)求導(dǎo)，并令其等于零，得到如下控制算法

(5)

其中，ρ∈(0，1]是步長(zhǎng)因子。

2.3 PPD估計(jì)算法

由式(5)可知，為了實(shí)現(xiàn)上述控制算法，需要獲取PPD值φ(k)，由于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未知，精確的PPD值很難獲取，因此需要根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)PPD值進(jìn)行估計(jì)。為了防止參數(shù)估計(jì)值對(duì)不準(zhǔn)確的采樣數(shù)據(jù)過(guò)于敏感，考慮引入如下準(zhǔn)則函數(shù)[7]

J(φ(k))=|y(k)-y(k-1)-φ(k)Δu(k-1)|2+

μ|φ(k)-φ(k-1)|2

(6)

其中μ>0是權(quán)重因子。

對(duì)式(6)關(guān)于φ(k)求極值，可得到如下控制算法

(7)

其中，η∈(0，1]為步長(zhǎng)因子，為偽偏導(dǎo)數(shù)φ(k)的估計(jì)值。

(k)=(1)

(8)

其中，ε是一個(gè)充分小的正整數(shù)；(1)為(k)的初始值。

3 基于遺傳算法的MFAC參數(shù)尋優(yōu)

由式(2)～式(8)可知，無(wú)模型自適應(yīng)控制算法存在4個(gè)參數(shù)μ、ρ、λ、η，在進(jìn)行無(wú)模型自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)時(shí)，需要設(shè)定參數(shù)值。不同的控制器參數(shù)值導(dǎo)致不同的控制效果。為得到MFAC最優(yōu)參數(shù)，考慮到遺傳算法的全局尋優(yōu)特點(diǎn)，因此本文采用遺傳算法對(duì)MFAC控制器參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。

3.1 遺傳算法

遺傳算法是以所求問(wèn)題可能存在的某一解集為一個(gè)初始種群，該種群由經(jīng)過(guò)基因編碼的個(gè)體組成。初始種群遵循適者生存和優(yōu)勝劣汰的原理，逐代演化產(chǎn)生更優(yōu)的近似解。遺傳算法迭代尋優(yōu)過(guò)程中，依據(jù)每代中個(gè)體的適應(yīng)度大小挑選適應(yīng)性更好的個(gè)體，同時(shí)根據(jù)遺傳算子進(jìn)行交叉和變異從而產(chǎn)生新的個(gè)體，最終形成新種群。此過(guò)程可使種群逐代進(jìn)化，使后代比前代適應(yīng)環(huán)境的能力更強(qiáng)，最終末代種群中的最優(yōu)個(gè)體經(jīng)過(guò)解碼就可作為所求問(wèn)題的近似最優(yōu)解。

3.2 尋優(yōu)設(shè)計(jì)

遺傳算法所涉及參數(shù)編碼、初始群體設(shè)定、適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)、復(fù)制交叉變異等遺傳操作和控制參數(shù)設(shè)定等五大要素[9]。使用遺傳算法對(duì)MFAC控制器4個(gè)參數(shù)μ、ρ、λ、η進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)的主要步驟如下：

1)遺傳算法運(yùn)行參數(shù)設(shè)定。確定遺傳算法終止進(jìn)化代數(shù)G、種群大小M、交叉概率Pc及變異概率Pm。

2)參數(shù)編碼。確定μ、ρ、λ、η的尋優(yōu)范圍以及編碼方式，參數(shù)范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生M個(gè)個(gè)體樣本并對(duì)個(gè)體樣本進(jìn)行編碼，從而產(chǎn)生初始種群。

3)適應(yīng)度計(jì)算。調(diào)用適應(yīng)度計(jì)算子函數(shù)，計(jì)算種群中個(gè)體的適應(yīng)度，根據(jù)優(yōu)勝略汰的原則保留適應(yīng)度較大的個(gè)體，淘汰適應(yīng)度較小的個(gè)體。

4)遺傳操作。通過(guò)復(fù)制、交叉和變異等方法對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行操作，使其進(jìn)化產(chǎn)生下一代種群。

5)終止。當(dāng)進(jìn)化代數(shù)達(dá)到設(shè)定的迭代終止次數(shù)G時(shí)終止進(jìn)化，最優(yōu)個(gè)體即為末代種群中的最優(yōu)個(gè)體。

具體的尋優(yōu)流程如圖1所示。

圖1 基于遺傳算法的MFAC控制器參數(shù)尋優(yōu)流程

3.3 適應(yīng)度函數(shù)選取

在遺傳算法優(yōu)化MFAC控制器參數(shù)的過(guò)程中，適應(yīng)度函數(shù)的選取對(duì)優(yōu)化效果的好壞有重要的影響。常用的ITAE性能指標(biāo)函數(shù)綜合考慮系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和誤差的影響，調(diào)節(jié)時(shí)間短，具有較好的適用性。但是，ITAE性能指標(biāo)函數(shù)在超調(diào)量、上升時(shí)間以及穩(wěn)態(tài)誤差方面仍有不足[9]。因此本文在ITAE性能指標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上加入了超調(diào)量、上升時(shí)間以及控制量作為約束條件，得到如下新的性能指標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)：

ω3|Δy(t)|]dt+ω4tu

(9)

式中：e(t)為系統(tǒng)誤差；u(t)為控制器輸出；tu為上升時(shí)間；Δy(k)=y(k)-y(k-1)，y(t)為被控對(duì)象的輸出；ω1、ω2、ω3、ω4為權(quán)值，其數(shù)值需根據(jù)被控對(duì)象進(jìn)行選取，本文仿真用到的權(quán)值如下：

仿真1：取ω1=0.001，ω2=0.01，ω3=10，ω4=2，即

+10|Δy(t)|]dt+2tu

(10)

仿真2：取ω1=0.001，ω2=0.01，ω3=2500，ω4=1，即

2500|Δy(t)|]dt+tu

(11)

仿真3：取ω1=0.001，ω2=0.01，ω3=2000，ω4=0.5，即

2000|Δy(t)|]dt+0.5tu

(12)

4 仿真

為了驗(yàn)證基于遺傳算法的MFAC參數(shù)尋優(yōu)效果，本文選取了具有非線性、一階慣性加大滯后、高階加大滯后等三個(gè)不同的典型被控系統(tǒng)作為仿真對(duì)象。

4.1 仿真1

考慮如下非線性系統(tǒng)

(13)

期望輸出信號(hào)為

(14)

該非線性系統(tǒng)出自《無(wú)模型自適應(yīng)控制—理論與應(yīng)用》[8]，書(shū)中的初始參數(shù)u(1)=0，u(2)=0，y(1)=1，y(2)=-1，(1)=2，ε=10-5，MFAC控制器參數(shù)為η=1，μ=1，ρ=0.6，λ=1，在此設(shè)定下控制效果較好，因此本次仿真將以該組參數(shù)下MFAC控制器效果與尋優(yōu)后的MFAC控制器控制效果進(jìn)行對(duì)比。

在matlab環(huán)境下，通過(guò)遺傳算法對(duì)MFAC控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化得到如下MFAC控制器參：η=0.8797，μ=0.2731，ρ=0.8989，λ=2.8074。

具體的仿真結(jié)果如圖2、圖3、圖4所示。

圖2 適應(yīng)度函數(shù)優(yōu)化過(guò)程

圖3 MFAC控制器參數(shù)優(yōu)化過(guò)程

圖4 仿真結(jié)果對(duì)比

圖2和圖3表明在經(jīng)過(guò)6代尋優(yōu)后，尋優(yōu)值趨于平穩(wěn)，在之后的20-100代的尋優(yōu)過(guò)程中，適應(yīng)度函數(shù)值和MFAC控制器參數(shù)值保持不變，證明遺傳算法優(yōu)化MFAC控制參數(shù)的尋優(yōu)速度較快，且尋優(yōu)結(jié)果穩(wěn)定可靠。圖4表明優(yōu)化后的MFAC控制器控制效果相較于有明顯提升。被控系統(tǒng)期望值發(fā)生變化時(shí)，優(yōu)化前有較大超調(diào)，并且在700s之后出現(xiàn)了明顯的震蕩，而優(yōu)化后的控制效果超調(diào)量有大幅度減小，并且沒(méi)有出現(xiàn)震蕩的現(xiàn)象，且隨著控制的推進(jìn)，700s之后在期望值發(fā)生階躍變化時(shí)，超調(diào)量均為零，控制性能越來(lái)越好。故被控系統(tǒng)在優(yōu)化后的MFAC控制器參數(shù)的控制作用下，無(wú)論是超調(diào)量還是系統(tǒng)穩(wěn)定性都有明顯改善。

4.2 仿真2

由于大部分的工業(yè)控制都是時(shí)滯系統(tǒng)，所以以一階慣性滯后系統(tǒng)為仿真對(duì)象

(15)

期望輸出信號(hào)為

(16)

由式(14)可以看出，該被控系統(tǒng)滯后時(shí)間較大，對(duì)MFAC控制器控制效果要求較高。仿真采用試湊法尋找到一組最佳的MFAC控制器參數(shù)，即η=1，μ=1，ρ=0.6，λ=2，并以此作為對(duì)照組與遺傳算法尋優(yōu)后MFAC控制器控制效果進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)，為了進(jìn)一步驗(yàn)證尋優(yōu)前后MFAC控制器在期望值值發(fā)生變化時(shí)的控制效果，如式(15)所示，讓期望值在500時(shí)刻發(fā)生變化。

在matlab環(huán)境下通過(guò)遺傳算法對(duì)MFAC控制器參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到如下一組控制器參數(shù)：

η=0.0053，μ=0.1406，ρ=0.3791，λ=1.6360。

針對(duì)兩組參數(shù)進(jìn)行了仿真，具體的仿真結(jié)果如圖5、圖6、圖7所示。

圖5 適應(yīng)度函數(shù)優(yōu)化過(guò)程

圖6 MFAC控制器參數(shù)優(yōu)化過(guò)程

圖7 仿真結(jié)果對(duì)比

圖5表明，在尋優(yōu)進(jìn)行到60代以后基本趨于穩(wěn)定。圖6表明在尋優(yōu)過(guò)程中，MFAC控制器四個(gè)參數(shù)值在尋優(yōu)進(jìn)行到40代以后基本趨于穩(wěn)定。圖7表明尋優(yōu)后的控制器控制效果明顯優(yōu)于尋優(yōu)前：在500時(shí)刻之前，尋優(yōu)前被控系統(tǒng)輸出超調(diào)量為11.03%，尋優(yōu)后超調(diào)量為2.56%，尋優(yōu)后相較于尋優(yōu)前超調(diào)量下降了8.47%；控制性能中調(diào)節(jié)時(shí)間是針對(duì)5 %的相對(duì)誤差而言，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。系統(tǒng)期望值在500時(shí)刻時(shí)發(fā)生變化，優(yōu)化前系統(tǒng)超調(diào)量為10.48%，尋優(yōu)后超調(diào)量為2.54%，超調(diào)量下降7.94%；調(diào)節(jié)時(shí)間減小。因此，優(yōu)化后的控制器參數(shù)系統(tǒng)具有更小的超調(diào)量和更快的調(diào)節(jié)過(guò)程，控制效果更好。

4.3 仿真3

為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的適用性，本次仿真選取了文獻(xiàn)[11]中的三階滯后系統(tǒng)為被控對(duì)象進(jìn)行仿真

(17)

期望輸出信號(hào)為

(18)

該系統(tǒng)較仿真2的被控系統(tǒng)階數(shù)更高、更加復(fù)雜，且其作者給出一組MFAC控制器參數(shù)，即η=0.001，μ=1，ρ=0.14，λ=2，并取采樣時(shí)間為1s。在matlab環(huán)境下，通過(guò)遺傳算法對(duì)MFAC控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化得到如下MFAC控制器參數(shù)：η=0.0344，μ=0.9520，ρ=0.1531，λ=2.4773。

具體仿真結(jié)果如圖8、圖9、圖10所示。

圖8 適應(yīng)度函數(shù)優(yōu)化過(guò)程

圖9 MFAC控制器參數(shù)優(yōu)化過(guò)程

圖10 仿真結(jié)果對(duì)比

圖8表明適應(yīng)度函數(shù)值在尋優(yōu)進(jìn)行到第20代時(shí)基本趨于穩(wěn)定。圖9表明MFAC控制器四個(gè)參數(shù)在尋優(yōu)進(jìn)行到45代時(shí)都趨于穩(wěn)定，說(shuō)明尋優(yōu)最終所得參數(shù)穩(wěn)定可靠。由圖10可以看出，雖然按照文獻(xiàn)[11]所給定的參數(shù)MFAC控制器已取得較好的控制效果，但優(yōu)化后的MFAC參數(shù)仍然顯著提升了控制效果，具體對(duì)照如下：在1500s之前，優(yōu)化前的超調(diào)量為3.04%，優(yōu)化后的超調(diào)量為0.57%，超調(diào)量下降2.47%；控制性能中調(diào)節(jié)時(shí)間是針對(duì)2 %的相對(duì)誤差而言，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。在1500s之后，當(dāng)期望值發(fā)生變化時(shí)，優(yōu)化前的超調(diào)量為3.04%，優(yōu)化后的超調(diào)量為0.64%，超調(diào)量下降2.4%，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。仿真結(jié)果表明，雖然相較于仿真2被控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，但遺傳算法對(duì)MFAC控制器參數(shù)整定依然取得了很好的效果，系統(tǒng)輸出超調(diào)量幾乎為零。

5 總結(jié)

本文在MFAC控制器參數(shù)整定和優(yōu)化方法較為匱乏的前提下，提出了一種基于遺傳算法的MFAC控制器參數(shù)尋優(yōu)方法，并選取了3個(gè)不同的典型被控系統(tǒng)，利用matlab對(duì)其進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果表明：基于遺傳算法可快速對(duì)MFAC控制器參數(shù)尋優(yōu)，且尋優(yōu)后控制器在超調(diào)量、防止調(diào)節(jié)過(guò)程振蕩方面效果明顯改善。