模糊變量與隨機變量組合時模糊可靠度計算方法研究

周建方，鄭鼎聰，高 冉，冷 偉

(1. 河海大學機電工程學院，常州 213022；2. 河海大學力學與材料學院，南京 211100；3. 四川省水利水電勘測設計研究院，成都 610072)

對于兩變量功能函數：

式中，fR(r)、fS(s)分別為R、S的概率密度函數。其失效或安全準則是明確的，即結構要么處于安全狀態，要么處于失效狀態。

當R、S中有一個為模糊變量，或失效準則Z<0(或安全準則Z>0，下面僅以失效準則表示)為模糊狀態時，其概率就為模糊概率。對于模糊概率(下面簡稱概率)，有三種情況[2-3]：

1)失效準則具有模糊性，而基本變量具有隨機性，即模糊事件的普通概率。對這類問題的處理，采用的基本思想就是用模糊集來描述模糊失效狀態這一模糊事件A，進而利用Zadeh[4]對模糊事件概率的定義來計算其失效概率：

式中：f(x)為隨機變量x的概率密度函數；μA(x)為模糊事件的隸屬函數，表示x隸屬于模糊事件A的程度。所求得的失效概率為定量。

對于這種情況的研究目前相對較為深入，建立了一套與常規可靠性指標相對應的模糊可靠性指標[5-6]；對結構或零部件失效概率和可靠度計算[7-8]；對系統模糊可靠性分析[9-10]等。

2)失效準則不具有模糊性，而基本變量具有模糊性，即普通事件的模糊(語言)概率。也即失效狀態這一事件是確切的，而概率是模糊的，通常用語言來描述事件發生的可能性，因此，也稱為語言概率。它是個模糊量[11]，不是定量。

目前對于這類問題雖然有許多研究，但還沒有達成共識，文獻[12 - 17]提出了可能性理論來求解這類問題；文獻[18]提出了基于誤差原理的計算方法。

3)失效準則與基本變量均具有模糊性，即模糊事件的模糊概率。由于同時含有兩種模糊性，問題較為復雜，處理變得更加困難。因此，關于該類問題的研究相對較少。

因此，對于工程中經常出現的R、S中有一個為模糊變量，失效狀態為確切的，屬于第2 種情況，其概率應為模糊量。不失一般性，本文假設R為模糊變量，S為隨機變量。對于概率是模糊量，在工程上應用是不方便的[19]。因此，許多文獻從實用的角度，提出了許多計算方法，這些方法可分成以下四類：

第一類是直接把模糊變量R轉化成隨機變量，從而使問題變成傳統概率可靠度問題，采用式(2)計算，因而得到的概率是確定量。具體轉化方法有：廣義密度函數法[20]、當量密度函數法[21]、信息熵法[22-23]等。

第二類是把模糊強度R的隸屬函數轉化成失效模糊事件的隸屬函數，從而采用式(3)計算。它也有幾種方法：隸屬函數面積之比法[24]、截集法[25]、直接轉化法[26]、模糊數總效用值法[27]、加權面積之比法[28]。它們得到的概率也是確定量。

第三類為可能度法[16]。通常情況下，可能度法是針對R、S都是模糊變量情況下的，但文獻[16]把它應用到一個是隨機變量、一個是模糊變量情況。它得到的概率是模糊的。

第四類為實用計算法[29]。它的一般形式是R、S都是模糊隨機變量，R為模糊變量、S為隨機變量時是它的特殊情況。它得到的概率也是模糊的。

從上面可以看出，這些計算方法各不相同，自然結果也是各異。由于至今為止對于這種情況還沒有一個公認的更準確的方法，因此這些方法熟優熟劣，目前沒有標準，也無人對此研究。本文系統分析總結了這些方法，疏理了這些方法之間的相互關系，對R為對稱線性隸屬函數和正態隸屬函數情況推導了有關公式，并通過例子進行了精度比較，得到了一些有益的結果。

1 模糊變量直接轉化為隨機變量

所謂模糊變量直接轉化為隨機變量，就是通過將模糊變量的隸屬函數轉化為密度函數，從而將模糊變量直接轉化為隨機變量。具體有以下幾種方法。

1.1 廣義密度函數法[20]

文獻[20]在分析模糊變量隸屬函數特性的基礎上，注意到在結構工程中常見的隸屬度函數形式與常見的隨機變量的概率密度函數經常具有相同的類型，提出了將具有某種隸屬度函數的模糊變量等價轉化為具有相同類型概率密度函數的隨機變量方法，即所謂的廣義密度函數法。按照歸一化原則，它將模糊變量R的隸屬函數積分，然后將隸屬函數除以積分值，作為轉化后隨機變量的概率密度函數：式中：μR(x)為R的隸屬函數；fR(x)為R轉化為隨機變量后的廣義概率密度函數。

如此定義的廣義密度函數fR(x)，既保留了原模糊變量隸屬度函數的分布信息，又滿足了概率密度函數要求的完備性和非負性。由于fR(x)在自變量的取值范圍內各函數值的相對大小無改變，故它對應于原隸屬度函數在某值處的密度大小，仍蘊涵著原模糊變量取該值的模糊程度。因此，雖然如此轉化的方法缺乏一定的理論依據，但從直觀上看，還是可行的。圖1 給出了模糊變量隸屬度函數曲線μR(x)，以及將它們按關系式(4)轉化后的廣義密度函數曲線fR(x)形狀。

圖1 隸屬函數和轉化后的廣義密度函數Fig. 1 Membership function and transformed generalized density function

很顯然，該法適用于隸屬函數面積有界情況。工程中大多數都屬于這種情況。

在文獻[30]中，也采用了這種方法，并推導了R、S均為模糊變量時隸屬函數同時為矩形、梯形、正態時可靠度的計算公式，但梯形情況式(9)有誤。在文獻[31 - 32]中也有類似的定義，但稱為加權平均法。

對于R為對稱線性隸屬函數情況(圖2)：

圖2 對稱線性隸屬函數和相應廣義密度函數Fig. 2 Symmetric linear membership function and corresponding generalized density function

式中：m為均值；α 為分布參數。分布參數越大，模糊變量越模糊，可能取值的范圍越大。

在文獻[26]中給出了將密度函數轉化為隸屬函數的公式：

取ρ 為隸屬函數的積分，則上法本質上也屬于廣義密度函數法。

有了式(4)后，就可以根據式(2)求失效概率，它是一個定值。

1.2 當量密度函數法[21]

文獻[21]根據模糊事件A的概率P(A)可由其λ 截集Aλ的概率P(Aλ)在區間[0,1]內積分獲得這一結論[33]，給出了當量密度函數法。

首先對R取λ 截集，由模糊數學的λ 截集的概念, 則可得到一普通集合[aλ,bλ]，在這普通集上，認為R是均勻分布的隨機變量，然后按照常規可靠度方法求失效概率，再對所得概率積分(λ從0～1)得到失效概率，然后與常規可靠度計算公式(2)進行比較，得到當量密度函數式(13)，從而將模糊變量轉化成隨機變量：

有了式(13)后，代入式(2)，就可求得失效概率，它也是一個定值。

1.3 信息熵法[22]

所謂信息熵法就是根據隨機變量信息熵和模糊變量信息熵相等的辦法，將模糊變量轉化成隨機變量。該法在早期的模糊可靠度研究中應用較多[34-35]，其基本思想為：

連續隨機變量x信息熵定義為：

就可將模糊變量轉化為隨機變量。

很顯然，以上轉化同樣只能適用于隸屬函數有界情況，并且一個等式，只能得到一個參量，通常根據這個等式求標準差，而對于均值，有三種做法：

1)對于隸屬函數為對稱型的，則將對稱點值作為均值；

2)其均值等于不考慮模糊變量模糊性時的值[36]；

3)在文獻[36]中，按式(4)定義概率密度函數，然后根據該概率密度函數按概率方法求均值，將該均值作為轉化后正態分布的均值。顯然該方法存在矛盾的地方，因為既然認為轉化后為正態分布，又用式(4)定義的概率密度函數去求均值，相當于同一隸屬函數出現了兩個概率分布。

以上轉化雖保證了轉換前后模糊變量與當量隨機變量不確定程度的大小相等，但它是不確定性總體信息的含量，各變量與之對應函數間的映射關系并未真實保留，隸屬函數和概率密度函數分別表達了自變量與之對應函數間的一一映射關系，僅按熵等價轉化之后，至少損失了原有的分布信息，使轉化后隨機變量的分布概型不唯一。因此，這種轉化處理是不嚴密的[20]。

2 由模糊強度的隸屬函數直接構造模糊失效事件的隸屬函數

雖然當R為模糊變量時，給出了其隸屬函數，但它僅是變量R本身的隸屬函數，并不是失效事件的隸屬函數，因此不能直接代入式(3)進行計算。但有許多文獻在R隸屬函數的基礎上，采用不同的方法構造出模糊失效事件的隸屬函數，從而計算失效概率。

2.1 隸屬函數面積之比法[24]

該法認為圖3 中區間[xmin,S]為某種程度上的失效區，而[S,xmax]為某種程度上的安全區，可以用模糊強度的隸屬函數在某種程度上的失效區的面積與整個隸屬函數的面積的比值來定義模糊失效狀態的隸屬函數，注意這里的失效狀態是指R

式中，各量意義見圖3。

圖3 隸屬函數面積之比法Fig. 3 The area ratio method of membership function

該法本文稱之為隸屬函數面積之比法。當R為式(5)所示對稱線性隸屬函數時，可得：

求得了失效事件的隸屬函數后，代入式(3)，就可求得失效概率，它是一個定值。注意這里的密度函數是S的密度函數。

在文獻[37]中，計算了對數正態分布應力、線性模糊強度的具體例子。

2.2 截集法[25]

與當量密度函數法類似，同樣對R取λ 截集，將模糊變量變為在普通集合[aλ，bλ]內均勻分布的隨機變量，然后按照常規可靠度方法求失效概率，再對所得概率積分(λ 從0～1)得到模糊失效概率，與式(3)比較，從而可得模糊失效事件的隸屬函數，本文稱之為截集法。

當R為線性隸屬函數，失效事件A的隸屬函數：

式(24)、式(25)圖形如圖4所示。

圖4 模糊失效事件隸屬函數Fig. 4 Membership function of fuzzy failure event

代入式(3)，可求得失效概率。同樣，這里的失效狀態是指R

在上述文獻中，均是認為在截集[aλ,bλ]內R是均勻分布的，事實上這并沒有理論依據。文獻[43]討論了在截集上取三種分布(均勻、線性、截尾正態)時結果的差異性，在三種分布情況中，均勻分布所算得的模糊失效概率最大。

在文獻[3]中證明，若以均勻分布、線性分布或截尾正態分布為截集分布，則當模糊變量逐步收斂于隨機變量時，基于截集法的可靠度將收斂于固定值，該數值只與安全準則的形式有關，而與具體結構無關，這一結果證明了常用截集分布在模型收斂性方面的缺陷和不足，因而提出了所謂的一類新的截集分布－本征截集分布，同時討論了本征截集分布下模型的收斂性。

另外，需要說明的是，當有多個模糊變量時，每個變量的閾值λ 應不相同，不能用同一λ 值，不然會得到不正確的結果[44]。

所以，截集法的應用，受到諸多因素的制約。

2.3 直接轉化法[26]

所謂直接轉化法，就是根據R的隸屬函數，直接轉化成模糊事件的隸屬函數。對于圖5(a)的R隸屬函數，可以轉化為圖5(b)中的模糊失效事件的隸屬函數，其余集就為模糊安全事件的隸屬函數(圖5(c))。這個方法本文稱之為直接轉化法。

圖5 隸屬函數轉化過程Fig. 5 The transformation process of membership function

式(26)的余集即為相應模糊失效事件的隸屬函數。

2.4 模糊數總效用值法[27]

該法根據模糊數學理論，引入了模糊數最大集、最小集概念，給出了模糊數右效用值、左效用值和總效用值的定義，提出了模糊數的排序規則，在上述定義和模糊強度隸屬度函數(主要用于求效用值)的基礎上建立了模糊失效事件的隸屬函數，從而進行可靠性計算。

模糊失效事件的隸屬函數定義為：

式中：Ur、Ul為右效用值、左效用值；xmax、xmin是R的最大、最小值。

圖6 隨p 變化的模糊安全事件隸屬函數Fig. 6 Fuzzy security event membership function varying with p

式(27)存在的問題是，在s=xmin處隸屬函數不連續，文獻[28]也指出了這點。因此，該法目前沒有被廣泛使用，這里作為一種思路，把它列出。

2.5 加權面積之比法[28]

文獻[28]認為影響模糊數大小有兩個主要特征因素，一個是隸屬函數曲線下的面積分布，即對于任一點它兩側隸屬函數曲線下面積的大小；另一個是隸屬函數的峰值的位置。在此基礎上，將R的隸屬函數轉化為模糊安全狀態隸屬函數μA。μA由兩部分組成，第一部分根據R的隸屬函數的面積分布求得(式(28)，圖7)：

圖7 根據μR 的面積分布確定μA1Fig. 7 Determine μA1 according to the area distribution of μR

圖8 根據Rp 的位置確定μA2Fig. 8 Determine μA2 according to the position of Rp

然后加權求和：

式中，w1、w2為權值，其值之和為1。

文中說，權值w1、w2可結合具體問題，根據經驗或其他方法給定。一般情況下，隸屬函數不對稱程度越大，w2的值越大。

該法除權值憑經驗確定外，其計算公式(29)也無多少理論依據，而且Rp的隸屬函數μRP(x)如何確定，也無依據和辦法，文獻中說可以是正態形或對稱三角形，但為何采用這兩種隸屬函數以及采用這兩種隸屬函數差別多少，也無研究，所以實際中使用很少。

當w2=0 時，實際即為隸屬函數面積之比法，所以面積之比法也可看作為此法的特例。

3 可能度法[16]

文獻[12]最早對可能性理論進行了系統研究，提出了其基本概念和理論體系。它主要針對的是R、S都是模糊變量的情況。文獻[16]把它與區間可靠度方法相結合，推廣到了一個模糊變量、一個隨機變量情況。

首先對R取λ 截集，變成區間變量[aλ,bλ]，然后求其區間可靠指標：

對不同的λ，可得相應的失效概率，從而即得模糊失效概率的可能性分布?？梢钥闯觯Ц怕什皇嵌ㄖ?，是隨λ 而變化的，因此是個模糊量。

4 實用計算法[29]

文獻[29]是從最一般形式開始討論的。它首先將R、S認為是模糊隨機變量，根據模糊隨機變量的定義，采用λ 截集，將R、S變成隨機區間：

5 幾種方法的關系和比較

上面列出了各種計算方法，下面對這些方法作一比較分析。

1)上面四類方法是按對變量的處理方式而分的，如果按求得的失效概率屬性又可合并成兩類：一類是求得的失效概率是定量，如廣義密度函數法、當量密度函數法、面積之比法等價、截集法等；另一類是求得的失效概率是模糊量，有可能度法、實用計算法。

2)在第一類、第二類方法中，廣義密度函數法與面積法等價[31]，這從計算公式上就可直接證明。當量密度函數法與截集法相同，因為出發點是相同的。事實上對當量密度函數積分，就是事件的隸屬函數。

廣義密度函數與信息熵法是一致的，其定義也可從信息熵相等公式中得到，自然滿足信息熵相等的要求。

3)廣義密度函數法與截集法是不等價的，文獻[46]中證明兩者等價是不正確的。證明中先認為R轉化后在區間內是均勻分布的，然后證明確是均勻分布的，來回重復。事實上，當定義密度函數后，它根據R的隸屬函數是有分布的，不是常量，再認為是均勻分布是不正確的。這從后面的例子結果就可以看到。

4)直接轉化法是將抗力的隸屬函數直接轉化為模糊安全事件的隸屬函數，與面積之比法和截集法都不同。因此，在第一類、第二類方法中，本質上是3 種方法：面積之比法(廣義密度函數法)、截集法(當量密度函數法)和直接轉化法。圖9分別給出了R為線性隸屬函數和正態隸屬函數情況按廣義密度函數法和當量密度函數法轉化后的概率密度曲線，圖10 則給出了按面積之比法和截集法轉化后的失效事件的隸屬函數，可以看出，差別還是較大的。對于直接轉化法，事實上當p=1、xm時，其失效事件的隸屬函數為1，可見其差別更大。

圖9 兩種隸屬函數轉化后的概率密度函數Fig. 9 Probability density function after transformation of two membership functions

圖10 兩種隸屬函數轉化后的失效事件隸屬函數Fig. 10 The membership function of the failure event after the transformation of the two membership function

5)目前對一個變量是模糊變量、一個變量是隨機變量的情況還沒有一個明確的求解方法，但從模糊數學的角度，它的失效概率應是模糊數，因此第三類、第四類解法更符合問題的本質，可能度法結果含蓋在實用計算法中。

6 算例

這里采用文獻[47]中的算例來說明這些方法結果的差異。

其形狀見圖11。

圖11 算例概率密度函數和隸屬函數Fig. 11 The probability density function and membership function of the calculation example

求失效概率。

1)廣義密度函數法

根據式(5)，可得R的概率密度函數：

代入式(2)，可得失效概率Pf=0.001 373。

3)信息熵法

根據式(17)，可求得模糊強度R的模糊熵為G=4.188 879，假設轉化后的隨機變量為正態分布，

代入式(3)，可得失效概率Pf=0.002 604，與廣義密度函數法的結果相同。

5)截集法

根據式(24)，可得失效事件的隸屬函數為：

代入式(3)，可得失效概率Pf=0.001 373，與當量密度函數法結果相同。

6)直接轉化法

根據R的隸屬函數及式(26)，可得安全事件隸屬函數：

具體數值可見表1。

表1 失效概率隨p 變化Table 1 Failure probability varies with p

7)可能度法

根據式(32)，可得：

失效概率隨的可能性分布見表2。

表2 失效概率的可能性分布Table 2 The possibility distribution of failure probability

8)實用計算法

因為R為模糊變量、S為隨機變量，根據式(35)，可得：

對上式去模糊化，分別采用形心法和面積法可得[19]：

形心法：Pf=0.150 000。

面積法：Pf=0.006 510。

根據文獻[48]，面積法是比形心法更好的去模糊化方法，因此，面積法的結果應更合理。

基于算例采用不同方法計算所得的失效概率結果，可知，廣義密度法的結果與面積之比法相同，當量密度函數法與截集法相同。信息熵法與廣義密度函數法相差不大，這兩個方法的差別在于轉化后概率密度函數前者為正態分布、后者仍為線性分布，說明本算例轉化后采用正態分布是可行的?？赡芏确ǖ慕Y果含蓋在實用計算法中，實用計算法的結果模糊度較大，工程實際中不易應用。在定量計算方法中，當量密度函數法(截集法)計算的失效概率最小，廣義密度函數法(面積之比法)居中，直接轉化法最大，且相差都較大。實用計算法去模糊化后的結果居于廣義密度函數法和直接轉化之間。

7 結論

本文對目前計算抗力R為模糊變量、應力S為隨機變量情況的模糊失效概率方法進行了系統分析總結，推導了R的隸屬函數為線性、正態分布時的有關公式，并通過算例給出了具體計算結果，討論了方法之間的相互關系，可以看出它們之間的差距較大。從理論上講，實用計算法更符合問題的本質，但其結果工程實際中不易應用，而三個定量計算方法，結果差異又較大，因此，哪個方法更合理，還需進一步研究。