無限時滯隨機泛函微分方程的一般衰減ψγ-穩定性

劉 羽， 李樹勇

（1.四川師范大學 數學科學學院，四川 成都610066； 2.綿陽師范學院 數理學院，四川 綿陽621000）

隨機泛函微分方程穩定性由于在實際應用中的重要作用長期被學者們所關注，各種穩定性，如指數穩定性、多項式穩定性、對數穩定性等被提出，相應的穩定性判定定理被建立［1-5］.針對不同的穩定性，Liu［6］提出了ψγ-穩定性概念，涵蓋了上述各類穩定性，并建立了一系列穩定性結果.Razumikhin方法是一種重要的技巧，在隨機泛函微分方程穩定性研究中發揮了重要的作用.從Mao［4］首先將Razumikhin技巧運用于隨機泛函微分方程建立隨機版本的Razumikhin型穩定性定理以來，學者們運用Razumikhin方法建立了各類隨機泛函微分方程的Razumikhin穩定性定理［7-12］.如Liu等［9］運用Razumihin技巧研究具有無窮時滯的隨機泛函微分方程穩定性，建立了該系統的Razumikhin型p階矩ψγ穩定性定理和a.s.ψγ穩定性定理.然而，這些Razumikhin型定理通常是通過標量微分不等式描述的，但是，許多系統是多維的，因此使用分量Lyapunov函數方法研究隨機微分方程的穩定性引起學者們的關注［13］，最近Liu［14］利用隨機分析技巧和M矩陣性質建立隨機泛函微分系統p階指數穩定的分量Razumikhin型定理.Liu等［15］利用Razumikhin技巧和分量Lyapunov函數討論隨機泛函微分方程的輸出狀態穩定性，建立該隨機泛函微分方程的Razumikhin型p階矩指數輸出狀態穩定性定理.受他們思想的啟發，本文將討論一類具有無限時滯隨機微分方程的具有一般衰減率的穩定性問題，利用Razumikhin技巧和分量Lyapunov函數方法，建立系統具有一般衰減率的p階矩ψγ-穩定性和a.s.ψγ-穩定性定理，豐富了隨機泛函微分方程穩定性的理論.

1 基本準備

設G為一個向量或矩陣，用G≥0表示G中所有元素非負，G?0表示G中每個元素都為正.此外，記Zn×n＝｛A＝（aij）n×n：aij≤0，i≠j｝.若存在向量x?0，使得矩陣Ax?0，則稱矩陣A∈Zn×n是一個非奇異M-矩陣.記ΩM（A）＝｛x∈Rn｜Ax?0，x?0｝.

2 主要結論

引理2.1若存在W1，…，Wn∈C1，2（R×Rd；R＋）滿足以下條件：

（i）存在v∈K，使得

與（17）式矛盾.故對任意t≥0，有（12）式成立，得證.

定理2.3假設引理2.2的條件全部滿足，并且存在常數C，p＞0，使得

3 例子和數值模擬

計算可知μ－A是一個非負的M-矩陣，若取α1＝1，α2＝1.2，此時γ2＝0.032.由定理2.3可得，系統（25）的解x（t）是2階矩ψγ-穩定的.

例子3.2令t≥0，考慮如下2維非自治系統

計算可知μ－（A＋B）是一個非負的M－矩陣，若取α1＝1，α2＝2，此時γ6＝0.050.

由于W1＋W2≥｜x1｜3或者｜x2｜6，所以由定理2.3知，系統（27）的平凡解關于x1是3階矩ψγ-穩定，x2是6階矩ψγ-穩定.