數學知識在生物解題中的應用

邵代國

在生物習題的講解過程中，我發現，數學中的有些公式用來解答生物學的一些問題時，非常方便快捷。下面以等比數列和二項式定理及分步計數原理（乘法原理）在生物解題中的幾個應用進行示例：

1 ? 用等比數列的通項公式和前n項和公式在解答DNA復制的有關計算題

例1.（2008·上海高考）某個DNA片段由500對堿基組成，A+T占堿基總數的34%，若該DNA片段復制2次，共需游離的胞嘧啶脫氧核苷酸分子個數為（ ? ）

A.330 ? ?B.660 ? ? ?C.990 ? ? ?D.1320

本題可變式為：某個DNA片段由500對堿基組成，A+T占堿基總數的34%，若該DNA片段復制2次，則第二次復制需游離的胞嘧啶脫氧核苷酸分子個數為（ ? ?）

A.330 ? ?B.660 ? ? ?C.990 ? ? ?D.1320

本題若單純的應用生物學知識解答，學生覺得難度較大，但若在DNA半保留復制原理的前提下，引入數學中等比數列的知識，則難度明顯降低。因為學生知道DNA復制時的數量關系是：1→2→4→8→……，這是一個公比q =2的等比數列（對高中生而言，這是一個非常簡單的知識），通項公式為

其中，n為復制次數，a1為親代DNA中某堿基的個數，本題中a1為由500對堿基組成的某個DNA片段中胞嘧啶脫氧核苷酸分子的個數。

據堿基互補配對原則，A=T= 500×2×34%÷2= 170個，

則C=G =（500×2-170×2）÷2=330個，即a1 =330

例1是求復制2次，共需游離的胞嘧啶脫氧核苷酸分子個數，相當于求等比數列的前n項和，用公式（IV）。答案為：S2= a1（2n —1）=330（22-1）=990 （個）;變式題是求第二次復制需游離的胞嘧啶脫氧核苷酸分子個數，相當于求等比數列第n項的值，用公式（III）。答案為：an = a1﹒2n —1 =330×22-1 = 660 （個）

2 ?用二項式定理解答有關基因頻率計算題

例2：在一個雜合子Aa為50%的人類群體中，基因A的頻率是（該群體是遺傳平衡群體）（ ? ?）

A.10% ? ? ?B.25% ? ? ? ?C.35% ? ? ? ? ? D.50%

本題若單純的應用生物學知識解答，固然可以得出正確答案，但是，學生覺得難度較大，但若引入數學中二項定理來解答這道題目，就簡單多了。

在遺傳平衡的群體內部，進行有性生殖的時候，含有A基因的配子可以與含有A基因的配子結合，也可以與含有a基因的配子結合，含有a基因的配子可以與含有a基因的配子結合，也可以與含有A基因的配子結合，這樣，就符合數學中的二項式定理，即是： （a+b）2 =a2+2ab+b2，我們把上面這個公式改變一下，就是：（A+a）2=AA+2Aa+aa，由于三項之和應是100%，即是： AA+2Aa+aa=100%，由于中間項等于50%，所以AA和aa項為50%，又由于這兩項的系數相等，它們的比例就應該相等，即AA占25%，aa占25%。

通過上述分析后，應用二項式定理的知識就把本題轉換成了：在一個AA占25%，Aa占50%，aa占25%的人類群體中，基因A頻率是多少？這個問題也就簡單多了，口算就能算出A的頻率為50%。

3 ?用分步計數原理（乘法原理）來計算氨基酸形成的多肽種類

例3： 現有三種不同的氨基酸，在每種氨基酸的數目不限的情況下，形成的三肽化合物的種類有多少種？

例4： 現有三種不同的氨基酸，在每種氨基酸只有一個的情況下，形成的三肽化合物的種類有多少種？

生物教材中沒有對此類問題的講解，學生就只有一種一種的去排，這樣做既耗時且極易出錯，若引用數學中的分步計數原理來解決的話，就快多了。據題意，由于例3中每種氨基酸的數目不限，因此，形成該三肽的三個氨基酸中，每一個氨基酸的種類都有可能是三種氨基酸中的一種，所以，每一個氨基酸的種類數為3，則形成的三肽化合物的種類有3×3×3=27種;由于例4中每種氨基酸只有一個，因此，形成該三肽的三個氨基酸中，第一個氨基酸的種類為3，第二個氨基酸的種類為2，第三個氨基酸的種類為1，則形成的三肽化合物的種類有3×2×1=6種。可見，用這種方法來計算氨基酸形成的多肽種類時，一般學生均能只經口算就能很輕松的得出答案。

從上述三點應用可以看出，解題確實容易多了。實際上，數學知識在生物學中的應用是相當多的，牽涉到數學方法、數學理論、數學運算。如：遺傳中的概率計算和統計理論、DNA的變化曲線、集合理論揭示生物學中相近概念之間的關系等。若在教學中對學生進行引導總結，就能不斷提高學生綜合運用其它學科的知識來解決生物學問題的能力，從而明顯提高生物科的解題能力。