機械臂數控加工過程動力學控制仿真

薛衛萍，熊 俊，姚志文

(南昌航空大學工程訓練中心，江西 南昌 330063)

1 引言

在實際應用中，機械臂(尤其是多功能機械臂)必須用多維離散參數模型來描述。離散參數系統的控制只能建立在尺度維模型的基礎上。因此，建立有效的動力學模型和設計高性能的控制器可以有效地控制機械臂的行為[1]，這是參與機械臂研究和應用的研究人員必須面對和解決的問題之一。

對此，文獻[2]基于力/視覺反饋，提出人機交互方式來增強系統的人機交互性，搭建包括人機交互子系統，環境感知子系統，驅動子系統，信息處理子系統及通信子系統的控制系統，建立了重載機械臂剛柔耦合動力學模型，進行重載機械臂控制系統作業試驗，解決人機交互性不足問題及重載帶來的剛柔耦合問題，可是其出現較為明顯的抖動情況。文獻[3]研發出一種代替人工的機械關節型機械臂，以氣動柔性驅動控制關節，減少機械臂的操作空間，由于進行采摘勞動強度和作業量都非常大，對機械臂結構參數進行優化，靈活避開障礙并實現應用目標，但其操作過程不明確。文獻[4]為了提高機器臂軌跡跟蹤控制器的工作性能，利用比例—微分(PD)控制器完成了基本的穩定任務后，提出基于增強學習的機械臂軌跡跟蹤控制方法，對未知干擾因素進行補償，提出基于SARSA算法的增強學習補償控制策略，提升了對不同未知情況的適應能力，但是其整體控制能力不一致。

總結以往研究經驗，本文提出一種機械臂數控加工過程動力學控制方法，創新之一在于根據動力學分析結果完成在不同軸上的多種機械臂控制運動，并通過拉格朗日方程對其完成建模，創新之二在于構建兩連桿機械臂方程，在SISO系統基礎下，利用二階滑膜控制方法來對機械臂運行控制，并采用MIMO控制系統對其優化。

2 機械臂數控動力學描述

動力學測試實質是衡量肌體運動與力度二者間存在的聯系，動態控制的基礎為機械臂控制，針對這種情況，為了更好地完成這項復雜的工作，需要有控制作用的實質性理論，而在研究機械臂的動態控制時，首先要建立相應的動力學系統模型，即推導出動力學系統方程。

2.1 機械臂動力分析

在機械臂動力學中需要研究兩個問題，分別為正解與反解。正運動學問題要求夾持器在空間上的位置和形狀，而逆運動學則要求夾持器的空間位置和形態位置，并對各關節位移向量的數值作出明確標準，實質上也可將其步驟看作為運動學計算求解過程。機械臂系統由六個臂組成，臂長：L1，L2，L3，L4，L5，L6；設六個臂關節的轉角分別為a1，a2，a3，a4，a5，a6。

1)運動方程正解

標準求解是以六個關節的旋轉角度為基礎，分別計算每個不同關節點得到空間坐標，然后在求解系統中，通過空間坐標依次變換獲取到各點坐標。

2)運動方程反解

方程反解是依據末端位置和姿態位置來對六臂旋轉角進行測量，因為臂結構具有冗余性，反解結果并不是唯一的，所以需要將一些約束條件加入其中，為了明確末端位置和形態位置，在指定A點與C點空間坐標條件下，對各關節角度進行解算[5]。

如圖1所示，通過點C點坐標位置，計算得到機械臂角度a4，a5，a6。

圖1 運動學反解示意圖

為優化計算過程，將臂CE向XY平面投射，得到C′F，此時得到下列兩組方程

dC′F=dCE·cosa4

(1)

Zc=dCEsina4+dEF

(2)

式中，Zc表示為C點在整條Z軸上的位置坐標。

根據式(3)即可獲取出機械臂角度a4，而通過式(1)便可求得dC′F，這樣便有

(3)

由上式(3)得到aC′F，再求得a6，即a5可通過圖3利用三角關系進行求解，由圖1可知，任意C′點都有相對應的兩個F點，因此判斷a5，a6存在兩組解，在實際計算中選擇限定條件較優一組，如果讓機械臂位置始終處于中間擋板右側，那么就可以得知F點的X坐標滿足XF>0這一條件；若兩組解同時滿足限定條件，選擇與上次a6相近的解。

2.2 拉格朗日方程建模

本文運用第二類拉格朗日方法完成動力學機械臂方程求解，在計算過程中只需要確定其系統的動能和勢能。根據機械臂模型原理，通過對拉格朗日能量函數求導來獲取動力學方程。

針對機械臂系統而言，若將拉格朗日函數A作為系統總動能K與總勢能P方差，則

(4)

(5)

經過以上計算，將機械臂拉格朗日方程的計算過程概括為以下五個步驟：

第一步：計算機械臂各連接的速度，并根據結果對不同連接進行分類；

第二步：以轉速為基礎計算連桿不同下的動能和機械臂總動能；

第三步：完成全部連桿勢能和機械臂總勢能演算；

第四步：建立拉格朗日13函數方程組；

第五步：推導拉格朗日函數，對機械臂動力學方程進行求解。

在方程計算過程中，具備下述兩種特殊條件：

慣量M(q)矩陣為對稱正定矩陣，針對因轉動后構成的機械臂，M(q)有一定界限；

2.3 平面二連桿機械臂動力學計算

目前最常見和測試的機械臂是雙連桿機械臂，而垂直平面機械臂的相關分析要多于水平機械臂，如下圖2所示為垂直平面機械臂基本構成。

圖2 平面機械臂結構圖

利用拉格朗日方程對上圖所示雙連接平面垂直機械臂的動力學方程求解，不將摩擦阻力計算其中是因為零勢能是所在的函數水平未知條件[6]。將第一個連桿長表示為l1，m1為質量，位移表示為q1，得到的動能和勢能為

(6)

P1=m1gl1sinq1

(7)

將第二個連桿長表示為l2，m2代表質量，位移表示為q2，假設質心坐標為(x，y)。據圖2計算得到第二個連桿的動能和勢能分別為

x=l1cosq1+l2cos(q1+q2)

(8)

y=l1sinq1+l2sin(q1+q2)

(9)

3 機械臂動力學控制方法

在實際機械臂動力學控制系統中，當系統狀態達到滑動面時，不能沿滑動面滑動，而是在滑動面附近反復切割滑動面，即出現鉗口紊亂。因此，本文將在此基礎上采用輔助控制對其進行計算。

3.1 二階滑模輔助控制

利用虛擬控制的符號切換控制是對實際系統控制權的推導，實際控制權是虛擬控制權的時間整合，按鍵虛擬規則律的集成可以達到實際規則的連續形式，不再需要高頻開關，同時對硬件的要求也越來越高，連續控制權保證了系統的穩定運行，有效減少了抖動[7-8]。

以常見的非線性單輸入輸出系統為例，其空間狀態表現形式如下：

(10)

式中，xi(t)為狀態變量，n為狀態變量數目，h[x(t)]和d[x(t)]是連續可導的不確定性函數，即存在不確定性時，h[x(t)]和d[x(t)]存在但未知。這兩個函數滿足以下的有界性條件

0≤d1≤d[x(t)]≤d2

(11)

選擇滑模面為

(12)

式中，ki>0，i=1，…，n。

再次求導，得到

(13)

假設判定虛擬控制律為v(t)=u(t)，采用與經典滑膜控制同樣的方式，就可得到符號函數式的虛擬控制口令v(t)，這樣就可利用s[x(t)]令機械臂滑動至零點位置，并將對應的實際控制口令u(t)作為連續控制信號。

3.2 MIMO系統的二階滑?？刂?/h3>

因多輸入多輸出數據參數變量會產生耦合效應，導致SISO系統的操作復雜度變高，所以部分的單輸入單輸出MIMO控制方法不適用于SISO系統，而二階滑模控制就是其中之一。對于SISO系統，如果考慮二階滑?？刂?，很難確定其理論性能，對于SISO系統由于耦合效應，控制變量很難分解，因此二階滑模控制不能用于SISO系統，將SISO系統和MIMO控制方法相結合，進行MIMO系統的二階滑?？刂?。

考慮到多輸入多輸出型系統為

x=A[x(t)]+B[x(t)]u(t)，u(t)∈Rm

(14)

那么根據其計算該滑膜面就有

s[x(t)]=kx(t)=0，k∈Rm×n

(15)

式中，分別將m和n描述為輸入變量數目以及狀態變量數目。

假設輔助變量y1(t)=s[x(t)]、y2(t)=s[x(t)]以及虛擬控制變量v(t)=u(t)對y1(t)進行求導計算，得出

y1(t)=KA[x(t)]+KB[x(t)]u(t)

(16)

并根據上式計算結果，再次求導有

B[x(t)]+KB[x(t)]u(t)

(17)

由于這種系統中不同控制變量間的耦合效果比較少，所以控制變量可被分離，則系統中的虛擬控制量可為

(18)

獲得虛擬控制律之后，對其積分，得到實際控制律完成控制器的設計

(19)

4 仿真研究

為了進一步驗證本文所提方法的控制性能，構建實驗系統對其進行實用效果檢測，具體檢測結果及過程如下所示：

采用Simulink軟件建立機械臂控制系統實驗平臺，同時Simulink和外界硬件的接口構建半實物仿真和實時控制。在仿真中分別引用五階多項式進行規劃，其中兩關節的起始角度q1、q2，表現形式為π/10、π/8，實際目標位置角度表達為3π/4和π/2。

假設關節初始角速度和目標位置角速度為0，則目標初始角加速度及其加速度也為0。機械臂控制系統工作后，圖3為機械臂角度示意圖。關節1即q1的運動軌跡是從起始位置π/10到3π/4目標位置，關節2即q2的軌跡從起始位置π/8到目標位置π/2。

圖3 機械臂角度示意圖

如圖4所示，為實際應用中機械臂的角速度，關節1的初始角速度為0，隨著運行時間增加速度變得越來越快，在2s時最大值為0.957rad/s，至此后逐漸下滑最終為0。關節2的初始角速度為0，隨著時間逐漸增大，第2s時最大值為0.552rad/s，最終逐漸降為0。

圖4 機械臂角速度示意圖

實驗中機械臂的驅動力矩如下圖5所示。

圖5 機械臂的驅動力矩

從圖中可進一步看出，當關節1的驅動扭矩在0.605s達到最大值33.83nm，在0.36s達到最小值-15.36nm；接頭2的最大驅動扭矩在0.563s達到12.04nm，在0.275s達到-14.20nm。

因此根據本文構建出的拉格朗日機械臂運動方程，可以獲取出兩個不同關節的實際坐標取值。

在關節空間中，機械臂的操控器可以根據反轉動力學從起始位置到實際目標位置進行控制，并通過運動學方程得到第一個機械臂耦合的起始位置坐標

(cos(π/10)，sin(π/10))=(0.951，0.309)

(20)

機械臂第2個關節初始位置的橫、縱坐標為

cos(π/10)+0.8cos(π/10+π/8)=1.56

(21)

sin(π/10)+0.8sin(π/10+π/8)=0.829

(22)

以運動角度為判定指標，對比文獻[2]、文獻[3]和文獻[4]方法在工作中機械臂的空間運動軌跡，進行20次迭代，對比結果如圖6所示。

圖6 機械臂運動軌跡示意圖

由圖6可知，機械臂位置描繪時間間隔為0.2s，與其它文獻方法相比，本文方法還可以動態地表達其運動過程，且與仿真設置的運動軌跡擬合效果較強，由此可以明顯看出本文方法的實際控制性，也可以看出本文方法在避免產生耦合效應的同時，增加了機械臂的控制精度。

5 結論

1)針對機械臂控制過程中抖動嚴重現象，研究機械臂數控加工過程動力學控制方法，根據動力學分析結果，機械臂的角速度隨著時間逐漸增大，直至最大值最終逐漸降為0；

2)利用拉格朗日方程構建出兩連桿機械臂方程，進行驅動性測試，隨著時間逐漸增大，在0.605s達到最大值33.83nm，在0.36s達到最小值-15.36nm。

3)雖然該方法可以完成最后控制，并呈現出完整的運動軌跡圖像，但由于運動中參數變量需要非常精確，所以在計算過程中仍需考慮力矩計算是否精準的問題，有待優化。