基于漲落耗散理論的能量本征態(tài)規(guī)范研究

郭 凱

（華能武漢發(fā)電有限責任公司，湖北 武漢 430415）

0 引言

熱漲落是物理學中的基礎現(xiàn)象之一?；诮y(tǒng)計物理理論，漲落耗散理論（fluctuation dissipation theorem，F(xiàn)DT）主要描述分子的隨機運動導致系統(tǒng)的能量損失，在遠離熱力學平衡條件（熵最大值）下，系統(tǒng)的熵會在某一定時間中增加或減少的相對概率［1］。盡管分子運動的動能很小，但是，在超精密測量領域中，例如，地基激光引力波探測器，分子運動導致的熱漲落占據(jù)主要的噪聲貢獻［2-4］。熱力學第二定律預測了一個獨立系統(tǒng)的熵應該趨向增加，直到其達到平衡為止。但是，在統(tǒng)計力學被發(fā)現(xiàn)后，物理學家才發(fā)現(xiàn)第二定律只是統(tǒng)計上的一種行為，因此，應該總有一定的概率使得獨立系統(tǒng)的熵會自發(fā)性地衰減；而漲落定理準確地量化了此概率［5］。這個定理與物理學中的許多現(xiàn)象、概念和定理有著密切的聯(lián)系，而且廣泛應用于布朗運動、磁介質磁化、電介質極化、回路中的熱漲落導致的電噪聲、等離子體、固體中的光散射以及各種輸運過程等問題［6］。

漲落耗散是熱平衡態(tài)的理論形式之一，它提供物體的反應（即耗散，dissipation）與關聯(lián)（即漲落，fluctuation）的統(tǒng)一關系［7-8］。獨立的量子多體系統(tǒng)是否接近于熱平衡態(tài)是一個值得深入研究的問題，例如，在量子熱化過程中，關于超冷原子的探測與應用的理論研究和實驗研究都引起人們的廣泛興趣。一個獨立的量子系統(tǒng)進入一個穩(wěn)態(tài)后的緩和態(tài)已經在大范圍系統(tǒng)與初態(tài)之間得到驗證。熱化過程則需要穩(wěn)定態(tài)與平衡微正則態(tài)之間存在區(qū)別。隨著平衡動力學被詳細的量化，熱平衡系統(tǒng)的動力學反應函數(shù)和相關函數(shù)不是相互獨立的關系，而是彼此之間緊緊聯(lián)系。漲落耗散理論已經被用于區(qū)別平衡與非平衡動力學［9］，以及用于測量微觀量子系統(tǒng)的溫度［10-11］。

本 征 熱 化 假 說（eigenstate thermalization hypothesis，ETH）彌補了穩(wěn)態(tài)與Gibbs 態(tài)之間的理論空白。ETH表示局域可觀測量的矩陣元素在哈密頓本征態(tài)中的假說條件。在這種條件下，可觀測量的期望值與微正則態(tài)系統(tǒng)平衡均值一致。在不可積分系統(tǒng)中，ETH 已經被廣泛驗證，且可觀測量的矩陣元素顯示了ETH的統(tǒng)計性質。在量子湮滅與熱動力作用之后的熱化過程也能在ETH 條件下得到很好的解釋。在一個獨立的量子系統(tǒng)中，大量的工作已經或正在研究量子熱力學與漲落和耗散之間的關系。文獻［12］和文獻［13］已經研究了非熱可積量子系統(tǒng)的弛豫動力學性質。基于Lieb-Robinson 邊界條件［14］，文獻［15］提出了一種靜態(tài)與動態(tài)關聯(lián)的爭議關系。文獻［16］研究了一種獨立量子系統(tǒng)的FDT，它涉及到可觀測量的期望值的關系，這相當于全量子力學FDT 的經典極限［17-18］。文獻［19］已經證明單個可觀測量的FDT符合本征熱化假說，兩個不同可觀測量的FDT 則需要假定隨機變量的行為，本征熱化假說也需要進一步得到驗證。

在Gibbs 態(tài)中，漲落耗散理論是熱平衡系統(tǒng)的重要特征之一。但是，現(xiàn)在的問題是能否在一個能量本征態(tài)的獨立量子系統(tǒng)中驗證漲落耗散理論的合理性與正確性？在本征熱化假說條件下，可通過能量本征態(tài)或對角矩陣的雙時相關函數(shù)計算得到規(guī)范的表達式。在無限大系統(tǒng)條件下，這種規(guī)范表達式既是FDT 的充分條件，也是FDT 的必要條件。此外，在有限大系統(tǒng)中，這種規(guī)范表達式也能獲得有限的相關關系。即，無論是有限大系統(tǒng)，還是無限大系統(tǒng)情況下，能量本征態(tài)的規(guī)范表達式可以通過漲落耗散理論進行合理的解釋［20］。

1 能量本征態(tài)的規(guī)范研究

1905年，愛因斯坦發(fā)表論文討論了一定溫度條件下，懸浮于液體介質中微小粒子的運動規(guī)律，即布朗運動［21］。因此，漲落耗散的研究可以追溯愛因斯坦。若液體介質中微小粒子的濃度n是不均勻的，那么液體介質會存在梯度為p的滲透壓力。由于滲透壓力的作用，微小粒子就從濃度高的地方流向濃度低的地方，若把布朗運動粒子作為理想氣體，其壓力梯度p與粒子濃度n的關系可表示為

事實上，做布朗運動的粒子由于熱運動作用，存在兩種流動形式，分別定義為擴散流和漂移流。擴散流是由粒子濃度不均勻導致，漂移流是受力的作用產生。因此，可把粒子平衡式（2）當作擴散流和漂移流的平衡，即有關系式

式（4）中，μ表示粒子的遷移率；μG表示粒子的漂移速度，它主要是由于重力G、粒子與介質的摩擦決定；D表示粒子的擴散系數(shù)。通過詳細比較式（3）和式（4）之間的差異，可以得到

在統(tǒng)計物理學中，在滿足給定宏觀條件系統(tǒng)的所有穩(wěn)定狀態(tài)下，宏觀物理量的定義為相應微觀物理量的平均值，其數(shù)學表達式為

式（6）中，Bs表示微觀物理量；ρ表示微觀物理量的密度分布；S表示分布區(qū)域。采用偏差平方的平均值表示B對Bˉ的漲落，得到漲落耗散的準熱力學理論關系式

因此，式（5）是愛因斯坦關于漲落耗散理論研究的雛形。其核心思想是原子的獨立性，即原子的數(shù)目、原子的大小都具有有限性，這都可能在漲落耗散現(xiàn)象式（7）中顯現(xiàn)出來，這種漲落耗散理論的概念正是統(tǒng)計物理學中表現(xiàn)粒子的規(guī)律性及其核心思想。

2 漲落耗散理論應用探討

熵增原理可以簡單地描述為孤立系統(tǒng)經絕緣過程由一狀態(tài)達到另一狀態(tài)，熵值只可能增大，不可能減少。這個定律最先在1864 年首先由克勞修斯提出。在統(tǒng)計力學被發(fā)現(xiàn)后，物理學了解到熱力學第二定律只是一個統(tǒng)計規(guī)律。波爾茲曼用大數(shù)定律在理論上證明了熵增原理［22］。

但是，學者發(fā)現(xiàn)應該有一些概率會使得獨立系統(tǒng)的熵自發(fā)性地減少。為了證明該現(xiàn)象，波爾茲曼從而提出了漲落理論。漲落定律準確地量化了那些使熵自發(fā)性地減少的概率。其中，在討論宏觀系統(tǒng)時，漲落力通?？梢院雎?；而在討論微小系統(tǒng)時，熵增定律往往不適用［23］。

此外，漲落是種理論，也是一個物理現(xiàn)象，最常見的漲落現(xiàn)象是布朗運動［24］。布朗用顯微鏡觀察到一些比分子大數(shù)百億倍的物體，如花粉。花粉在永不停息地作不規(guī)則運動，這種運動被稱為布朗運動。布朗運動是由漲落引起的，花粉會受到周圍氣體或液體分子不停的撞擊。如果各方向撞擊機會均等，在合力為零的情況下，花粉是不會動的［25］。但實際上，由于漲落能的影響，花粉周圍的區(qū)域內氣體或液體分子的分布是不均勻的。從而使得撞擊產生的合力并不為零，而是一種大小和方向隨機變化的漲落力，這種力推動花粉不停移動。

一些精密測量儀器的微小部件也會發(fā)生布朗運動，這影響了測量精度，所以國內外學者對此開展了廣泛研究［26］。以懸鏡式電流計為例，在沒有電流或電流沒有變化的情況下，懸掛在石英絲上的鏡子，會保持不停擺動，從而使得測量數(shù)據(jù)產生明顯誤差［27］。以往在研究這個問題時，考慮的是如何減少漲落力的負作用。而考慮漲落力的利用，可使該問題產生正面意義，并研究能量在這一過程中的利用。如當小鏡子在漲落力作用下轉動一定角度時，石英絲就擁有彈性勢能。石英絲這種壓電晶體被扭轉還能產生電能等［28］。這些能量的數(shù)值不大，但從本質上說它是可以傳遞和轉化的自由能。負熵和自由能本來就是密不可分的，漲落產生了負熵因而產生了自由能。

海洋深處有一種靠波力發(fā)電機提供能量的航標燈［29］。圖1 所示是一種簡單的波力發(fā)電機的結構原理，圖中A是裝置外的密封浮箱；B是用彈簧與水箱聯(lián)在一起的重物；C是一個可雙向轉動的發(fā)電機，定子固定在浮箱上，轉子的齒輪和重物相配合。對于波力能發(fā)電機而言，當海潮沖擊浮箱時，將所含的動能傳遞給浮箱，并使浮箱產生位移。但箱內的重物并沒受到直接沖擊，且由于彈簧的緩沖作用以及自身慣性影響，這浮箱與重物之間就產生了相對運動，并帶動介于兩者之間的發(fā)電機往復轉動起來。因此，這臺波力發(fā)電機能在有波浪的海里不斷輸出波動的電能。

圖1 波力發(fā)電機原理圖Fig.1 Wave generator schematic diagram

帆船在航海時，遇到順風就把帆張開乘風前進，遇到逆風就把帆扯下拋錨停下來，等到順風重新來到。一根木頭在海上漂浮的時候同樣會遇到順風和逆風，由于木頭不能對不同風向的作用力進行選擇，它只能在海上忽東忽西的夢游，很難向特定的目標進發(fā)。和隨風飄流的木頭不一樣，帆船的行為是一種目的性的形為。學術界通常認為只有生物才能具有這種行為方式，要從物理學角度研究目的性行為，目前有進展但依然困難重重。

有種滑鎖裝置，它由一個彈簧閘和一個帶齒的圓柱組成，前者叫滑車，后者叫滑道，滑道的一個斜面大于摩擦角，另一個小于摩擦角，如圖2所示。

圖2 滑鎖裝置簡圖Fig.2 Sliding lock device diagram

把滑車套在滑道上，可以推動它沿滑道前進。但不能把它往后推，反向推動滑車就卡在滑道上了。這樣滑車只能沿滑道前進，不能后退。如果滑車小到一定程度就變成了一個“有理有智”的花粉，漲落力只能使它沿滑道前進，而不能使它后退和偏離滑道。這時在漲落力的作用下它的運動方式不是無規(guī)則的布朗運動，而是有規(guī)則的定向移動［30］。

滑車可以沿環(huán)狀滑道永遠地單向轉動，也可以沿滑道爬升，如圖3?；嚺郎^程中漲落產生的負熵和自由能并不是重新消失了，而是以重力勢能的形式積累起來。本文只討論了控制一個滑車爬升的工作原理，但用同樣方法能使億萬個滑車進行同樣的工作，如并排修建多滑道，或者在每個滑道上串入多滑車，那么就能把大量漲落能轉換成重力勢能，使問題進入宏觀層次［31］。

圖3 滑車示意圖Fig.3 Schematic diagram of pulley

3 結語

作為近平衡態(tài)統(tǒng)計物理最重要的理論之一，漲落耗散理論深刻揭示了平衡系統(tǒng)同時存在漲落、耗散這兩種根本現(xiàn)象之間的關聯(lián)，且在宏觀上通過平衡性質表現(xiàn)非平衡性質。在近平衡態(tài)熱力學統(tǒng)計物理中，漲落耗散理論與輸運系數(shù)對稱理論、最小熵理論之間都存在密切關系，且輸運系數(shù)對稱理論可根據(jù)漲落耗散定理與微觀可逆性導出，結合理論，對可能的應用方向進行了探討。