污水處理過程溶解氧濃度的有限時間抗擾控制

魏 偉，張瑩瑩，劉載文，左 敏

(北京工商大學人工智能學院，北京 100048)

1 引言

溶解氧(dissolved oxygen， DO)濃度是污水處理過程的關鍵變量之一，有效控制DO濃度至關重要[1]。然而，污水處理受進水流量、組分、濃度、溫度等諸多因素的影響；同時，復雜的生化反應亦增加了其非線性和不確定性，這些都給DO濃度控制帶來了極大的挑戰[2]。

為有效控制DO濃度，人們進行了大量研究。PID控制[3]結構簡單、易于實現，但因其無法有效處理非線性[4-5]而性能不佳。為獲得更好的污水處理效果，模型預測控制[6-7]、專家控制[4]、模糊控制[8]、人工神經網絡[9]、模糊神經網絡[10，11]等相繼用于溶解氧控制。模型預測控制精度受限于模型精度，為獲得精確模型，需要辨識整個系統的模型[5]。有限的專家經驗[1]限制了專家控制的效果。模糊控制提高了控制精度，但缺乏學習能力限制了其控制精度的進一步提高[12]。神經網絡具有自主學習能力[13]，但也存在過擬合的問題[14]。

為此，結構簡單、對數學模型依賴小、便于工程實現的控制算法，對污水處理過程控制非常必要。韓京清先生提出的自抗擾控制(active disturbance rejection control， ADRC)[15]利用擴張狀態觀測器(extended state observer， ESO)估計系統內部不確定性和外部擾動，并通過控制律將其補償，獲得了良好的控制性能，廣泛應用于各領域。同時，考慮到收斂速度是控制系統的關鍵指標之一[16]。為此，文獻[17]設計有限時間擴張狀態觀測器并應用于動中通天線伺服系統。文獻[18]結合有限時間穩定理論與動態補償線性化方法，提高系統的響應速度和抗干擾能力。本文針對污水處理過程的不確定性和擾動問題，改進有限時間觀測器，以提高溶解氧濃度控制效果。

2 系統描述

污水處理1號基準仿真模型(Benchmark Simulation Model no.1， BSM1)由歐盟科學技術與合作組織和國際水協會共同建立，為污水處理過程控制策略提供評價標準。BSM1由2個厭氧池，3個好氧池和1個二沉池組成，其結構如圖1所示[19]。

圖1 BSM1結構

第5個反應池的DO動力學為[19]

(1)

(2)

(3)

(4)

其中，SS為易降解底物，XB，H，XB，A分別為活性異養、自氧生物量，SNH為銨鹽濃度，相關參數見表1[19]。

表1 污水處理部分工藝參數

3 有限時間抗擾控制設計

設計改進型有限時間狀態觀測器(modified finite-time extended state observer， MFTESO)，結合有限時間控制(finite-time control， FTC)，形成改進型有限時間自抗擾控制(modified finite-time active disturbance rejection control， MFTADRC)，其結構如圖2所示。

圖2 改進型有限時間自抗擾控制

3.1 有限時間擴張狀態觀測器

含模型信息的有限時間擴展狀態觀測器(finite-time extended state observer， FTESO)為[17，20]

(5)

3.2 改進型有限時間擴張狀態觀測器

觀測器的分數冪決定了其收斂速度，修正觀測器輸出估計誤差的分數冪，可設計MFTESO為

(6)

式中L為可調參數。

當1/2<αvi+L|z1-y|<1且βi>0，i=1，2時，觀測器有限時間收斂，且收斂時間取決于αv1，L，ωo以及初始估計偏差e(0)=z1(0)-y(0)。

為證明觀測器(6)是有限時間收斂的，先給出三個引理。

引理3.1[21]：若

(7)

θi=iθ1-(i-1)，1≤i≤n

(8)

那么系統關于(i-1)θ1-(i-2)，1≤i≤n，有(θ1-1)齊次度。

引理3.2[22]：對于系統

(9)

若存在矩陣

(10)

滿足dii>0，i=1，2且DA(e)為正定對稱矩陣，那么系統(9)在原點是漸近穩定的。

引理3.3[17]：若系統具有齊次度d<0且系統在原點是局部漸近穩定的，則該系統全局有限時間穩定。

(11)

其中b0為控制增益，H(t)是總擾動的變化率，u是控制量。

設計二階有限時間擴張狀態觀測器

(12)

其中

χi(·)=βisign(·)|·|αvi+L|·|，i=1，2

(13)

其中αvi，L，βi，b0待定。定義狀態估計誤差為ei=zi-xi，i=1，2。通常，總擾動及其導數信息未知，不妨令H(t)=0。由系統 (11)和觀測器(12)，可得估計誤差方程

(14)

調整αv1，L，βi(i=1，2)，使誤差動力系統(14)全局有限時間收斂。有如下定理

定理3.1：若誤差動力系統(14)同時滿足齊次性、漸近穩定性以及

(15)

則誤差動力系統(14)是有限時間收斂的，且時間T依賴βi，αvi，L和估計偏差e(0)=z1(0)-y(0)。

證明: 令

1/2<αv1+L|z1-y|<1

(16)

同時

(αvi+L|z1-y|)=i(αv1+L|z1-y|)-(i-1)，1≤i≤2

則系統關于(i-1)(αv1+L|z1-y|)-(i-2)，1≤i≤2具有度(αv1+L|z1-y|)-1的齊次性。

令e=[e1，e2]T，誤差動力系統(14)可寫為

(17)

式中，

(18)

其中F=|z1-y|(αv1+L|z1-y|)-1>0。令

(19)

取d11=ε1，d22=ε2，εi>0，i=1，2，那么

其中，

D11=ε1β1F+d12β2F2，D21=-d12β1F+ε2β2F2

使DA(e)為對稱正定矩陣，則

(20)

于是

(21)

即

(22)

那么

ε1=η→0

(23)

將(23)代入(21)可得

(24)

使DA(e)正定，需d12>0，即

β1>0，β2>0

(25)

于是

(26)

那么，矩陣D取為

可見，D為F(估計誤差e)的函數。

定義誤差系統(14)的李雅普諾夫函數為

(27)

其導數為

(28)

因此，由引理3.2知，誤差系統(14)在原點漸近穩定。

選取參數使1/2<αv1+L|z1-y|<1成立，誤差系統的齊次度為[(αv1+L|z1-y|)-1]<0。于是，由引理3.3可知，誤差動力系統(14)(即擴張狀態觀測器(12))是有限時間收斂的。

3.3 有限時間控制

參考文獻[16]及圖2，設計有限時間控制律

u0=kpb0sign(r-z1)|r-z1|α1

(29)

(30)

其中kp,ki,α1和b0是可調參數，r是設定值，u為控制量，z1是y的估計值，z2是總擾動的估計值。

4 數值仿真

表2 控制參數值

采用絕對誤差積分(integral absolute error， IAE)，誤差平方積分(integral square error， ISE)，最大絕對誤差Devmax(maximum error)以及總耗能(overall cost index， OCI)定量比較控制性能及相應能耗[19]。

(31)

(32)

Devmax=max{|r-y|}

(33)

OCI=AE+PE+5SP+3EC+ME

(34)

(35)

+0.008·Qr(t))dt

(36)

(37)

(38)

(39)

其中，r為設定值，y為第5個反應池的溶解氧濃度(變量信息詳見文獻[19])。

以下給出三種天氣時，PI、FTADRC及MFTADRC的溶解氧調控效果及控制信號，并定量比較算法間的性能差異和能耗。

4.1 晴天

晴天時的系統響應和控制量如圖3所示

圖3 晴天時的系統響應及控制量

圖3(a)所示響應表明，晴天時，MFTADRC的跟隨誤差最小。圖3(b)顯示三種方法的控制量相似。因此，用相似的控制量，MFTADRC能更好地跟隨設定值。

由表3知，晴天時，與PI和FTADRC相比，MFTADRC的總能耗增加了3.67×10-3%和6.11×10-4%，而ISE降低了99.3%和79.2%；IAE降低了93.9%和42.6%；Devmax降低了88.5%和58.3%。可見，MFTADRC以相似的能耗，獲得了更好的溶解氧濃度跟隨效果。這表明，MFTADRC能夠更快、更準地估計總擾動，進而保證更好的調控效果。

表3 晴天時三種方法的性能指標

圖4表明，MFTADRC以相似的控制量獲得了更好的溶解氧控制效果。表4給出了跟隨誤差及能耗的定量比較結果。

圖4 雨天時系統響應和控制量

表4 雨天時三種方法的性能指標

表4數據表明，雨天時，MFTADRC比PI的總能耗上升了3.13×10-3%，比FTADRC的總能耗上升了6.26×10-4%。然而，與PI和FTADRC相比，MFTADRC的ISE降低了99.4%和75.6%，IAE降低了94.4%和38.9%，Devmax降低了89.0%和60.3%。可見，在能量消耗幾乎相同的情況下，MFTADRC對溶解氧濃度的調控能力優于PI和FTADRC。同樣表明MFTADRC估計總擾動的能力更強，調控溶解氧的效果更好。

與圖3，圖4相似，圖5同樣顯示在相似的控制量作用下，MFTADRC的響應更接近設定值，溶解氧調控效果更好。表5也給出了控制性能和能量消耗數值。

圖5 暴雨天時系統響應和控制量

表5 暴雨時三種方法的性能指標

同樣，表5顯示出MFTADRC的能耗與PI和FTADRC的能耗相近(增加了2.90×10-3%和5.80×10-4%)，但是其誤差指標，ISE降低了99.3%和77.0%，IAE降低了94.0%和40.6%，Devmax降低了88.5%和58.3%。數據同樣表明，在能量消耗幾乎相同的情況下，MFTADRC因具有最好的總擾動估計能力而具有最佳的溶解氧調控性能。

為更直觀地顯示MFTESO的估計效果，圖6給出了三種天氣下實際總擾動和總擾動估計情況。

圖6 實際總擾動與總擾動估計情況

圖6表明MFTESO可準確估計系統總擾動，進而保證MFTADRC的調控效果。

5 結論

針對污水處理過程的不確定、強擾動問題，本文設計了一種改進型有限時間擴張狀態觀測器。綜合有限時間控制和改進型有限時間擴張狀態觀測器，設計改進型有限時間自抗擾控制，有效克服各種擾動因素對溶解氧濃度的影響而獲得更好的溶解氧控制效果。