Banach格上的幾乎L-Dunford-Pettis性質

陳緣媛， 陳金喜， 陳滋利

（西南交通大學 數學學院，四川 成都611756）

近年來，關于Banach格及其上的算子理論的研究中，主要討論算子所在的空間性質和算子本身的性質.2012年，Aqzzouz等［1］對Dunford-Pettis集的性質作了進一步研究.2016年，Retbi等［2］提出了Banach空間上的L-Dunford-Pettis集和L-Dunford-Pettis性質，并對其進行了研究.2018年，Halmeh等［3］提出了幾乎L-Dunford-Pettis集，并對其相關性質進行了討論.本文基于L-Dunford-Pettis性質和幾乎L-Dunford-Pettis集的啟發，給出了幾乎L-Dunford-Pettis性質的定義，并研究此性質與不交Dunford-Pettis全連續算子、弱緊算子、正Dunford-Pettis的相對緊性質以及L-Dunford-Pettis性質等之間的關系.

本文中E′表示Banach格E的拓撲共軛空間，L（E，F）表示Banach格E到Banach格F的有界線性算子全體.設T：E→F是Banach格E到Banach格F的算子，如果T將E中的Dunford-Pettis集映為F中的相對緊集，則稱T為Dunford-Pettis全連續算子.記為DPcc［4］.T：E→F是一個算子，若T將E中的不交Dunford-Pettis序列并且是弱零序列映為F中的相對緊集，則稱T為不交Dunford-Pettis全連續算子.記為DPdcc［3］.顯然Dunford-Pettis全連續算子一定是不交Dunford-Pettis全連續算子，反之卻不一定成立.根據文獻［5］知道，B是E′上的范數有界子集，如果E中的任意不交序列xn，且在B上都一致收斂于零，即

則稱B為幾乎L-集.當E和F是Banach格并且F是Dedekind完備的，對任意算子T∈Lb（E，F），定義正則范數‖T‖r＝‖｜T｜‖，則Lb（E，F）在‖T‖r下是Banach格.（Lb（E，F），‖·‖r）表示在正則范數下E到F的有界線性算子全體.

未解釋的關于Banach格和相關算子理論的部分概念、術語以及符號詳見文獻［6-7］.

1 幾乎L-Dunford-Pettis性質

知道每個弱緊算子是不交Dunford-Pettis全連續算子，反之不一定成立.例如，恒等算子Idl1：l1→l1是不交Dunford-Pettis全連續算子，但不是弱緊算子.

下面定理介紹在幾乎L-Dunford-Pettis性質下，研究不交Dunford-Pettis全連續算子與弱緊算子的關系.

定理1.5設E是一個Banach格，則下面命題是等價的：

1）E有幾乎L-Dunford-Pettis性質；

2）對于任意Banach空間X，每一個E到X的DPdcc算子是弱緊算子；

3）任意E到l∞的DPdcc算子是弱緊算子.

因此T′不是弱緊算子，從而T也不是弱緊算子.

推論1.6設E是具有Dunford-Pettis性質的Banach格，如果E′有序連續范數，則E有幾乎LDunford-Pettis性質.

證明設Τ：Ε→X是Banach格E到Banach空間X的DPdcc算子，設xn為E中的不交有界序列，由文獻［7］推論2.9知道xn是弱收斂于0，因為E有Dunford-Pettis性質，E中的每個相對弱緊集是Dunford-Pettis集，則xn是Dunford-Pettis集.根據假設，有‖T（xn）‖→0.則T是M-弱緊算子，通過文獻［6］定理5.61知T是弱緊算子，由定理1.5知，E有幾乎L-Dunford-Pettis性質.

如果E′中的每個L-Dunford-Pettis集是相對弱緊集，則稱Banach格E有L-Dunford-Pettis性質［2］.很顯然如果Banach格E有幾乎L-Dunford-Pettis性質，則E一定有L-Dunford-Pettis性質，但反之不一定成立.根據引理1.12推論出幾乎L-Dunford-Pettis性質與L-Dunford-Pettis性質等價時的條件.

推論1.13如果一個Banach格E有L-Dunford-Pettis性質，若滿足以下任一條件，則E也具有幾乎L-Dunford-Pettis性質：

1）任意Banach空間X，

則稱T是幾乎Dunford-Pettis算子［9］.用LaDP（E，F）表示E到F的全體幾乎Dunford-Pettis算子所成的集合.

知道幾乎Dunford-Pettis算子是DPdcc算子，但反之不一定成立，接下來討論DPdcc算子與幾乎Dunford-Pettis算子的關系.

定理1.14設E為一個Banach格，則以下條件等價：

定理1.15設Banach格E有弱序列連續格運算，若E有弱Dunford-Pettis性質和Grothendieck性質，則E有幾乎L-Dunford-Pettis性質.

證明設T：E→X是DPdcc算子，因為E有弱Dunford-Pettis性質，由定理1.14知T是幾乎Dunford-Pettis算子，又因為E有弱序列連續格運算，由文獻［10］的推論2.7，T為Dunford-Pettis算子.因為l1不是Grothendieck空間，則E不包含l1的可補同構像，由文獻［11］定理2.1，E有RDP性質，所以T是弱緊算子，根據定理1.5得E有幾乎L-Dunford-Pettis性質.

例如，l∞具有弱序列連續格運算，而且l∞具有弱Dunford-Pettis性質和Grothendieck性質，所以l∞有幾乎L-Dunford-Pettis性質.