質(zhì)量臨界情形下一類具平方反比勢(shì)的非齊次非線性Schr?dinger方程

李玉林， 黃 娟

（1.西南科技大學(xué)城市學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院，四川 綿陽621000； 2.可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610066；3.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

研究具有平方反比勢(shì)的質(zhì)量臨界非齊次非線性Schr?dinger方程的Cauchy問題

下保持L2不變性，即‖uλ（t）‖L2＝‖u（t）‖L2.具有這種特殊結(jié)構(gòu)的方程（1）吸引了很多人研究［1-6］，尤其是對(duì)Cauchy問題（1）駐波的穩(wěn)定性研究［2-4］.

當(dāng)a＝b＝0時(shí)，該方程（1）就是經(jīng)典的非線性Schr?dinger方程，Weinstein［2］通過研究變分問題，獲得了方程的最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式.Cazenave［3］構(gòu)造出Cauchy問題（1）的一個(gè)顯示爆破解，在此基礎(chǔ)上，Genoud［4］利用類似的方法，得到在a＝0時(shí)Cauchy問題（1）的一個(gè)顯示爆破解，并且證得Cauchy問題（1）駐波的強(qiáng)不穩(wěn)定性.隨后，Combet等［5］獲得Cauchy問題（1）的最小質(zhì)量爆破解.而當(dāng)b＝0時(shí)，Csobo等［6］也取得與a＝0時(shí)相似的結(jié)果.

綜上，當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，文獻(xiàn)［7］得到了具有平方反比勢(shì)的三次非齊次非線性Schr?dinger方程駐波解的強(qiáng)不穩(wěn)定性；然而，對(duì)于這類質(zhì)量臨界的方程（1）駐波解的強(qiáng)不穩(wěn)定性，現(xiàn)有文獻(xiàn)還沒有研究，也沒有找到對(duì)應(yīng)的最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式.在這種情況下，Viral等式剛好等于能量的整數(shù)倍，這使得傳統(tǒng)證明爆破方法［8］失效.基于以上原因，本文將研究Cauchy問題（1）的駐波的強(qiáng)不穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識(shí)

2 解的整體存在性

本文利用最佳Gagliardo-Nirenbeg不等式得到Cauchy問題（1）的解u（t，x）是整體存在的，并且得到u（t，x）在空間˙H1a（RN）中是有界的.

3 駐波的強(qiáng)不穩(wěn)定性

利用偽共形變換構(gòu)造Cauchy問題（1）的一個(gè)具有臨界質(zhì)量的爆破解，并且得到其駐波是強(qiáng)不穩(wěn)定的.

因此

注3.2由非線性Schr?dinger方程對(duì)時(shí)間具有不變性知，對(duì)c＞0，若u（s，y）∈C（［－S，0］，H1（RN））是Cauchy問題（1）的解，也可以構(gòu)造uc（t，x）∈C（［－T，0］，H1（RN））是Cauchy問題（1）的解.

當(dāng)c→0，（15）和（16）式都趨近于零.因此，對(duì)任何δ＞0，存在cδ＜0，使得當(dāng)cδ＜c＜0時(shí)，