基于狀態觀測器的混沌系統滑模控制

孫春香， 杜 珺， 李冠軍

（淮南師范學院 金融與數學學院，安徽 淮南232038）

混沌控制自從1990年由Ott等［1］提出，就受到了廣泛的關注，因為它在許多領域都具有重要的應用前景.學者們給出了很多有效的控制方法，如自適應控制［2-3］、反饋控制［4-5］、模糊控制［6-7］、滑模控制［8-9］、反推控制［10-11］等，并將其應用到實際工程技術中，如擺振控制［12］、機器人控制［13］.

滑模控制是基于變結構系統理論的一種控制方法，由于對非線性系統具有很好的魯棒性，并且具有響應速度快、暫態性能好以及對植物參數變化、外部干擾不敏感等優點，從而在工程中得到廣泛的應用，吸引了研究者們的注意［14-18］.文獻［19］針對具有不可用狀態的非線性多變量系統，采用模糊自適應技術和滑模控制相結合的方法，設計了一個穩定的自適應模糊滑模控制器.在許多混沌系統中，不可避免地會受到未知參數變化和外界干擾的影響，滑模變結構控制在同步控制器設計中得到了廣泛應用.文獻［20］中研究了具有參數不確定的2個混沌系統的滑模動態同步控制方法；文獻［21］研究了不同時變條件下，具有未知參數的Rossler和Chen混沌系統的魯棒自適應同步問題，而文獻［22］則研究了基于滑模觀測器的非線性系統故障診斷問題.

在已有文獻研究的滑模控制中，大多數要求系統的狀態變量是已知的，然而這在實際工程領域是很難實現的.通常情況下，狀態變量是未知的或部分未知的.因此，上述通過狀態反饋的控制策略就很難實現，所以需要利用觀測器對狀態變量進行估計，基于觀測器的智能自適應滑模控制方法是一個非常必要的控制策略.

基于上述討論，本文主要研究Genesio系統的自適應滑模控制，在狀態變量未知的情況下，構造觀測器，對未知變量估計，利用估計值建立滑模控制策略，使得控制系統是指數漸進穩定的，并且觀測器和追蹤誤差是指數趨于0.

1 系統描述

Genesio系統由Genesio和Tesi［23］提出的一類比較典型的非線性混沌系統，可以表示為

其中，x1、x2、x3是系統狀態變量，α1、α2、α3、α4是系統參數.當選擇α1＝1.2、α2＝2.92、α3＝6、α4＝1，初值為x1＝1、x2＝1、x3＝－1時，Genesio系統呈現混沌狀態，如圖1所示.對于Genesio混沌系統，文獻［24］利用迭代變換法討論了Genesio系統的同步問題，給出了同步流形的穩定性的充分條件；文獻［25］提出了自適應同步控制方案，基于Lyapunov方法，使2個Genesio-Tesi系統的狀態漸近同步，給出了基于線性矩陣不等式的控制律存在性判據.

圖1 Genesio系統（1）混沌吸引子Fig.1 The chaotic attractor of Genesio system（1）

2 滑模控制器設計及穩定性分析

2.1 傳統滑模控制器設計 設計滑模控制器，使混沌Genesio系統（1）的軌跡到達理想信號xd.下面給出一些有用的引理.

定理1對于系統（2），設計滑模面（3）和滑模控制器（4），則存在正常數k和γ，使得當t→∞時追蹤誤差ei指數收斂于0，i＝1，2，3.

證明由（2）和（3）式可得

從（6）式可知，當t→∞，追蹤誤差是指數收斂0，并且收斂速度由常數η確定.

注1滑模函數（3）和控制器（4）的設計都依賴于狀態變量x1、x2、x3.因此，只有當這些狀態變量是已知的情況下，該控制策略才能實現.

為了說明設計的滑模控制方法有效性，對（2）式，假設理想信號

滑模函數和控制器分別是（3）和（4）式給出的形式，選擇β1＝8、β2＝16、γ＝4、k＝4，從圖2～圖5中可以看出所設計的滑模控制器在混沌系統控制中，具有非常好的效果.圖2給出了追蹤信號xi和理性信號xd的狀態軌跡，可以看出它們在較短的時間內就可以達到同步；而圖5中反映了追蹤誤差趨于0.

圖2 理想信號和追蹤信號的狀態軌跡Fig.2 The state trajectories of ideal signal and tracking signal

圖5 追蹤誤差Fig.5 Tracking error

2.2 基于狀態觀測器的滑模控制

2.2.1 狀態觀測器的設計 在控制器（4）中，需要知道系統的所有狀態變量，這在實際問題中是很難實現的，因為系統的狀態變量大多數是未知的.為了解決這類問題，用設計狀態觀測器來估計系統中的狀態變量x1、x2、x3，即根據狀態變量的觀測值來設計滑模控制器，達到控制效果.為了運算方便，在系統（1）中令

圖3 滑模函數Fig.3 Sliding function

圖4 控制輸入Fig.4 Control input

則估計誤差為

2.2.2 基于觀測器的滑模控制設計

定理2對于系統（2），設計觀測器（7）和狀態變量估計值（8），則存在正常數k、ρ1和η，使得當t→∞時，觀測器（7）是穩定的，觀測誤差~ei和追蹤誤差ei指數收斂于0，i＝1，2，3.

證明下面分3部分來討論.

1）設計觀測器的穩定性.構造Lyapunov函數

則

因此，設計的觀測器（7）是指數收斂的.

2）觀測誤差是收斂的.假設控制目標為xd，定義追蹤誤差為

從而當t→∞時，V（t）指數收斂于0，從而追蹤誤差收斂于0，并且收斂速度由常數ρ1確定.

注2從（16）式中可以看到，滑模控制器的設計僅依賴于狀態變量的估計值，而且能夠使得追蹤控制達到較好的效果，控制系統是指數穩定的，追蹤誤差趨于0.圖6～圖10給出了所設計的控制策略數值模擬圖.通過比較可以看出，利用估計值所構造的控制器能夠達到實際值一樣的效果.

圖6 狀態變量估計Fig.6 The state variables estimation

圖10 狀態估計誤差Fig.10 The state estimation error

圖7 控制輸入Fig.7 The control input

圖8 追蹤軌跡Fig.8 The trajectories of tracking

圖9 滑模函數估計Fig.9 The estimation of sliding function

3 結論

為了獲得混沌系統的軌跡跟蹤控制，提出了一種基于狀態觀測器的自適應滑模控制方法.與傳統的滑模控制設計不同，在研究的方法中，設計了觀測器對狀態變量進行估計，滑模面和控制器的構造僅依賴于估計值.實踐證明，仍能達到傳統滑模控制器的效果，能夠保證狀態變量跟蹤所需的信號，追蹤誤差指數趨于0.

致謝淮南師范學院自然科學基金重點項目（2019XJZD09）和淮南師范學院微分代數系統的分析控制及應用創新團隊項目（XJTD202008）給予了本文資助，謹致謝意.