基于平方根雙階EKF的2D雷達(dá)與3D雷達(dá)誤差配準(zhǔn)方法?

劉衛(wèi)華 黃高東 董云龍

（1.海軍航空大學(xué) 煙臺(tái) 264001）（2.中國人民解放軍31437部隊(duì) 沈陽 110020）

1 引言

現(xiàn)部署雷達(dá)體制多樣、維度各異，效能發(fā)揮上相對(duì)獨(dú)立，較少融合協(xié)作。為有效利用已有不同體制雷達(dá)探測(cè)效用，對(duì)多部不同體制雷達(dá)進(jìn)行組網(wǎng)，充分發(fā)揮各型雷達(dá)性能優(yōu)勢(shì)，是當(dāng)前組網(wǎng)雷達(dá)研究的熱點(diǎn)之一。多雷達(dá)組網(wǎng)系統(tǒng)能夠?qū)碜远嗖坷走_(dá)的信息進(jìn)行統(tǒng)一調(diào)配，克服單一雷達(dá)探測(cè)時(shí)的不確定性，顯著提高單雷達(dá)系統(tǒng)的效能發(fā)揮［1］。但是，雷達(dá)本身設(shè)計(jì)以及復(fù)雜環(huán)境影響，導(dǎo)致雷達(dá)系統(tǒng)誤差易發(fā)生積累，嚴(yán)重影響組網(wǎng)雷達(dá)效能發(fā)揮，因此在進(jìn)行組網(wǎng)數(shù)據(jù)處理時(shí)，系統(tǒng)誤差配準(zhǔn)問題需引起重視。

當(dāng)前組網(wǎng)雷達(dá)誤差配準(zhǔn)研究主要分為兩種方式，即靜態(tài)批處理方式［2～3］與實(shí)時(shí)處理方式［4～5］，其研究的區(qū)別在于是否根據(jù)探測(cè)目標(biāo)的行動(dòng)變化進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，且當(dāng)前研究主要針對(duì)同維度雷達(dá)進(jìn)行。現(xiàn)實(shí)應(yīng)用環(huán)境中，部署有大量兩坐標(biāo)雷達(dá)與三坐標(biāo)雷達(dá)，單一雷達(dá)應(yīng)用在效能發(fā)揮上難以達(dá)到理想效果，協(xié)同利用不同維度雷達(dá)組合配準(zhǔn)［6～8］，是保證配準(zhǔn)效能，節(jié)省配準(zhǔn)資源的重要研究環(huán)節(jié)。文獻(xiàn)［6］即在異維雷達(dá)系統(tǒng)偏差配準(zhǔn)中采用系統(tǒng)誤差與目標(biāo)狀態(tài)向量相結(jié)合的技術(shù)，以達(dá)成Kalman濾波技術(shù)下的系統(tǒng)誤差與目標(biāo)向量同步更新，但沒有深入考慮向量組合后的維數(shù)擴(kuò)大問題，制約了運(yùn)算速度與運(yùn)算效率［9］，制約了組網(wǎng)雷達(dá)效能的快速發(fā)揮。

為有效解決此問題，本文建立兩部異坐標(biāo)雷達(dá)探測(cè)模型，利用3D雷達(dá)的實(shí)時(shí)量測(cè)，對(duì)2D雷達(dá)的俯仰角進(jìn)行實(shí)時(shí)估算。且引入平方根思想，提出一種防發(fā)散的雙階擴(kuò)展平方根卡爾曼濾波協(xié)同誤差配準(zhǔn)方法，實(shí)現(xiàn)2D雷達(dá)與3D雷達(dá)系統(tǒng)誤差的協(xié)同配準(zhǔn)，且計(jì)算效率明顯提高。

2 2D雷達(dá)與3D雷達(dá)空間配準(zhǔn)系統(tǒng)模型與問題描述

此模型由A，B兩部雷達(dá)組成，如圖1所示，T為目標(biāo)所在位置，其當(dāng)前狀態(tài)為(x，y，z)。A為3D雷達(dá)，其探測(cè)值為(r1，θ1，η1)，系 統(tǒng) 偏 差 為(Δr1Δθ1Δη1)；B為2D雷達(dá)，其探測(cè)值為 (r2，θ2)，系統(tǒng)偏差為 (Δr2Δθ2)。

圖1 2D雷達(dá)與3D雷達(dá)探測(cè)模型

其中：

利用EKF技術(shù)對(duì)此聯(lián)合擴(kuò)維向量進(jìn)行實(shí)時(shí)濾波估計(jì)，且為解決擴(kuò)維與運(yùn)算效率之間的矛盾問題，本文首先利用文獻(xiàn)［10］提出的雙階Kalman思想，對(duì)聯(lián)合擴(kuò)維濾波進(jìn)行解耦。

3 雙階擴(kuò)展卡爾曼濾波誤差配準(zhǔn)方法

將擴(kuò)維向量分解為目標(biāo)狀態(tài)向量和系統(tǒng)偏差向量，相應(yīng)模型為

其中，Q(k)為零均值高斯白噪聲的協(xié)方差矩陣。

其量測(cè)方程為

其濾波結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 雙階EKF結(jié)構(gòu)模型

3.1 忽略系統(tǒng)偏差濾波

相對(duì)應(yīng)的新息協(xié)方差表示為

系統(tǒng)增益表示為

對(duì)目標(biāo)狀態(tài)向量、目標(biāo)狀態(tài)協(xié)方差矩陣進(jìn)行更新，得到：

其中：

3.2 系統(tǒng)偏差濾波

在進(jìn)行系統(tǒng)偏差濾波時(shí)，首先設(shè)系統(tǒng)偏差為b(k)，根據(jù)文獻(xiàn)［10～11］，對(duì)系統(tǒng)偏差進(jìn)行濾波，其濾波結(jié)構(gòu)如下。

式中I與C(k)均為6×6的單位陣。

3.3 融合濾波

根據(jù)雙階卡爾曼濾波結(jié)構(gòu)，對(duì)忽略系統(tǒng)偏差系統(tǒng)與系統(tǒng)偏差分別進(jìn)行濾波后再融合，即可達(dá)到擴(kuò)維濾波的效果。其中，融合后的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)及其協(xié)方差矩陣如下：

4 改進(jìn)的平方根濾波

單純的雙階卡爾曼濾波技術(shù)在數(shù)值計(jì)算時(shí)易產(chǎn)生濾波發(fā)散問題，這是由于計(jì)算機(jī)數(shù)值位數(shù)限制造成的。在雙階濾波過程中，無偏濾波會(huì)因?yàn)榇讼拗撇粩喾e累舍入誤差，嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致狀態(tài)均方差陣P(k|k)和 P(k+1|k)失去正定型，與此同時(shí)，增益K(k)會(huì)發(fā)生失真，進(jìn)而最終導(dǎo)致濾波結(jié)果發(fā)散。為減少數(shù)值位數(shù)，達(dá)到降低計(jì)算誤差的目的，本節(jié)引入平方根濾波［12］思想，濾波過程中不直接更新狀態(tài)均方差陣，而是對(duì)其平方根進(jìn)行更新，使P(k|k)和P(k+1|k)保持正定。

此時(shí)，給出 Δ(k|k)Δ(k+1|k)，Δ(k+1|k+1)，其分別為均方差陣 P(k|k)，P(k+1|k)，P(k+1|k+1)的平方根，即

將式（27）代入無偏差濾波的均方差陣，即得

由 Δ′(k|k)A′(k)的可逆性，得出矩陣D為列滿秩，之后，利用QR數(shù)學(xué)分解原理，即可計(jì)算得出Δ′(k+1|k)。

由以上公式推導(dǎo)，得到應(yīng)用平方根濾波進(jìn)行無偏濾波的流程為

令 ρ滿足

同理，應(yīng)用QR分解得到平方根矩陣Δ(k+1)為

最終濾波模型如圖3所示。

圖3 雙階平方根濾波器結(jié)構(gòu)

5 仿真與結(jié)論

假設(shè)現(xiàn)對(duì)兩部異維度探測(cè)雷達(dá)進(jìn)行誤差配準(zhǔn)，其中設(shè)定3D探測(cè)雷達(dá)的系統(tǒng)偏差為Δr1=2000m，Δθ1=0.0087rad，Δη1=0.0175rad2D探測(cè)雷達(dá)的系統(tǒng)偏差為Δr2=1500m，Δθ2=0.0047rad。以雷達(dá)1的本地直角坐標(biāo)系生成用于配準(zhǔn)的航跡，為

設(shè)定迭代步數(shù)為3000。

圖4、圖5是本文所提平方根雙階EKF配準(zhǔn)方法與文獻(xiàn)［6］傳統(tǒng)擴(kuò)維算法在距離系統(tǒng)誤差配準(zhǔn)方面的對(duì)比結(jié)果，可以看出，本文方法一方面能夠?qū)嵤┯行錅?zhǔn)，配準(zhǔn)精度提高，另一方面，收斂速度明顯快于文獻(xiàn)［6］算法，且較好地解決了傳統(tǒng)擴(kuò)維算法由于狀態(tài)協(xié)方差非正定導(dǎo)致的發(fā)散問題。

圖4 A雷達(dá)本文算法與文獻(xiàn)［6］算法距離系統(tǒng)偏差配準(zhǔn)對(duì)比

圖5、圖6是本文所提平方根雙階EKF配準(zhǔn)方法與文獻(xiàn)［6］傳統(tǒng)擴(kuò)維算法在方位系統(tǒng)誤差配準(zhǔn)方面的對(duì)比結(jié)果，可以看出，本文方法配準(zhǔn)精度提升較為明顯，收斂速度明顯快于文獻(xiàn)［6］算法，未出現(xiàn)發(fā)散問題。

圖5 B雷達(dá)本文算法與文獻(xiàn)［6］算法距離系統(tǒng)偏差配準(zhǔn)對(duì)比

圖6 A雷達(dá)本文算法與文獻(xiàn)［6］算法方位系統(tǒng)偏差配準(zhǔn)對(duì)比

圖7 B雷達(dá)本文算法與文獻(xiàn)［6］算法方位系統(tǒng)偏差配準(zhǔn)對(duì)比

圖8為利用3D雷達(dá)與2D雷達(dá)的融合估計(jì)得到的俯仰角方向的系統(tǒng)偏差，可以看出，本文算法的精度較文獻(xiàn)［6］算法精度有一定的提升，估計(jì)結(jié)果較好。

圖8 B雷達(dá)本文算法與文獻(xiàn)［6］算法俯仰系統(tǒng)偏差配準(zhǔn)對(duì)比

6 結(jié)語

為有效利用不同維度雷達(dá)探測(cè)效用，本文對(duì)不同維度雷達(dá)組網(wǎng)中聯(lián)合擴(kuò)維配準(zhǔn)問題進(jìn)行了研究與改進(jìn)。分析了傳統(tǒng)擴(kuò)維誤差配準(zhǔn)算法兩方面的問題，一是狀態(tài)擴(kuò)維與運(yùn)算效率低下之間的矛盾問題；二是無偏濾波過程中狀態(tài)協(xié)方差非正定導(dǎo)致的發(fā)散問題。在此基礎(chǔ)上，引入平方根思想與雙階解耦思想，提出了一種基于平方根雙階EKF的系統(tǒng)偏差配準(zhǔn)方法。通過仿真分析，驗(yàn)證了本文所提算法性能上的有效性。