基于Kriging代理模型的加筋柱殼結構優化

胥 磊，王蓉暉，王 濤，邊園園

(中國航天科技集團公司第四研究院第41研究所，陜西 西安710025)

1 引言

加筋柱殼結構是常見的導彈/火箭艙段結構[1]，在導彈、火箭等飛行器中有廣泛的應用。該型結構在彎矩、軸向力載荷聯合作用時，不能發生結構破壞或失穩[2]。由于飛行器性能的需求，結構輕量化成為結構設計的一項基本要求。因此尋求滿足強度、剛度和穩定性要求的最小質量結構是設計者的一項重要任務，結構優化設計方法成為一個重要的研究方向。

加筋柱殼結構優化設計具有模型復雜、變量復雜、性能計算復雜的特點。冀賓等[3]基于軸壓載荷失效的工程算法，建立了桁式半硬殼結構等三種運載火箭主結構的優化模型。毛佳等[4]利用有限元模型的研究結果，使用理論計算的方法發展了一種軸壓薄壁加筋圓柱殼結構優化設計方法。David Bushnell[5]等通過專用結構分析程序PANDA2對正交“T”型加強筋的軸壓柱殼優化設計問題進行了研究。上述研究均是通過理論解析或工程計算公式進行計算，結合優化算法進行優化，需要針對具體結構形式建立分析模型，計算方法的適應性較差。有限元方法的適應性強，無需開展具體結構形式的理論建模研究，但計算成本較大。 因此高效優化設計方法研究很有必要。代理模型(Surrogate Model)優化方法[6]被逐漸應用于此類結構的優化設計中。郝鵬等[7]開展了大量網格式半硬殼結構的優化工作，通過優化策略縮減設計空間，提高了優化效率。劉克龍等[8]基于Kriging建立了一種結構形狀優化的工程方法。王曉慧[9]等研究了導彈艙段徑向連接結構的優化模型，通過有限元計算，使用遺傳算法進行優化，此方法計算量較大。

綜上所述，加筋柱殼結構的設計難度較大，需建立通用化的設計流程，發展簡潔高效的優化設計方法。本文從設計試驗出發，通過有限元計算結構響應，使用Kriging代理模型建立加筋柱殼結構優化模型、優化流程并使用Workbench計算平臺進行優化計算。通過優化結果分析對比，表明本文方法優化效率較高、精度能夠滿足工程使用。本文方法對飛行器加筋柱殼結構的優化設計具有一定參考價值。

2 基于Kriging代理模型的優化方法

本文使用了一種基于Kriging代理模型的優化方法。其基本優化思想是使用Pro/E建立參數化結構模型并傳遞給Workbench，利用試驗設計法在設計變量空間中選取樣本點集， 使用Workbench進行靜力分析和線性屈曲分析，獲得對應樣本點的結構重量、最大Mises應力、最大變形、屈曲強度因子的響應值，然后通過樣本點和對應響應值建立Kriging代理模型，通過Workbench的Design Exploration模塊使用GA(遺傳算法)對Kriging近似代理模型進行優化，獲得最優設計結果。整個優化過程的流程圖見圖1。

圖1 基于響應面優化方法流程圖

使用全因子水平設計(FFD)試驗設計方法產生用于生成Kriging代理模型的采樣點。該方法用于了解信息較少的系統，所有變量組合都取樣本點，能夠包含各層次因素，在初步設計時使用效果較好。

2.1 優化模型

加筋柱殼結構作為火箭的主要結構件，布置有縱向和環向加強筋，承受火箭存放、運輸、飛行過程中的載荷。優化設計問題為加強筋的布局優化和尺寸優化，優化目標是獲得重量最輕的結構。優化設計變量包括縱向加強筋的數量、尺寸和環向加強筋位置、尺寸。其中加強筋數量為離散型設計變量，位置、尺寸為連續型設計變量。加筋柱殼結構在給定載荷下能夠滿足強度要求，不發生強度破壞，變形不應超過給定要求，同時需要結構不發生失穩。綜上，優化設計模型如下

minW(X)

(1)

式中：X為設計變量，包括離散變量和連續變量；W(X)為結構重量；λ(X)為結構屈曲強度因子；σmax(X)為有限元計算的結構最大應力；umax(X)為有限元計算的結構最大變形；λ*為屈曲強度因子設計要求值；[σb]為材料的屈服強度極限；[up]為艙段的許用最大變形；XL和XU為所有設計變量的上下限。

2.2 Kriging代理模型方法

目前使用較多的代理模型有響應面代理模型、Kriging代理模型、徑向基函數代理模型以及人工神經網絡代理模型等[10][11]。其中Kriging代理模型是一種常用的代理模型方法。Kriging代理模型包含兩個部分，表達式為

y(x)=fT(x)β+Z(x)

(2)

式中，β為回歸系數，f(x)是設計變量x的函數，是全局空間的近似模型，Z(x)時平均值為0的隨機函數，用于局部偏差的近似。通過試驗設計的樣本點和響應值確定Kriging代理模型相應參數后就可以通過代理模型預測待測點的響應值。Kriging代理模型在處理非線性程度較高的問題時往往能夠取得較為理想的擬合效果[8]。

2.3 遺傳算法優化方法

上述優化模型中，由于優化變量具有離散和連續混合變量特點，使用遺傳算法(GA)對Kriging代理模型進行尋優。

傳統遺傳是一種利用自然選擇和生物進化思想在設計空間進行隨機搜索最優解的優化算法。通過模擬自然選擇中的選擇、交叉、變異操作來尋求優良個體，用適應度函數評價個體優劣，依據優勝劣汰的原則，搜索出適應度最高的個體[13]。該方法收斂速度快并可以很好地在設計空間中尋找全局最優解。

3 加筋柱殼結構優化算例

3.1 加筋柱殼結構及參數化建模

加筋柱殼艙體結構如圖2所示，艙體結構直徑1000mm，長度1100mm，兩端通過安裝法蘭和對接螺栓與前后艙段連接，法蘭后端開口用于提供螺母擰緊扳手空間。安裝法蘭和開口尺寸依據以往設計經驗和具體連接件尺寸進行確定。該結構設置縱向和環向加強筋，縱向加強筋剖面為“T”型，環向加強筋剖面為矩形，參數見圖2。 艙體結構材料使用航天結構常用的鋁合金材料，材料屈服強度極限為σs=320MPa，彈性模量E=71GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=2.78e-6kg/mm3。

圖2 Pro/e加筋柱殼結構三維參數化建模

使用Pro/E進行加筋柱殼結構三維參數化建模，在Workbench建立Geometry項目，使用Pro/E與Workbench的通用接口將設計參數傳入Workbench，在Workbench的Geometry模塊中使用DM(Design Model)功能模塊對導入模型進行操作，選擇三維模型參數。

3.2 有限元計算

加筋柱殼火箭艙體在火箭發射和飛行過程中承受巨大的軸向載荷和彎矩，計算時依據艙段承受的軸向力T=1.0×106N和彎矩M=1.0×105N·m進行加載。根據以往火箭結構設計經驗進行加載和設置邊界條件，艙體結構的前后端面一端固支、一端加彎矩和軸向力。通過Workbench建立有限元模型。使用Static Structural模塊進行靜力分析并設置提取計算得到的最大Mises應力和最大變形。通過Linear Bucking模塊進行線性屈曲分析并提取結構的一階屈曲強度因子。單次的靜力分析和屈曲分析需耗時約10min～15min。

對初始模型靜力分析結果表明，最大Mises應力發生在前端開口附近，最大Mises應力為318.9MPa，最大變形2.72mm，應力云圖和位移云圖見圖3。對初始模型線性屈曲分析結果表明屈曲強度因子為4.37，對應失穩波形見圖4。

圖3 初始模型有限元靜力計算結果

圖4 初始模型有限元屈曲計算結果

3.3 基于Workbench的優化模型框架

設計變量及初值見表1。縱向加強筋數量為離散設計變量，其它變量為連續設計變量，結合結構實際情況設置各個參數的上下限，并經過初步的設計分析設置設計變量的初值。

表1 設計變量定義、初值及上下限

在Workbench中建立靜力分析和線性屈曲分析項目，并建立目標驅動優化(Goal Driven Optimization)項目，參數設置(Parameter Set)模塊提供了設計變量和響應變量的數據流。充分利用Workbench的數據交互流優勢，減少建模工作量，建立的優化框架見圖5。

圖5 基于Workbench的優化模型框架

4 優化計算結果及分析

4.1 Kriging代理模型有效性分析

為驗證Kriging代理模型的精度和可行性，使用最優設計方案作為對比樣本進行比較分析。依據最優設計方案的變量，重新建立有限元模型，進行有限元計算，得到的應力云圖、位移云圖見圖6，屈曲失穩波形見圖7。由設計結果可以看出優化設計結構是滿足約束條件、合理可行的。

圖6 最優設計有限元靜力計算結果

圖7 最優設計有限元屈曲計算結果

Kriging代理模型預測結果與有限元計算結果對比見表2，最大應力偏差0.55%、最大質量偏差0.03%、最大變形偏差2.78%、最大屈曲因子偏差6.87%。結果表明代理模型的計算結果與有限元計算結果偏差較小，精度能夠滿足使用。

表2 優化預測結果與FEM計算結果對立

4.2 Kriging模型優化與直接優化對比

為了驗證基于Kriging代理模型的優化方法的有效性和高效性，采用直接優化方法和Kriging代理模型的優化方法分別對加筋柱殼結構進行優化。考慮到若使用本文參數化模型的8個設計變量，直接優化方法調用有限元計算的次數較多，時間代價太高，本節將模型僅保留腹板高度、椽條寬度和縱向加強筋數目三個設計變量，其它變量設置為常數。

直接優化方法的初值和算法選擇十分關鍵，初值和算法選擇不當容易導致尋優過程陷入局部最優解。通過多次直接優化算法的試算得到優化結果，結果見表3。由表3可見，代理模型優化方法與直接優化方法優化結果較接近，但代理模型優化方法只調用了27次FEM計算，直接優化方法調用了216次FEM計算，直接優化計算代價消耗很多。通過使用Kriging近似模型，一方面大減少了計算代價，另一方面也能有效地尋優。

表3 Kriging模型優化與直接優化結果對比

4.3 最優方案及分析

優化過程共產生316個試驗設計點，調用316次結構靜力分析和屈曲分析。通過試算確定本文的MIGA參數設置如下：島數為10，每個島的種群數為10，進化代數為50。

通過代理模型優化得到最優設計結果與初始模型計算結果對比見表4，結構總質量為31.29kg，比初始模型重量減少了11.91%，優化效果明顯。得到的最優設計方案見表5，優化后兩條環向加強筋的間距變大，縱向加強筋數量為8條，加強筋的布局更加合理。

表4 最優設計結果

表5 最優設計方案

5 結論

本文基于Kriging代理模型建立了一種加筋柱殼結構優化方法，通過Workbench建立優化框架，實現優化計算，結果表明：

1)代理模型對結構響應的擬合效果較好，代理模型計算精度與有限元計算結果誤差較小，Kriging代理模型能很好的代替有限元模型進行響應計算；

2)基于Kriging代理模型的優化方法比直接優化方法計算減少優化過程中有限元模型的調用次數，并且能夠有效的搜索到全局最優解，提高優化效率；

3)通過加筋柱殼結構優化算例表明本文方法實現減重11.91%，優化效果明顯，對此類優化問題有一定的應用參考價值。