常見棱錐外接球球心位置的確定以及半徑的求法

2021-11-10 10:55:14姬笑笑

科學(xué)與生活 2021年12期

摘要：高中立體幾何問題中對于一些常見幾何體的外接球球心位置的確定以及求解半徑、表面積以及體積來說存在比較大的困難。本文將棱錐進行分類，分為直棱錐，正棱錐，一般棱錐，以及對于對棱相等以及三棱錐中三條棱兩兩互相垂直的情況進行分類討論，探討這幾種特征明顯的棱錐在確定圓心的通用方法，為高中生本部分的學(xué)習(xí)提供幫助。

關(guān)鍵詞：棱錐、外接球

類型一：正棱錐球心位置的確定

正棱錐在高中幾何體部分屬于重要類型，由于正棱錐本身的特點：頂點在底面的投影在底面正多邊形的幾何中心，棱錐的高正好也是頂點與底面投影的連線，同時正棱錐的外接球的球心正好在這條高上。因此，利用勾股定理列出等量關(guān)系，外接球的半徑就得到解決。

例1：三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，P到平面ABC的的距離為3，在ΔABC中，a= ，A=30°，則該三棱錐外接球的半徑R=_________

解析：本題考查正三棱錐的外接球的半徑，應(yīng)首先確定外接球球心的位置，也就是找一點到棱錐所有點的距離都相等。

將立體圖形抽離成平面圖形為（圖1）：

數(shù)量關(guān)系為：PP'=3，PO=R，OP'=R-3，OA= ，PA=2

求解OA的過程中利用正弦定理，所列的等式為（OP'）2+（P'A）2=（AO）2，根據(jù)等量關(guān)系求出外接球半徑。

本類型題目分為以下幾個步驟：（1）找底面多邊形的外接圓的圓心（2）過底面多邊形外接圓圓心作高（3）利用勾股定理建立等式。

類型二：直棱錐球心位置的確定

直棱錐是指頂點在底面的投影正好在底面多邊形的某個定點。直棱錐與正棱錐的區(qū)別在于球心所在位置不經(jīng)過直棱錐的高，而是在經(jīng)過底面外心的垂線上，所以在解決此類問題時需要經(jīng)過底面外心作垂線，根據(jù)勾股定理列出數(shù)量關(guān)系。

例2：三棱錐P-ABC，中，PA垂直于平面ABC，PA=2 ，在ΔABC中，a= ，A= ，則該三棱錐外接球的半徑R=________

解析：在棱錐中確定的是，經(jīng)過底面多邊形的外心的垂線上的點到底面多邊形的每個頂點的距離都相等，因此，在直棱錐中需要解決的問題就是在經(jīng)過底面多邊形的垂線上找一點到頂點和到底面多邊形任一端點的距離相等的點。

本題中抽離出的平面圖形為（圖2）：

所列等式為： 2+r2=R2。PA=d，O'O=r。

現(xiàn)在需要使得OP=OA，所以球心O所在的位置在QO'的中點處。

直棱錐在確定外接球球心所在位置以及確定外接球半徑的步驟：（1）確定底面多邊形外接圓圓心所在位置;（2）求解底面外心與底面多邊形垂直棱的垂心之間的距離;（3）利用勾股定理列等量關(guān)系。

類型三：一般棱錐球心位置的確定

一般棱錐因為其一般性，對于經(jīng)過底面多邊形外心的垂線以及棱錐的高都需要作出來，因此在本類型題目中需要的輔助線就有兩條。關(guān)鍵點還要解決底面多邊形的外心與棱錐的高與底面的交點之間的距離。由于未知量的增加，需利用勾股定理列出兩個不等式進行求解。

例3：已知三角形PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若點P、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的表面積等于（ ?）

解析：本題特殊點在于底面是矩形，幾何中心在對角線的交點，并且頂點在底面的投影正好落在了AD的中點。抽離出的平面圖形是（圖3，圖4，圖5）：

在等腰三角形PAD中，PA=PD=2，AD=2 ，P點的垂足在AD的中點P'，確定P'點的位置以后，便于確定P'與底面外心O'之間的距離，O為外接球球心，O'為底面矩形外接圓圓心，設(shè)OO'=h，O'A=r，OA為外接球半徑R。根據(jù)勾股定理列等式為h2+（O'A）2=R2。本圖中P'P= ，OP=OH=1，在直角三角形OPH中，根據(jù)勾股定理列出等式（ -h）2+1=R2。

綜述：本題中所列等式為：h2+（O'A）2=R2，（ -h）2+1=R2

O'O=h，OP=1，OA=R，O'A=r，r=

求解一般棱錐外接球半徑的方法：

（1）過頂點作底面的垂線;（2）過底面外心作垂線;（3）利用勾股定理列等量關(guān)系求解。

類型四：可還原為長方體或正方體的棱錐確定外接球球心的位置

在棱錐確定外接球球心所在未知的題目中，可分為以下幾種情況：

1、棱錐的對棱相等，將其還原為長方體，相等的棱看做是長方體一組對面的對角線，通過求解長方體的體對角線來確定外接球的直徑。[1]

2、從棱錐的某一頂點出發(fā)，有三條兩兩互相垂直的棱，可以將這一頂點看作是長方體或正方體的一個頂點，三條兩兩互相垂直的棱分別為長方體的長寬高，通過對長方體體對角線的求解來確定外接球的直徑。[2]

例4：已知在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2，AD=AC=BC=BD=3，則該三棱錐外接球的表面積為____________

解析：本類型題目的特點在于所給條件中有兩條相對的棱是相等的，在接下來還原立方體的過程中，可以將AB與CD看做長方體相對面的對角線。

例5：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2，求三棱錐外接球的表面積。

總結(jié)：以上列舉的幾種方法都是在高中幾何體求解外接球半徑中常見的方法，掌握了這幾類方法，對中學(xué)生在求解棱錐外接球部分的學(xué)習(xí)具有促進作用。