帶Hartree型非線性項雙調和薛定諤方程解的整體適定性

王雪雯， 郭 青

（中央民族大學 理學院，北京100081）

考慮以下帶Hartree型非線性項的聚焦型質量超臨界能量次臨界的雙調和Schr?dinger方程

雙調和NLS方程也稱四階NLS方程，是文獻［1-2］為了研究小雙調和色散項對強激光束在Kerr非線性體介質中傳播的影響而引進的.Fibich等［3］從數學的角度研究了這類方程，給出了次臨界狀態下的一些性質.Zhu等［4］給出了聚焦型四階質量臨界NLS方程基態解的變分結構，Guo［5］由Pausader［6］的思想研究了聚焦型四階質量超臨界能量次臨界NLS方程基態解的變分結構以及方程解的整體適定性.對于帶Hartree型非線性項聚焦的Schr?dinger方程而言，Gao等［7］研究了聚焦型質量超臨界Hartree方程基態解的變分結構，Zhu［8］研究了非線性分數階Schr?dinger方程基態解的變分結構，Guo等［9］運用此理論證明了分數階Schr?dinger方程解的整體適定性.

本文根據Zhu［8］的思想，通過尋找卷積型Gagliardo-Nirenberg不等式

基態解的變分結構，并應用Gagliardo-Nirenberg不等式得到Schr?dinger方程整體解的存在性.

1 預備知識

研究問題所用的主要工具是根據Zhu［8］建立的H2中有界序列的profile分解.

2 整體解的存在性

給出卷積型Gagliardo-Nirenberg不等式最佳常數CGN以及整體解存在性的證明.

那么，可以用類似證明（16）式成立的方法證明（19）式成立.然后將（16）～（19）式代入（15）式的左邊，就得到了（15）式.最后再結合（9）（13）和（15）式可知：當J→∞和n→∞時，有

然后，給出I在橢圓問題（3）中關于Q（x）的表達式.實際上，上述討論過程已經證明了（26）式非平凡解的存在性，又因為I是實數，所以橢圓問題（3）同樣存在非平凡解［13-15］.

對于橢圓問題（3）的任意解Q（x），能夠得到Pohozaev等式

下面，對上述等式給出證明，將橢圓問題（3）兩端同時乘以Q，然后在Rd上積分，最后再由分部積分可得（27）式成立.而對于（28）式，將橢圓問題（3）兩端同時乘以x·?Q，然后積分，得

因此，通過（29）～（31）式可以得出（28）式.下面將給出（29）～（31）式的具體推導過程：其中對于（29）式而言，有